22 Hagnýting heildunar

2.5 Hagnýting í eðlisfræði

Námsmarkmið

2.5.1 Ákvarða massa einvíðs hlutar út frá línuþéttleikafalli hans.
2.5.2 Ákvarða massa tvívíðs hringlaga hlutar út frá geislaþéttleikafalli hans.
2.5.3 Reikna vinnu breytilegs krafts sem verkar eftir línu.
2.5.4 Reikna vinnuna við að dæla vökva úr einni hæð í aðra.
2.5.5 Finna kraftinn vegna vökvastöðuþrýstings á lóðrétta plötu í kafi.

Í þessum hluta skoðum við nokkra hagnýtingu heildunar í eðlisfræði. Fyrst reiknum við massa út frá þéttleikafalli, því næst beinum við sjónum að vinnu og í lok hlutans könnum við kraft vegna vökvastöðuþrýstings.

Massi og þéttleiki

Með heildun má leiða út formúlu til að reikna massa út frá þéttleikafalli. Fyrst skoðum við granna stöng eða vír. Leggið stöngina eftir $x -ás,$ þannig að vinstri endi hennar sé við $x = a$ og hægri endinn við $x = b$ (mynd 2.48). Takið eftir að þótt stöngin sé sýnd með nokkurri þykkt á myndunum gerum við í stærðfræðilegum tilgangi ráð fyrir að hún sé svo grönn að líta megi á hana sem einvíðan hlut.

Myndin sýnir x- og y-ás. Á x-ásnum er sívalningur sem hefst í x = a og endar í x = b. — **Mynd 2.48.** Reikna má massa grannrar stangar sem liggur eftir $x -ás$ með því að heilda þéttleikafall hennar.

Ef stöngin hefur fastan þéttleika $ρ,$ gefinn sem massi á lengdareiningu, er massi hennar einfaldlega margfeldi þéttleikans og lengdar stangarinnar: $(b - a) ρ .$ Ef þéttleiki stangarinnar er ekki fastur verður verkefnið hins vegar nokkru flóknara. Þegar þéttleiki stangarinnar breytist frá punkti til punkts notum við línuþéttleikafallið $ρ (x),$ til að tákna þéttleika hennar í hverjum punkti $x .$ Látum $ρ (x)$ vera heildanlegt línuþéttleikafall. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n$ látum við nú $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á bilinu $[a, b],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Mynd 2.49 sýnir dæmigerðan hluta stangarinnar.

Myndin sýnir x- og y-ás. Á x-ásnum er sívalningur sem hefst í x = a og endar í x = b. Sívalningnum hefur verið skipt í hluta. Einn hluti nálægt miðjunni hefst í xᵢ₋₁ og endar í xᵢ. — **Mynd 2.49.** Dæmigerður hluti stangarinnar.

Massi $m_{i}$ þess hluta stangarinnar sem liggur frá $x_{i - 1}$ til $x_{i}$ er nálgaður með

m_{i} \approx ρ (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Með því að leggja saman massa allra hlutanna fæst nálgun á massa allrar stangarinnar:

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty,$ fæst segð fyrir nákvæman massa stangarinnar:

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} ρ (x) d x .

Við setjum niðurstöðuna fram í eftirfarandi setningu.

Við beitum setningunni í næsta dæmi.

Dæmi 2.23

Massi reiknaður út frá línuþéttleika

Skoðið granna stöng sem liggur á x-ásnum yfir bilinu $[π / 2, π] .$ Hver er massi stangarinnar ef þéttleiki hennar er gefinn með $ρ (x) = sin x,$

Lausn

Með því að beita jöfnu 2.10 beint fæst

m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x = \int_{π / 2}^{π} sin x d x = {− cos x |}_{π / 2}^{π} = 1 .

Nú útvíkkum við hugmyndina til að finna massa tvívíðrar skífu með geisla $r .$ Eins og fyrir stöngina í einvíða tilvikinu gerum við ráð fyrir að skífan sé svo þunn að í stærðfræðilegum tilgangi megi líta á hana sem tvívíðan hlut. Við gerum ráð fyrir að þéttleikinn sé gefinn sem massi á flatarmálseiningu (kallað flatarmálsþéttleiki) og jafnframt að þéttleikinn breytist aðeins eftir geisla skífunnar (kallað geislaþéttleiki). Við leggjum skífuna í $x y -sléttuna,$ með miðju í upphafspunktinum. Þá má líta á þéttleika skífunnar sem fall af $x,$ táknað $ρ (x) .$ Við gerum ráð fyrir að $ρ (x)$ sé heildanlegt. Þar sem þéttleikinn er fall af $x,$ skiptum við bilinu $[0, r]$ eftir $x -ás .$ Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á bilinu $[0, r],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Notum síðan skiptinguna til að skipta skífunni í þunna (tvívíða) hringkraga. Skífa og dæmigerður hringkragi eru sýnd á næstu mynd.

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri er merkt „a“ og sýnir hring með geisla r. Miðja hringsins er merkt 0. Jákvæði x-ásinn hefst einnig í 0 og liggur í gegnum hringinn. Síðari myndin er merkt „b“. Hún sýnir tvo sammiðja hringi með miðju í 0 og x-ás sem liggur út frá 0. Sammiðju hringirnir mynda hringkraga. Breidd hringkragans nær frá xᵢ₋₁ til xᵢ og er merkt Δx. — **Mynd 2.50.** (a) Þunn skífa í xy-sléttunni. (b) Dæmigerður hringkragi.

Nú nálgum við þéttleika og flatarmál hringkragans til að nálga massann, $m_{i} .$ Takið eftir að flatarmál hringkragans er gefið með

\begin{matrix} A_{i} & = π {(x_{i})}^{2} - π {(x_{i - 1})}^{2} \\ = π [x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}] \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x . \end{matrix}

Þið munið ef til vill eftir að sambærileg segð kom fyrir þegar við reiknuðum rúmmál með hylkjum. Eins og þar notum við $x_{i}^{*} \approx (x_{i} + x_{i - 1}) / 2$ til að nálga meðalgeisla hringkragans. Þá fæst

A_{i} = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x \approx 2 π x_{i}^{*} Δ x .

Með því að nota $ρ (x_{i}^{*})$ til að nálga þéttleika hringkragans nálgum við massa hans með

m_{i} \approx 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Þegar massi hringkraganna er lagður saman sést að massi allrar skífunnar, $m$ , er nálgaður með

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Við sjáum aftur að þetta er Riemann-summa og tökum markgildið þegar $n \to \infty .$ Þá fæst

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x .

Við tökum niðurstöðurnar saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 2.24

Massi reiknaður út frá geislaþéttleika

Látum $ρ (x) = \sqrt{x}$ tákna geislaþéttleika skífu. Reiknið massa skífu með geisla 4.

Lausn

Þegar formúlunni er beitt fæst

\begin{matrix} m & = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x \\ = \int_{0}^{4} 2 π x \sqrt{x} d x = 2 π \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = 2 π {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{4 π}{5} [32] = \frac{128 π}{5} . \end{matrix}

Vinna krafts

Nú skoðum við vinnu. Í eðlisfræði tengist vinna krafti, sem oft er skilgreindur á innsæislegan hátt sem ýting eða tog á hlut. Þegar kraftur færir hlut segjum við að vinna sé unnin á hlutnum. Með öðrum orðum má líta á vinnu sem orkuna sem þarf til að færa hlut. Þegar krafturinn er fastur má samkvæmt eðlisfræði lýsa vinnu sem margfeldi krafts og vegalengdar.

Í breska einingakerfinu er kraftur mældur í pundum og vegalengd í fetum, svo vinna er gefin í fetpundum. Í metrakerfinu eru notuð kílógrömm og metrar. Eitt njúton er sá kraftur sem gefur massa að stærð $1$ kílógramm hröðunina $1$ m/s ². Algengasta eining vinnu er því njútonmetri. Sama eining nefnist einnig júl. Báðar einingarnar jafngilda kílógrammi sinnum metra í öðru veldi deilt með sekúndu í öðru veldi $(kg \cdot m^{2} / s^{2}) .$

Þegar kraftur er fastur eru útreikningarnir einfaldir. Kraftur er hins vegar sjaldan fastur. Vinnan við að þjappa saman (eða lengja) gorm breytist til dæmis eftir því hve mikið gorminum hefur þegar verið þjappað saman (eða hann teygður). Við skoðum gorma nánar síðar í þessum hluta.

Gerum ráð fyrir breytilegum krafti $F (x)$ sem færir hlut í jákvæða stefnu eftir x-ásnum frá punktinum $a$ að punktinum $b .$ Til að reikna vinnuna skiptum við bilinu $[a, b]$ og metum vinnuna á hverju hlutbili. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við því $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á bilinu $[a, b],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Til að reikna vinnuna við að færa hlut frá punktinum $x_{i - 1}$ að punktinum $x_{i},$ gerum við ráð fyrir að krafturinn sé nokkurn veginn fastur á bilinu og notum $F (x_{i}^{*})$ til að nálga kraftinn. Vinnan á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}],$ er þá gefin með

W_{i} \approx F (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = F (x_{i}^{*}) Δ x .

Vinnan á bilinu $[a, b]$ er því um það bil

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x .

Þegar markgildi þessarar segðar er tekið þegar $n \to \infty$ fæst nákvæmt gildi vinnunnar:

W = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} F (x) d x .

Við getum því skilgreint vinnu á eftirfarandi hátt.

Takið eftir að ef F er fasti verður heildið $F \cdot (b - a) = F \cdot d,$ sem er formúlan sem við settum fram í upphafi þessa hluta.

Nú skoðum við sérstaklega vinnuna við að þjappa saman eða lengja gorm. Hugsum okkur kubb sem er festur við láréttan gorm. Kubburinn hreyfist fram og til baka þegar gormurinn teygist og dregst saman. Í raunverulegum aðstæðum þyrftum við að taka tillit til núningskraftsins milli kubbsins og flatarins sem hann hvílir á, en hér lítum við fram hjá núningi og gerum ráð fyrir að flöturinn sé núningslaus. Þegar gormurinn hefur náttúrulega lengd sína (er í hvíld) er kerfið sagt vera í jafnvægi. Þá er gormurinn hvorki teygður né samanþjappaður og kubburinn hreyfist ekki úr jafnvægisstöðunni fyrr en krafti er beitt. Við stillum kerfinu þannig upp að $x = 0$ samsvari jafnvægisstöðunni (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir þrjár myndir. Á þeirri fyrstu sést x-ásinn og vinstra megin er lóðréttur kubbur. Við kubbinn er festur gormur sem endar við y-ásinn og er merktur x = 0. Myndin er merkt „jafnvægi“. Önnur myndin sýnir sama gorm, en hann endar áður en hann nær y-ásnum. Hann er merktur x < 0 og myndin „samanþjappaður“. Þriðja myndin sýnir sama gorm ná út fyrir y-ásinn. Hann er merktur x > 0 og myndin „teygður“. — **Mynd 2.51.** Kubbur festur við láréttan gorm þegar gormurinn er í jafnvægisstöðu, samanþjappaður og teygður.

Samkvæmt lögmáli Hookes er krafturinn sem þarf til að þjappa gormi saman eða teygja hann frá jafnvægisstöðu gefinn með $F (x) = k x,$ fyrir einhvern fasta $k .$ Gildi $k$ ræðst af eðliseiginleikum gormsins. Fastinn $k$ nefnist gormstuðull og er alltaf jákvæður. Þessar upplýsingar má nota til að reikna vinnuna við að þjappa saman eða lengja gorm, eins og sýnt er í næsta dæmi.

Dæmi 2.25

Vinnan sem þarf til að teygja eða þjappa saman gormi

Gerum ráð fyrir að kraft sem nemur $10$ N (í neikvæða stefnu) þurfi til að þjappa gormi $0.2$ m frá jafnvægisstöðu. Hve mikil vinna er unnin við að teygja gorminn $0.5$ m frá jafnvægisstöðu?

Lausn

Finnum fyrst gormstuðulinn $k .$ Þegar $x = −0.2,$ vitum við að $F (x) = −10,$ svo að

\begin{matrix} F (x) & = & k x \\ - 10 & = & k (−0.2) \\ k & = & 50 \end{matrix}

og $F (x) = 50 x .$ Til að reikna vinnuna heildum við síðan kraftfallið og fáum

W = \int_{a}^{b} F (x) d x = \int_{0}^{0.5} 5 0 x d x = {25 x^{2} |}_{0}^{0.5} = 6.25 .

Vinnan við að teygja gorminn er $6.25$ J.

Vinna við dælingu

Skoðum vinnuna við að dæla vatni (eða öðrum vökva) úr tanki. Dæluverkefni eru nokkru flóknari en gormaverkefni því margir útreikningar ráðast af lögun og stærð tanksins. Þar að auki skoðum við nú vinnuna við að færa rúmmál vatns í stað eins hlutar með tiltekinn massa, og meiri vinnu þarf til að færa vatn frá botni tanksins en frá yfirborði þess.

Við skoðum ferlið fyrst fyrir sívalan tank og síðan nokkur dæmi með tönkum af annarri lögun. Gerum ráð fyrir að sívalur tankur með geisla $4$ m og hæðina $10$ m sé fylltur að dýptinni 8 m. Hve mikla vinnu þarf til að dæla öllu vatninu upp yfir efri brún tanksins?

Fyrst þurfum við að skilgreina viðmiðunarkerfi. Látum $x$ tákna lóðrétta fjarlægð niður frá efri brún tanksins. Með öðrum orðum stillum við $x -ás$ upp lóðrétt með upphafspunktinn efst á tankinum og jákvæða stefnu niður á við (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir uppréttan réttan hringlaga sívalning sem táknar vatnstank. Geisli sívalningsins er 4 m og hæð hans 10 m. Vatnið í sívalningnum er 8 m á dýpt. Efst á tankinum er einnig lárétt lína sem táknar x = 0. Lóðrétt lína með ör niður á við, merkt x, er dregin við hlið sívalningsins. — **Mynd 2.52.** Hve mikla vinnu þarf til að tæma tank sem er að hluta fylltur með vatni?

Í þessu hnitakerfi nær vatnið frá $x = 2$ til $x = 10 .$ Við skiptum því bilinu $[2, 10]$ og skoðum vinnuna sem þarf til að lyfta hverju einstöku „lagi“ vatns. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á bilinu $[2, 10],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Mynd 2.53 sýnir dæmigert lag.

Myndin sýnir réttan hringlaga sívalning sem táknar vatnstank. Inni í sívalningnum er vatnslag með þykktina Δx. Lagið hefst í xᵢ₋₁ og endar í xᵢ. — **Mynd 2.53.** Dæmigert vatnslag.

Í dæluverkefnum er krafturinn sem þarf til að lyfta vatninu upp að efri brún tanksins sá kraftur sem vinnur gegn þyngdaraflinu og er því jafn þyngd vatnsins. Þar sem þyngdarþéttleiki vatns er $9800$ N/m ³ eða $62.4$ lb/ft ³ fæst þyngdin með því að reikna rúmmál hvers lags. Í þessu tilviki er

V = π {(4)}^{2} Δ x = 16 π Δ x .

Krafturinn sem þarf til að lyfta hverju lagi er þá

F = 980016 x = 156,800 x

Takið eftir að þetta skref verður nokkru flóknara ef tankurinn er ekki sívalur. Við skoðum slíkan tank í næsta dæmi.

Við þurfum einnig að vita hve langt þarf að lyfta vatninu. Miðað við val okkar á hnitakerfi má nota $x_{i}^{*}$ sem nálgun á vegalengdina sem þarf að lyfta laginu. Vinnan við að lyfta $i -ta$ vatnslaginu $W_{i}$ er þá um það bil

W_{i} \approx 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

Þegar vinna fyrir hvert lag er lögð saman fæst eftirfarandi nálgun á vinnunni við að tæma tankinn:

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

Þetta er Riemann-summa og þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty,$ fæst

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x \\ = 156,800 π \int_{2}^{10} x d x \\ = 156,800 π {[\frac{x^{2}}{2}] |}_{2}^{10} = 7,526,400 π \approx 23,644,883. \end{matrix}

Vinnan sem þarf til að tæma tankinn er um það bil 23,650,000 J.

Útreikningar í dæluverkefnum ráðast af lögun tanksins eða ílátsins. Eftirfarandi lausnarleið lýsir skref fyrir skref hvernig leysa má dæluverkefni.

Nú beitum við þessari lausnarleið í dæmi með ósívölum tanki.

Dæmi 2.26

Dæluverkefni með ósívölum tanki

Gerum ráð fyrir tanki sem er eins og öfug keila, með hæðina $12$ fet og grunngeislann $4$ fet. Tankurinn er fullur í upphafi og vatni er dælt upp yfir efri brún hans þar til hæð vatnsins sem eftir er í tankinum er $4$ fet. Hve mikla vinnu þarf til að dæla út þessu vatnsmagni?

Lausn

Tankurinn er sýndur á mynd 2.54. Eins og í dæminu með sívala tankinum stillum við $x -ás$ upp lóðrétt með upphafspunktinn efst á tankinum og jákvæða stefnu niður á við (skref 1).

Myndin sýnir keilu sem snýr niður. Ás liggur um miðju keilunnar. Efst á keilunni er punktur á ásnum merktur x = 0. — **Mynd 2.54.** Vatnstankur sem er eins og öfug keila.

Tankurinn er fullur í upphafi en að lokum eru $4$ fet af vatni eftir. Miðað við valið viðmiðunarkerfi þurfum við því að skipta bilinu $[0, 8] .$ Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við síðan $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á bilinu $[0, 8],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Við getum nálgað rúmmál lags með skífu og síðan notað einslaga þríhyrninga til að finna geisla skífunnar (sjá næstu mynd).

Myndin skiptist í tvo hluta. Á fyrri hlutanum sést x-ás. Fyrir neðan ásinn liggur hallandi línustrik sem nær upp að x-ásnum. Við hlið línustriksins er láréttur réttur hringlaga sívalningur. Á síðari hlutanum er rétthyrndur þríhyrningur sem samsvarar fyrri hlutanum og hallandi línustrikið er langhlið hans. Efsti hluti þríhyrningsins er 4 einingar og lóðrétta hliðin er 12 einingar. Lóðréttu hliðinni er einnig skipt í tvo hluta: sá fyrri er xᵢ og sá síðari 12 − xᵢ. Skiptingin er í sömu hæð og sívalningurinn á fyrri hlutanum. — **Mynd 2.55.** Einslaga þríhyrningar notaðir til að lýsa geisla vatnsskífu.

Af eiginleikum einslaga þríhyrninga fæst

\begin{matrix} \frac{r_{i}}{12 - x_{i}^{*}} & = & \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ 3 r_{i} & = & 12 - x_{i}^{*} \\ r_{i} & = & \frac{12 - x_{i}^{*}}{3} \\ = & 4 - \frac{x_{i}^{*}}{3} . \end{matrix}

Rúmmál skífunnar er þá

V_{i} = π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 2).

Þyngdarþéttleiki vatns er $62.4$ lb/ft ³, svo krafturinn sem þarf til að lyfta hverju lagi er nálgaður með

F_{i} \approx 62.4 π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 3).

Samkvæmt myndinni þarf að lyfta vatninu um því sem næst $x_{i}^{*}$ fet (skref 4), svo vinnan sem þarf til að lyfta laginu er nálguð með

W_{i} \approx 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 5).

Með því að leggja saman vinnuna sem þarf til að lyfta öllum lögunum fáum við nálgun fyrir heildarvinnuna:

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 6).

Þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty,$ fæst

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x \\ = \int_{0}^{8} 62.4 π x {(4 - \frac{x}{3})}^{2} d x \\ = 62.4 π \int_{0}^{8} x (16 - \frac{8 x}{3} + \frac{x^{2}}{9}) d x = 62.4 π \int_{0}^{8} (16 x - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{x^{3}}{9}) d x \\ = 62.4 π {[8 x^{2} - \frac{8 x^{3}}{9} + \frac{x^{4}}{36}] |}_{0}^{8} = 10,649.6 π \approx 33,456.7. \end{matrix}

Um það bil $33,450$ fetpund af vinnu þarf til að tæma tankinn niður að tilskildu vatnsyfirborði.

Kraftur og þrýstingur í vökva

Í þessum síðasta hluta skoðum við kraftinn og þrýstinginn sem verkar á hlut í kafi í vökva. Í breska einingakerfinu er kraftur mældur í pundum en í metrakerfinu í njútonum. Þrýstingur er kraftur á flatarmálseiningu. Í breska kerfinu er hann því gefinn í pundum á ferfet (eða, eins og algengara er, pundum á fertommu, táknað psi). Í metrakerfinu er hann gefinn í njútonum á fermetra, sem einnig nefnast pasköl.

Byrjum á einföldu tilviki þar sem plata með flatarmálið $A$ er lárétt í vatni á dýpi s ( mynd 2.56 ). Krafturinn sem verkar á plötuna er einfaldlega þungi vatnsins fyrir ofan hana, gefinn með $F = ρ A s,$ þar sem $ρ$ er þyngdarþéttleiki vatns (þyngd á rúmmálseiningu). Til að finna vökvastöðuþrýstinginn — þ.e. þrýsting vatnsins á hlut í kafi — deilum við kraftinum með flatarmálinu. Þrýstingurinn er því $p = F / A = ρ s .$

Myndin sýnir hringlaga plötu í kafi í vatni. Platan er merkt A og dýpi vatnsins er merkt s. — **Mynd 2.56.** Plata sem liggur lárétt í vatni.

Samkvæmt lögmáli Pascals er þrýstingur á tilteknu dýpi sá sami í allar áttir, svo engu skiptir hvort platan er lárétt eða lóðrétt í vatninu. Ef við þekkjum dýpið þekkjum við því þrýstinginn. Við getum beitt lögmáli Pascals til að finna kraftinn sem verkar á lóðrétta fleti, svo sem framhliðar stíflna. Ekki er hægt að beita formúlunni $F = ρ A s$ beint því dýpið breytist frá einum punkti til annars á lóðréttum fleti. Eins og við höfum oft gert áður myndum við því skiptingu, Riemann-summu og að lokum ákveðið heildi til að reikna kraftinn.

Gerum ráð fyrir þunnri plötu í kafi í vatni. Við veljum viðmiðunarkerfi þannig að x-ásinn sé lóðréttur, jákvæð stefna niður á við og punkturinn $x = 0$ samsvari hentugum viðmiðunarpunkti. Látum $s (x)$ tákna dýpið í punktinum x. Oft látum við $x = 0$ samsvara yfirborði vatnsins. Þá er dýpið í hverjum punkti einfaldlega gefið með $s (x) = x .$ Stundum getur þó hentað að velja annan viðmiðunarpunkt fyrir $x = 0,$ svo við leiðum út segðina fyrir almenna tilvikið. Látum að lokum $w (x)$ tákna breidd plötunnar í punktinum $x .$

Gerum ráð fyrir að efri brún plötunnar sé í punktinum $x = a$ og neðri brúnin í punktinum $x = b .$ Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ síðan vera reglulega skiptingu á bilinu $[a, b],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Skiptingin skiptir plötunni í nokkrar þunnar, rétthyrndar ræmur (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir hringlaga plötu í kafi séða ofan frá. X-ásinn er við hlið plötunnar. Þvermál plötunnar nær frá x = a til x = b. Um miðja plötuna liggur ræma með þykktina Δx. Á ásnum hefst þykktin í x=xᵢ₋₁ og endar í x=xᵢ. Lengd ræmunnar á plötunni er merkt w(cᵢ). — **Mynd 2.57.** Þunn plata sem er lóðrétt í vatni.

Nú metum við kraftinn á dæmigerða ræmu. Ef ræman er nógu þunn má líta svo á að hún sé alls staðar á sama dýpi, $s (x_{i}^{*}) .$ Þá fæst

F_{i} = ρ A s = ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

Með því að leggja kraftana saman fáum við mat á kraftinum sem verkar á plötuna:

F \approx \sum_{i = 1}^{n} F_{i} = \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

Þetta er Riemann-summa, svo með því að taka markgildið fáum við nákvæman kraft. Þá fæst

F = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x .

(2.13)

Með því að reikna heildið fáum við kraftinn sem verkar á plötuna. Við tökum þetta saman í eftirfarandi lausnarleið.

Dæmi 2.27

Kraftur vegna vökvastöðuþrýstings fundinn

Vatnsrenna sem er 15 fet á lengd hefur enda í lögun öfugra jafnarma þríhyrninga með grunnlínuna 8 fet og hæðina 3 fet. Finnið kraftinn sem verkar á annan enda rennunnar þegar hún er full af vatni.

Lausn

Mynd 2.58 sýnir rennuna og nákvæmari mynd af öðrum enda hennar.

Myndin skiptist í tvo hluta. Á fyrri hlutanum er vatnsrenna með rétthyrndar hliðar. Lengd rennunnar er 15 fet, dýptin 3 fet og breiddin 8 fet. Á síðari hlutanum er þversnið rennunnar, sem er þríhyrningur. Efri hliðin er 8 fet á lengd, skáhliðarnar 5 fet og hæðin er merkt 3 fet. — **Mynd 2.58.** (a) Vatnsrenna með þríhyrnt þversnið. (b) Mál annars enda vatnsrennunnar.

Veljið viðmiðunarkerfi þar sem $x -ás$ er lóðréttur og jákvæð stefna niður á við. Látið efri brún rennunnar samsvara punktinum $x = 0$ (skref 1). Dýptarfallið er þá $s (x) = x .$ Af einslaga þríhyrningum sést að $w (x) = 8 - (8 / 3) x$ (skref 2). Þyngdarþéttleiki vatns er $62.4$ lb/ft ³ (skref 3), svo með því að beita jöfnu 2.13 fæst

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{0}^{3} 62.4 (8 - \frac{8}{3} x) x d x = 62.4 \int_{0}^{3} (8 x - \frac{8}{3} x^{2}) d x \\ = 62.4 {[4 x^{2} - \frac{8}{9} x^{3}] |}_{0}^{3} = 748.8. \end{matrix}

Vatnið verkar á enda rennunnar með 748.8 punda krafti (skref 4).

Dæmi 2.28

Kaflaupphaf: Kraftur vegna vökvastöðuþrýstings fundinn

Nú beinum við sjónum aftur að Hoover-stíflunni sem var nefnd í upphafi kaflans. Stíflan er í raun bogadregin en ekki flöt, en við gerum nokkrar einfaldandi forsendur til að auðvelda útreikningana. Gerum ráð fyrir að framhlið Hoover-stíflunnar sé löguð eins og jafnarma trapisa með neðri grunnlínuna $750$ fet, efri grunnlínuna $1250$ fet og hæðina $750$ fet (sjá næstu mynd).

Myndin skiptist í tvo hluta. Á fyrri hlutanum er ljósmynd af stíflu. Við hlið hennar er trapisa sem sýnir mál stíflunnar. Efri hliðin er 1250 fet, neðri hliðin 750 fet og hæðin 750 fet.

Þegar miðlunarlónið er fullt er mesta dýpi Mead-vatns um 530 fet og yfirborð vatnsins er um 10 fet fyrir neðan efri brún stíflunnar (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir trapisu með lengri hliðina efst. Inni í henni er minni trapisa með hæðina 530 fet. Efri brún hennar er einnig 10 fet fyrir neðan efri brún stærri trapisu. — **Mynd 2.59.** Einfaldað líkan af Hoover-stíflunni með gefnum málum.

Finnið kraftinn sem verkar á framhlið stíflunnar þegar miðlunarlónið er fullt.
Þurrkar hafa geisað í suðvesturhluta Bandaríkjanna og yfirborð Mead-vatns er um 125 fetum neðar en það væri ef miðlunarlónið væri fullt. Hvaða kraftur verkar á framhlið stíflunnar við þessar aðstæður?

Lausn

Við byrjum á að skilgreina viðmiðunarkerfi. Eins og venjulega stillum við $x -ás$ upp lóðrétt með jákvæða stefnu niður á við. Í þetta sinn látum við þó $x = 0$ tákna efri brún stíflunnar en ekki yfirborð vatnsins. Þegar miðlunarlónið er fullt er yfirborð vatnsins $10$ fet fyrir neðan efri brún stíflunnar, svo $s (x) = x - 10$ (sjá næstu
mynd). Mynd 2.60 Fyrst veljum við viðmiðunarkerfi. Til að finna breiddarfallið notum við aftur einslaga þríhyrninga eins og næsta

mynd sýnir. Mynd 2.61 Einslaga þríhyrningar notaðir til að ákvarða fall fyrir breidd stíflunnar. (a) Gefin mál stíflunnar. (b) Einslaga þríhyrningarnir auðkenndir. Af myndinni sést að

$w (x) = 750 + 2 r .$ Af eiginleikum einslaga þríhyrninga fæst $r = 250 - (1 / 3) x .$ Því er
$w (x) = 1250 - \frac{2}{3} x (skref 2).$

Með þyngdarþéttleikanum $62.4$ lb/ft ³ (skref 3) og með því að beita jöfnu 2.13 fæst
$\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{10}^{540} 62.4 (1250 - \frac{2}{3} x) (x - 10) d x = 62.4 \int_{10}^{540} - \frac{2}{3} [x^{2} - 1885 x + 18750] d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{1885 x^{2}}{2} + 18750 x] |}_{10}^{540} \approx 8,832,245,000 lb = 4,416,122.5 t . \end{matrix}$
Takið eftir breytingunni úr pundum í tonn:
$(2000$ pund = $1$ tonn) (skref 4).
Takið eftir að þurrkarnir breyta dýptarfallinu,
$s (x),$ og heildunarmörkunum. Við höfum $s (x) = x - 135 .$ Neðri heildunarmörkin eru $135 .$ Efri mörkin eru enn $540 .$ Með því að reikna heildið fæst

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{135}^{540} 62.4 (1250 - \frac{2}{3} x) (x - 135) d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x - 1875) (x - 135) d x = −62.4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x^{2} - 2010 x + 253125) d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - 1005 x^{2} + 253125 x] |}_{135}^{540} \approx 5,015,230,000 lb = 2,507,615 t . \end{matrix}

Æfingar í hluta 2.5

Finnið vinnuna í eftirfarandi dæmum.

218.

Finnið vinnuna þegar fasti krafturinn $F = 12$ pund færir stól frá $x = 0.9$ til $x = 1.1$ feta.

219.

Hve mikil vinna er unnin þegar manneskja lyftir $50$ punda kassa með myndasögum upp á vörubíl sem er $3$ fet frá jörðu?

220.

Hve mikil vinna er unnin við að lyfta $20$ kg barni af gólfinu í $2$ m hæð? (Takið eftir að massinn $1$ kg vegur $9.8$ N nálægt yfirborði jarðar.)

221.

Finnið vinnuna þegar kassa er ýtt $2$ m eftir gólfi með fasta kraftinum $F = 100 N .$

222.

Reiknið vinnu kraftsins $F = 12 / x^{2}$ N frá $x = 1$ til $x = 2$ m.

223.

Hve mikil vinna er unnin við að færa ögn frá $x = 0$ til $x = 1$ m ef krafturinn sem verkar á hana er $F = 3 x^{2}$ N?

Finnið massa einvíða hlutarins í eftirfarandi dæmum.

224.

Vír sem er $2$ fet á lengd (sem hefst við $x = 0)$ og hefur þéttleikafallið $ρ (x) = x^{2} + 2 x$ lb/ft

225.

Bílaloftnet sem er $3$ fet á lengd (sem hefst við $x = 0)$ og hefur þéttleikafallið $ρ (x) = 3 x + 2$ lb/ft

226.

Málmstöng sem er $8$ tommur á lengd (sem hefst við $x = 0)$ og hefur þéttleikafallið $ρ (x) = e^{(1 / 2) x}$ lb/in.

227.

Blýantur sem er $4$ tommur á lengd (sem hefst við $x = 2)$ og hefur þéttleikafallið $ρ (x) = 5 / x$ oz/in.

228.

Reglustika sem er $12$ tommur á lengd (sem hefst við $x = 5)$ og hefur þéttleikafallið $ρ (x) = ln (x) + (1 / 2) x^{2}$ oz/in.

Finnið massa tvívíða hlutarins með miðju í upphafspunktinum í eftirfarandi dæmum.

229.

Óvenjustór íshokkípökkur með geisla $2$ tommur og þéttleikafallið $ρ (x) = x^{3} - 2 x + 5$

230.

Frisbídiskur með geisla $6$ tommur og þéttleikafallið $ρ (x) = e^{− x}$

231.

Plata með geisla $10$ tommur og þéttleikafallið $ρ (x) = 1 + cos (π x)$

232.

Krukkulok með geisla $3$ tommur og þéttleikafallið $ρ (x) = ln (x + 1)$

233.

Skífa með geisla $5$ cm og þéttleikafallið $ρ (x) = \sqrt{3 x}$

234.

Til að teygja gorm sem er $12$ tommur á lengd í $15$ tommur þarf kraft sem nemur $75$ pundum. Hver er gormstuðullinn?

235.

Gormur hefur náttúrulega lengd $10$ cm. Það þarf $2$ J til að teygja hann í $15$ cm. Hve mikla vinnu þarf til að teygja gorminn frá $15$ cm í $20$ cm?

236.

Til að teygja gorm sem er $1$ m á lengd þarf $10$ J af vinnu svo að hann verði $1.1$ m. Hve mikla vinnu þarf til að teygja gorminn frá $1$ m í $1.2$ m?

237.

Það þarf $5$ J til að teygja gorm frá $8$ cm í $12$ cm og $4$ J til viðbótar til að teygja hann frá $12$ cm í $14$ cm. Hver er náttúruleg lengd gormsins?

238.

Höggdeyfir þjappast saman um 1 tommu við eins tonns álag. Hver er gormstuðullinn?

239.

Krafturinn $F = 20 x - x^{3}$ N teygir ólínulegan gorm um $x$ metra. Hve mikla vinnu þarf til að teygja gorminn frá $x = 0$ í $x = 2$ m?

240.

Finnið vinnuna við að vinda upp hangandi kapal sem er $100$ fet á lengd og hefur þyngdarþéttleikann $5$ lb/ft.

241.

Hve mikil vinna er unnin við að lyfta kaplinum í fyrri æfingu um $50$ fet?

242.

Hve mikil viðbótarvinna er unnin ef $200$ punda lóð er hengt í enda kapalsins í fyrri æfingu?

243.

[T] Pýramídi með hæðina $500$ fet hefur ferningslaga grunnflöt sem er $800$ fet á $800$ fet. Finnið flatarmálið $A$ í hæðinni $h .$ Ef bergið sem notað var til að byggja pýramídann vegur um $w = 100 {lb/ft}^{3},$ hve mikla vinnu þurfti til að lyfta öllu berginu?

244.

[T] Gerum ráð fyrir að $1000$ verkamenn hafi byggt pýramídann í fyrri æfingu og hver þeirra unnið $10$ klukkustundir á dag, $5$ daga í viku og $50$ vikur á ári. Ef verkamennirnir lyftu að meðaltali 10 steinum sem hver um sig vó 100 pund um $2$ ft/hr, hve lengi voru þeir að byggja pýramídann?

245.

[T] Þyngdarkrafturinn á massann $m$ er $F = − ((G M m) / x^{2})$ njúton. Reiknið vinnuna við að lyfta eldflaug sem hefur massann $m = 1000 kg,$ frá $x = 6400$ í $x = 6500$ km. Gefið svörin með þremur markverðum tölustöfum. (Takið eftir: $G = 6.67 \times 10^{−11} {N m}^{2} / {kg}^{2}$ og $M = 6 \times 10^{24} kg .)$

246.

[T] Finnið vinnuna við að lyfta eldflauginni í fyrri æfingu frá $x = 6400$ í $x = \infty .$

247.

[T] Rétthyrnd stífla er $40$ fet á hæð og $60$ fet á breidd. Gerum ráð fyrir að þyngdarþéttleiki vatns sé 62.5 lbs/ft ³. Reiknið heildarkraftinn $F$ á stífluna þegar

yfirborð vatnsins er við efri brún stíflunnar og
yfirborð vatnsins er mitt á milli efri og neðri brúnar stíflunnar.

248.

[T] Finnið vinnuna sem þarf til að dæla öllu vatni úr sívalningi með hringlaga grunnflöt sem hefur geislann $5$ fet og hæðina $200$ fet. Notið að þyngdarþéttleiki vatns er $62$ lb/ft ³.

249.

[T] Finnið vinnuna sem þarf til að dæla öllu vatni úr sívalningnum í fyrri æfingu ef hann er aðeins hálffullur af vatni.

250.

[T] Hve mikla vinnu þarf til að dæla vatninu úr sundlaug ef grunnflöturinn er $800$ fet ², vatnið er $4$ fet á dýpt og efri brún laugarinnar er $1$ fet yfir vatnsyfirborðinu? Gerum ráð fyrir að þyngdarþéttleiki vatns sé $62$ lb/ft ³.

251.

Sívalningur sem hefur dýptina $H$ og þversniðsflatarmálið $A$ er fullur af vatni sem hefur eðlismassann $ρ .$ Reiknið vinnuna við að dæla öllu vatninu upp að efri brún.

252.

Reiknið vinnuna við að dæla öllu vatni upp að efri brún sívalningsins í fyrri æfingu ef hann er aðeins hálffullur af vatni.

253.

Tankur í lögun keilu hefur þversniðsflatarmál sem vex með dýptinni: $A = (π r^{2} h^{2}) / H^{3} .$ Sýnið að vinnan við að tæma hann er helmingur vinnunnar við að tæma sívalning með sömu hæð og sama grunnflöt.