22 Hagnýting heildunar

2.9 Stærðfræðigreining breiðbogafalla

Námsmarkmið

2.9.1 Beita reglum um afleiður og heildi breiðbogafalla.
2.9.2 Beita reglum um afleiður andhverfra breiðbogafalla og heildi sem tengjast þeim.
2.9.3 Lýsa algengum hagnýtum aðstæðum þar sem keðjuferill myndast.

Við kynntumst breiðbogaföllum og nokkrum grunneiginleikum þeirra í Inngangi að föllum og gröfum. Í þessum hluta skoðum við deildunar- og heildunarreglur breiðbogafalla og andhverfa þeirra.

Afleiður og heildi breiðbogafalla

Rifjum upp að breiðbogasínus og breiðbogakósínus eru skilgreindir með

sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} og cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2} .

Hin breiðbogaföllin eru síðan skilgreind út frá $sinh x$ og $cosh x .$ Gröf breiðbogafallanna eru sýnd á næstu mynd.

Myndin sýnir sex gröf. Fyrsta grafið, merkt „a“, er graf fallsins y=sinh(x). Það er vaxandi frá þriðja fjórðungi, gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Annað grafið er merkt „b“ og sýnir fallið y=cosh(x). Það er minnkandi í öðrum fjórðungi niður að skurðpunktinum y=1 en verður síðan vaxandi. Þriðja grafið, merkt „c“, sýnir fallið y=tanh(x). Það er vaxandi frá þriðja fjórðungi, gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Fjórða grafið er merkt „d“ og sýnir fallið y=coth(x). Það er tvískipt, með annan hlutann í þriðja fjórðungi og hinn í fyrsta fjórðungi, og hefur y-ásinn sem lóðrétta aðfellu. Fimmta grafið er merkt „e“ og sýnir fallið y=sech(x). Ferillinn liggur ofan x-ássins, vex í öðrum fjórðungi að y-ásnum í y=1 og minnkar síðan. Sjötta grafið er merkt „f“ og sýnir fallið y=csch(x). Það er tvískipt, með annan hlutann í þriðja fjórðungi og hinn í fyrsta fjórðungi, og hefur y-ásinn sem lóðrétta aðfellu. — **Mynd 2.81.** Gröf breiðbogafallanna.

Auðvelt er að leiða út deildunarreglur breiðbogafallanna. Ef við skoðum til dæmis $sinh x$ fæst

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sinh x) & = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{− x}}{2}) \\ = \frac{1}{2} [\frac{d}{d x} (e^{x}) - \frac{d}{d x} (e^{− x})] \\ = \frac{1}{2} [e^{x} + e^{− x}] = cosh x . \end{matrix}

Á sama hátt er $(d / d x) cosh x = sinh x .$ Deildunarreglur breiðbogafallanna eru teknar saman í næstu töflu.

$f (x)$	d/d x f ( x )
sinh x	cosh x
cosh x	sinh x
tanh x	sech 2 x
coth x	− csch 2 x
sech x	− sech x tanh x
csch x	− csch x coth x

Berum afleiður breiðbogafallanna saman við afleiður venjulegu hornafallanna. Margt er líkt, en einnig er nokkur munur. Afleiður sínusfallanna samsvara til dæmis hvor annarri: $(d / d x) sin x = cos x$ og $(d / d x) sinh x = cosh x .$ Afleiður kósínusfallanna hafa hins vegar ólík formerki: $(d / d x) cos x = − sin x,$ en $(d / d x) cosh x = sinh x .$ Við frekari athugun breiðbogafallanna þurfum við að hafa bæði líkindin og muninn á þeim og venjulegu hornaföllunum í huga.

Eftirfarandi heildunarreglur leiða beint af þessum deildunarreglum breiðbogafallanna.

\begin{matrix} \int sinh u d u & = & cosh u + C & \int {csch}^{2} u d u & = & − coth u + C \\ \int cosh u d u & = & sinh u + C & \int sech u tanh u d u & = & − sech u + C \\ \int {sech}^{2} u d u & = & tanh u + C & \int csch u coth u d u & = & − csch u + C \end{matrix}

Dæmi 2.47

Deildun breiðbogafalla

Reiknið eftirfarandi afleiður:

$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2}))$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2}$

Lausn

Með reglum úr töflu 2.2 og keðjureglunni fæst

$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2})) = cosh (x^{2}) \cdot 2 x$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2} = 2 cosh x sinh x$

Dæmi 2.48

Heildi sem fela í sér breiðbogaföll

Reiknið eftirfarandi heildi:

$\int x cosh (x^{2}) d x$
$\int tanh x d x$

Lausn

Í báðum tilvikum má nota u-innsetninguu.

Látum $u = x^{2} .$ Þá er $d u = 2 x d x$ og
$\int x cosh (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cosh u d u = \frac{1}{2} sinh u + C = \frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C .$
Látum $u = cosh x .$ Þá er $d u = sinh x d x$ og
$\int tanh x d x = \int \frac{sinh x}{cosh x} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C .$

Takið eftir að $cosh x > 0$ fyrir öll $x,$ svo sleppa má algildismerkjunum og fá
$tanhxdx = \ln (coshx) + C tanhxdx = \ln (coshx) + C$

Stærðfræðigreining andhverfra breiðbogafalla

Af gröfum breiðbogafallanna sést að með viðeigandi takmörkunum á myndmengjum hafa þau öll andhverf föll. Flestar nauðsynlegar takmarkanir má ráða af nákvæmri skoðun grafanna. Skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfu breiðbogafallanna eru tekin saman í næstu töflu.

Fall	Skilgreiningarmengi	Myndmengi
sinh −1 x	( − ∞ , ∞ )	( − ∞ , ∞ )
cosh −1 x	[ 1 , ∞ )	[ 0 , ∞ )
tanh −1 x	( −1 , 1 )	( − ∞ , ∞ )
coth −1 x	( − ∞ , −1 ) ∪ ( 1 , ∞ )	( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )
sech −1 x	( 0 , 1 ]	[ 0 , ∞ )
csch −1 x	( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )	( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )

Gröf andhverfu breiðbogafallanna eru sýnd á næstu mynd.

Myndin sýnir sex gröf. Fyrsta grafið, merkt „a“, er graf fallsins y=sinh⁻¹(x). Það er vaxandi frá þriðja fjórðungi, gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Annað grafið er merkt „b“ og sýnir fallið y=cosh⁻¹(x). Það liggur í fyrsta fjórðungi, byrjar á x-ásnum við 2 og vex. Þriðja grafið, merkt „c“, sýnir fallið y=tanh⁻¹(x). Það er vaxandi frá þriðja fjórðungi, gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Fjórða grafið er merkt „d“ og sýnir fallið y=coth⁻¹(x). Það er tvískipt, með annan hlutann í þriðja fjórðungi og hinn í fyrsta fjórðungi, og hefur y-ásinn sem lóðrétta aðfellu. Fimmta grafið er merkt „e“ og sýnir fallið y=sech⁻¹(x). Ferillinn minnkar í fyrsta fjórðungi og endar á x-ásnum við x=1. Sjötta grafið er merkt „f“ og sýnir fallið y=csch⁻¹(x). Það er tvískipt, með annan hlutann í þriðja fjórðungi og hinn í fyrsta fjórðungi, og hefur y-ásinn sem lóðrétta aðfellu. — **Mynd 2.82.** Gröf andhverfu breiðbogafallanna.

Til að finna afleiður andhverfu fallanna beitum við fólginni deildun. Við höfum

\begin{matrix} y & = & {sinh}^{−1} x \\ sinh y & = & x \\ \frac{d}{d x} sinh y & = & \frac{d}{d x} x \\ cosh y \frac{d y}{d x} & = & 1 . \end{matrix}

Rifjum upp að ${cosh}^{2} y - {sinh}^{2} y = 1,$ svo $cosh y = \sqrt{1 + {sinh}^{2} y} .$ Þá er

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

Á sama hátt má leiða út deildunarreglur hinna andhverfu breiðbogafallanna. Reglurnar eru teknar saman í næstu töflu.

$f (x)$	d/d x f ( x )
sinh −1 x	1/1 + x 2
cosh −1 x	1/x 2 − 1
tanh −1 x	1/1 − x 2
coth −1 x	1/1 − x 2
sech −1 x	−1/x 1 − x 2
csch −1 x	−1/\| x \| 1 + x 2

Takið eftir að afleiður ${tanh}^{−1} x$ og ${coth}^{−1} x$ eru eins. Við heildun á $1 / (1 - x^{2}),$ þarf því að velja rétt stofnfall út frá skilgreiningarmengi fallanna og gildum $x .$ Heildunarreglur sem fela í sér andhverf breiðbogaföll eru teknar saman hér á eftir.

\begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & {sinh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u & = & − {sech}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u & = & {cosh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & − {csch}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u & = & {\begin{matrix} {tanh}^{−1} u + C ef | u | < 1 \\ {coth}^{−1} u + C ef | u | > 1 \end{matrix} \end{matrix}

Dæmi 2.49

Deildun andhverfra breiðbogafalla

Reiknið eftirfarandi afleiður:

$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3}))$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2}$

Lausn

Með reglum úr töflu 2.4 og keðjureglunni fást eftirfarandi niðurstöður:

$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3})) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2} = \frac{2 ({tanh}^{−1} x)}{1 - x^{2}}$

Dæmi 2.50

Heildi sem fela í sér andhverf breiðbogaföll

Reiknið eftirfarandi heildi:

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x$
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Lausn

Í báðum tilvikum má nota $u -innsetningu$ .

Látum $u = 2 x .$ Þá er $d u = 2 d x$ og við fáum
$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} (2 x) + C .$
Látum $u = 3 x .$ Þá er $d u = 3 d x$ og við fáum
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | u | + C = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | 3 x | + C .$

Hagnýting

Ein hagnýting breiðbogafalla í eðlisfræði varðar hangandi kapla. Ef kapall með jafnan línuþéttleika er hengdur milli tveggja festinga og ber ekkert álag annað en eigin þyngd myndar hann feril sem nefnist keðjuferill. Háspennulínur, keðjur milli stólpa og þræðir í köngulóarvef mynda allir keðjuferla. Næsta mynd sýnir keðjur sem hanga milli stólpa í röð.

Mynd af keðjum sem hanga milli stólpa og mynda allar keðjuferla. — **Mynd 2.83.** Keðjurnar milli stólpanna mynda keðjuferla. (heimild: breytt verk eftir OKFoundryCompany, Flickr)

Nota má breiðbogaföll til að líkja eftir keðjuferlum. Föll af gerðinni $y = a cosh (x / a)$ eru keðjuferlar. Mynd 2.84 sýnir graf $y = 2 cosh (x / 2) .$

Myndin sýnir graf fallsins f(x)=2cosh(x/2). Ferillinn er minnkandi í öðrum fjórðungi að y-ásnum og sker hann í y=2. Síðan verður ferillinn vaxandi. — **Mynd 2.84.** Breiðbogakósínusfall myndar keðjuferil.

Dæmi 2.51

Lengd kapals fundin með keðjuferli

Gerum ráð fyrir að hangandi kapall hafi lögunina $10 cosh (x / 10)$ þegar $−15 \leq x \leq 15,$ þar sem $x$ er mælt í fetum. Finnið lengd kapalsins í fetum.

Lausn

Rifjum upp úr hluta $2.4$ að formúlan fyrir bogalengd er

Bogalengd = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

Við höfum $f (x) = 10 cosh (x / 10),$ svo $f^{'} (x) = sinh (x / 10) .$ Þá er

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x . \end{matrix}

Rifjum nú upp að $1 + {sinh}^{2} x = {cosh}^{2} x,$ svo

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x \\ = \int_{−15}^{15} cosh (\frac{x}{10}) d x \\ = 10 sinh {(\frac{x}{10}) |}_{−15}^{15} = 10 [sinh (\frac{3}{2}) - sinh (- \frac{3}{2})] = 20 sinh (\frac{3}{2}) \\ \approx 42.586 ft . \end{matrix}

Æfingar í hluta 2.9

377.

[T] Finnið segðir fyrir $cosh x + sinh x$ og $cosh x - sinh x .$ Notið reiknivél til að teikna gröf fallanna og ganga úr skugga um að segðirnar séu réttar.

378.

Finnið stofnföll $cosh (x)$ og $sinh (x),$ út frá skilgreiningum þeirra.

379.

Sýnið að $cosh (x)$ og $sinh (x)$ uppfylli $y^{″} = y .$

380.

Notið kvótaregluna til að sannreyna að $tanh (x)' = {sech}^{2} (x) .$

381.

Leiðið ${cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x) = cosh (2 x)$ út frá skilgreiningunni.

382.

Deildið síðustu segð til að finna segð fyrir $sinh (2 x) .$

383.

Sannið $sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y)$ með því að rita segðina með vísisföllum.

384.

Deildið síðustu segð til að finna segð fyrir $cosh (x + y) .$

Finnið afleiður gefnu fallanna í eftirfarandi dæmum og teiknið gröf afleiðunnar og fallsins saman til að sannreyna niðurstöðuna.

385.

[T] $cosh (3 x + 1)$

386.

[T] $sinh (x^{2})$

387.

[T] $\frac{1}{cosh (x)}$

388.

[T] $sinh (ln (x))$

389.

[T] ${cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x)$

390.

[T] ${cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x)$

391.

[T] $tanh (\sqrt{x^{2} + 1})$

392.

[T] $\frac{1 + tanh (x)}{1 - tanh (x)}$

393.

[T] ${sinh}^{6} (x)$

394.

[T] $ln (sech (x) + tanh (x))$

Finnið stofnföll gefnu fallanna í eftirfarandi dæmum.

395.

$cosh (2 x + 1)$

396.

$tanh (3 x + 2)$

397.

$x cosh (x^{2})$

398.

$3 x^{3} tanh (x^{4})$

399.

${cosh}^{2} (x) sinh (x)$

400.

${tanh}^{2} (x) {sech}^{2} (x)$

401.

$\frac{sinh (x)}{1 + cosh (x)}$

402.

$coth (x)$

403.

$cosh (x) + sinh (x)$

404.

${(cosh (x) + sinh (x))}^{n}$

Finnið afleiður fallanna í eftirfarandi dæmum.

405.

${tanh}^{−1} (4 x)$

406.

${sinh}^{−1} (x^{2})$

407.

${sinh}^{−1} (cosh (x))$

408.

${cosh}^{−1} (x^{3})$

409.

${tanh}^{−1} (cos (x))$

410.

$e^{{sinh}^{−1} (x)}$

411.

$ln ({tanh}^{−1} (x))$

Finnið stofnföll fallanna í eftirfarandi dæmum.

412.

$\int \frac{d x}{4 - x^{2}}$

413.

$\int \frac{d x}{a^{2} - x^{2}}$

414.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

415.

$\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

416.

$\int - \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

417.

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 1}} d x$

418.

$\int - \frac{2 x}{x^{4} - 1} d x$

Notið í eftirfarandi dæmum þá staðreynd að fallandi hlutur sem verður fyrir núningskrafti sem er jafn hraðanum í öðru veldi fylgir jöfnunni $d v / d t = g - v^{2} .$

419.

Sýnið að $v (t) = \sqrt{g} tanh ((\sqrt{g}) t)$ uppfylli jöfnuna.

420.

Leiðið fyrri segð fyrir $v (t)$ af með því að heilda $\frac{d v}{g - v^{2}} = d t .$

421.

[T] Áætlið hve langt hlutur hefur fallið á $12$ sekúndum með því að finna flatarmálið undir ferli $v (t) .$

Í næstu dæmum er stuðst við eftirfarandi aðstæður: Kapall sem hangir undan eigin þyngd hefur hallatöluna $S = d y / d x$ sem uppfyllir $d S / d x = c \sqrt{1 + S^{2}} .$ Fastinn $c$ er hlutfall línuþéttleika kapalsins og togkraftsins í honum.

422.

Sýnið að $S = sinh (c x)$ uppfylli jöfnuna.

423.

Heildið $d y / d x = sinh (c x)$ til að finna hæð kapalsins $y (x)$ ef $y (0) = 1 / c .$

424.

Teiknið kapalinn og finnið hve langt hann sígur við $x = 0 .$

Leysið hvert af eftirfarandi verkefnum.

425.

[T] Keðja hangir milli tveggja stólpa sem eru $2$ m hvor frá öðrum og myndar keðjuferil sem lýst er með jöfnunni $y = 2 cosh (x / 2) - 1 .$ Finnið hallatölu keðjuferilsins við vinstri stólpann.

426.

[T] Keðja hangir milli tveggja stólpa með fjögurra metra millibili og myndar keðjuferil sem lýst er með jöfnunni $y = 4 cosh (x / 4) - 3 .$ Finnið heildarlengd keðjuferilsins, það er bogalengd hans.

427.

[T] Háspennulína er keðjuferill sem lýst er með $y = 10 cosh (x / 10) .$ Finnið hlutfall flatarmálsins undir keðjuferlinum og bogalengdar hans. Hvað kemur í ljós?

428.

Símalína er keðjuferill sem lýst er með $y = a cosh (x / a) .$ Finnið hlutfall flatarmálsins undir keðjuferlinum og bogalengdar hans. Staðfestir það niðurstöðu síðasta dæmis?

429.

Sannið regluna fyrir afleiðu $y = {sinh}^{−1} (x)$ með því að deilda $x = sinh (y) .$ (Ábending: Notið samsemdir breiðbogafalla.)

430.

Sannið regluna fyrir afleiðu $y = {cosh}^{−1} (x)$ með því að deilda $x = cosh (y) .$

(Ábending: Notið samsemdir breiðbogafalla.)

431.

Sannið regluna fyrir afleiðu $y = {sech}^{−1} (x)$ með því að deilda $x = sech (y) .$ (Ábending: Notið samsemdir breiðbogafalla.)

432.

Sannið að ${(cosh (x) + sinh (x))}^{n} = cosh (n x) + sinh (n x) .$

433.

Sannið segðina fyrir ${sinh}^{−1} (x) .$ Margfaldið $x = sinh (y) = (1 / 2) (e^{y} - e^{− y})$ með $2 e^{y}$ og einangrið $y .$ Samsvarar segðin niðurstöðunni í kennslubókinni?

434.

Sannið segðina fyrir ${cosh}^{−1} (x) .$ Margfaldið $x = cosh (y) = (1 / 2) (e^{y} + e^{− y})$ með $2 e^{y}$ og einangrið $y .$ Samsvarar segðin niðurstöðunni í kennslubókinni?