22 Hagnýting heildunar

2.8 Vísisvöxtur og -hnignun

Námsmarkmið

2.8.1 Beita vísisvaxtarlíkani, meðal annars á fólksfjölgun og vaxtavexti.
2.8.2 Útskýra hugtakið tvöföldunartími.
2.8.3 Beita vísishnignunarlíkani, meðal annars á geislavirka hrörnun og kólnunarlögmál Newtons.
2.8.4 Útskýra hugtakið helmingunartími.

Líkön fyrir vöxt og hnignun eru meðal algengustu hagnýtinga vísisfalla. Vísisvöxtur og -hnignun koma fyrir í fjölmörgum náttúrulegum ferlum. Vísisföll eru alls staðar í náttúrunni, allt frá fólksfjölgun og vaxtavöxtum með samfelldri vaxtareiknun til geislavirkrar hrörnunar og kólnunarlögmáls Newtons. Í þessum hluta skoðum við vísisvöxt og -hnignun í samhengi við nokkur slík viðfangsefni.

Vísisvaxtarlíkan

Mörg kerfi sýna vísisvöxt. Þau fylgja líkani af gerðinni $y = y_{0} e^{k t},$ þar sem $y_{0}$ táknar upphafsstöðu kerfisins og $k$ er jákvæður fasti sem nefnist vaxtarfasti. Takið eftir að í vísisvaxtarlíkani er

y^{'} = k y_{0} e^{k t} = k y .

(2.27)

Vaxtarhraðinn er sem sagt í réttu hlutfalli við gildi fallsins á hverjum tíma. Þetta er eitt megineinkenni vísisvaxtar. Jafna 2.27 inniheldur afleiður og nefnist deildajafna. Nánar er fjallað um deildajöfnur í Inngangi að deildajöfnum.

Fólksfjölgun er algengt dæmi um vísisvöxt. Skoðum til dæmis bakteríustofn. Eðlilegt er að ætla að vaxtarhraði stofnsins sé í réttu hlutfalli við stærð hans, enda fjölgar stofninum hraðar eftir því sem fleiri bakteríur geta æxlast. Mynd 2.79 og tafla 2.1 sýna vöxt bakteríustofns með $200$ bakteríur í upphafi og vaxtarfastann $0.02 .$ Takið eftir að eftir aðeins $2$ klukkustundir $(120$ mínútur) er stofninn orðinn $10$ sinnum stærri en í upphafi!

Myndin sýnir graf vísisferilsins y=200e⁰·⁰²ᵗ í fyrsta fjórðungi. Ferillinn er vaxandi og byrjar á y-ásnum. — **Mynd 2.79.** Dæmi um vísisvöxt bakteríustofns.

Tími (mín.)	Stærð stofns (fjöldi baktería)
10	244
20	298
30	364
40	445
50	544
60	664
70	811
80	991
90	1210
100	1478
110	1805
120	2205

Takið eftir að við notum samfellt fall til að líkja eftir hegðun sem er í eðli sínu ósamfelld. Á hverjum tíma er fjöldi baktería í raunverulegum stofni heiltala, þótt líkanið taki einnig gildi sem eru ekki heiltölur. Þegar vísisvaxtarlíkön eru notuð verður ávallt að túlka fallgildin í samhengi við fyrirbærið sem líkt er eftir.

Dæmi 2.42

Vöxtur bakteríustofns

Skoðum bakteríustofninn sem lýst var hér að framan. Hann vex samkvæmt fallinu $f (t) = 200 e^{0.02 t},$ þar sem t er mælt í mínútum. Hversu margar bakteríur eru í stofninum eftir $5$ klukkustundir $(300$ mínútur)? Hvenær nær stofninn $100,000$ bakteríum?

Lausn

Við höfum $f (t) = 200 e^{0.02 t} .$ Þá er

f (300) = 200 e^{0.02 (300)} \approx 80,686 .

$80,686$ bakteríur eru í stofninum eftir $5$ klukkustundir.

Til að finna hvenær stofninn nær $100,000$ bakteríum leysum við jöfnuna

\begin{matrix} 100,000 & = & 200 e^{0.02 t} \\ 500 & = & e^{0.02 t} \\ ln 500 & = & 0.02 t \\ t & = & \frac{ln 500}{0.02} \approx 310.73. \end{matrix}

Stofninn nær $100,000$ bakteríum eftir $310.73$ mínútur.

Snúum okkur nú að fjármálum og skoðum vaxtavexti. Vextir sem ekki leggjast við höfuðstól nefnast einfaldir vextir. Einfaldir vextir eru greiddir einu sinni, í lok tiltekins tímabils (oftast $1$ árs). Ef við leggjum $$ 1000$ inn á sparireikning sem ber $2 %$ einfalda ársvexti eigum við því í lok ársins

1000 (1 + 0.02) = 1020

Vaxtavextir eru reiknaðir oftar en einu sinni á ári, eftir lengd vaxtatímabilsins. Ef bankinn reiknar vexti á $6$ mánaða fresti leggur hann helming ársvaxtanna inn á reikninginn eftir $6$ mánuði. Síðari helming ársins ber reikningurinn ekki aðeins vexti af upphaflegu $$ 1000,$ heldur einnig af vöxtunum sem söfnuðust á fyrri helmingi ársins. Í lok ársins er innistæðan því

1000 {(1 + \frac{0.02}{2})}^{2} = $ 1020.10 .

Ef vextirnir eru á sama hátt reiknaðir á $4$ mánaða fresti er innistæðan

1000 {(1 + \frac{0.02}{3})}^{3} = $ 1020.13,

og ef þeir eru reiknaðir daglega $(365$ sinnum á ári) er hún $$ 1020.20 .$ Ef vextirnir eru reiknaðir samfellt er innistæðan eftir $t$ ár

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} .

Umritum nú þessa segð þannig að hún verði vísisvaxtarfall. Rifjum upp að rita má töluna $e$ sem markgildið

e = lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m} .

Við viljum því að segðin innan svigans sé af gerðinni $(1 + 1 / m) .$ Látum $n = 0.02 m .$ Takið eftir að þegar $n \to \infty,$ gildir $m \to \infty$ einnig. Þá fæst

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} = 1000 lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{0.02 m})}^{0.02 m t} = 1000 {[lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{0.02 t} .

Við þekkjum markgildið innan hornklofanna sem töluna $e .$ Innistæðan á bankareikningnum eftir $t$ ár er því $1000 e^{0.02 t} .$ Almennt gildir að ef bankareikningur með upphafsinnistæðuna $$ P$ ber $r %,$ vexti með samfelldri vaxtareiknun er innistæðan eftir $t$ ár

Innistæða = P e^{r t} .

Dæmi 2.43

Vaxtavextir

25 ára námsmanni býðst að leggja fé í lífeyrisreikning sem ber $5 %$ ársvexti með samfelldri vaxtareiknun. Hversu mikið þarf hún að leggja inn núna til að eiga $$ 1$ milljón þegar hún verður $65 ?$ Hvað ef reikningurinn bæri í staðinn $6 %$ ársvexti með samfelldri vaxtareiknun?

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.05 (40)} \\ P & = & 135,335.28. \end{matrix}

Hún þarf að leggja $$ 135,335.28$ inn á reikning sem ber $5 %$ vexti.

Ef hún getur í staðinn fengið $6 %,$ verður jafnan

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.06 (40)} \\ P & = & 90,717.95. \end{matrix}

Þá þarf hún aðeins að leggja inn $$ 90,717.95 .$ Það er um tveir þriðju hlutar þeirrar fjárhæðar sem hún þarf að leggja inn ef vextirnir eru $5 % .$ Samfelld vaxtareikning magnar verulega áhrif þess að vextirnir hækka um $1 %$ .

Þegar stærð vex samkvæmt vísisfalli er tíminn sem tekur hana að tvöfaldast alltaf sá sami. Bakteríustofn er til dæmis jafn lengi að vaxa úr $100$ í $200$ bakteríur og úr $10,000$ í $20,000$ bakteríur. Þessi tími nefnist tvöföldunartími. Til að reikna hann finnum við hvenær stærðin verður tvöfalt upphafsgildi sitt. Við höfum því

\begin{matrix} 2 y_{0} & = & y_{0} e^{k t} \\ 2 & = & e^{k t} \\ ln 2 & = & k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Dæmi 2.44

Tvöföldunartími notaður

Gerum ráð fyrir að fiskistofn vaxi samkvæmt vísisfalli. Í upphafi eru settir $500$ fiskar í tjörn og eftir $6$ mánuði eru þeir orðnir $1000$ . Eigandi tjarnarinnar ætlar að leyfa vinum og nágrönnum að veiða þar þegar stofninn nær $10,000 .$ Hvenær mega vinir hans hefja veiðar?

Lausn

Við vitum að fiskistofninn tvöfaldast á $6$ mánuðum. Ef t táknar tíma í mánuðum gefur formúlan fyrir tvöföldunartíma $6 = (ln 2) / k .$ Þá er $k = (ln 2) / 6 .$ Stofnstærðin er því gefin með $y = 500 e^{((ln 2) / 6) t} .$ Til að finna hvenær stofninn nær $10,000$ fiskum leysum við jöfnuna

\begin{matrix} 10,000 & = & 500 e^{(ln 2 / 6) t} \\ 20 & = & e^{(ln 2 / 6) t} \\ ln 20 & = & (\frac{ln 2}{6}) t \\ t & = & \frac{6 (ln 20)}{ln 2} \approx 25.93. \end{matrix}

Vinir eigandans þurfa að bíða í $25.93$ mánuði (rúmlega $2$ ár) áður en þeir mega veiða í tjörninni.

Vísishnignunarlíkan

Vísisföll má einnig nota til að líkja eftir stofnum sem minnka, til dæmis vegna sjúkdóma, eða efnasamböndum sem brotna niður með tímanum. Slík kerfi sýna vísishnignun en ekki vísisvöxt. Líkanið er nánast það sama, nema mínusmerki er fyrir framan veldisvísinn. Fyrir einhvern jákvæðan fasta $k,$ er því $y = y_{0} e^{− k t} .$

Vísishnignun á sér, líkt og vísisvöxtur, samsvarandi deildajöfnu. Við höfum

y^{'} = − k y_{0} e^{− k t} = − k y .

Eftirfarandi mynd sýnir graf dæmigerðs vísishnignunarfalls.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Ferillinn er minnkandi vísisferill sem byrjar á y-ásnum í 2000 og nálgast t-ásinn. — **Mynd 2.80.** Dæmi um vísishnignun.

Skoðum hagnýtingu vísishnignunar í eðlisfræði. Samkvæmt kólnunarlögmáli Newtons kólnar hlutur með hraða sem er í réttu hlutfalli við muninn á hitastigi hans og umhverfisins. Ef $T$ táknar hitastig hlutarins og $T_{a}$ umhverfishitann í herberginu, þá er

T^{'} = − k (T - T_{a}) .

Takið eftir að þetta er ekki alveg rétta líkanið fyrir vísishnignun. Við viljum að afleiðan sé í réttu hlutfalli við fallið, en í þessari segð er aukaliðurinn $T_{a}$ . Sem betur fer má leysa vandann með breytuskiptum. Látum $y (t) = T (t) - T_{a} .$ Þá er $y^{'} (t) = T^{'} (t) - 0 = T^{'} (t),$ og jafnan verður

y^{'} = − k y .

Af fyrri niðurstöðum vitum við að þetta samband milli y og afleiðu þess leiðir til vísishnignunar. Því er

y = y_{0} e^{− k t},

og við sjáum að

\begin{matrix} T - T_{a} & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} \\ T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \end{matrix}

þar sem $T_{0}$ táknar upphafshitastigið. Beitum þessari formúlu í næsta dæmi.

Dæmi 2.45

Kólnunarlögmál Newtons

Að mati reyndra kaffibarþjóna er best að bera kaffi fram við hitastig milli $155 ° F$ og $175 ° F .$ Gerum ráð fyrir að kaffið sé $200 ° F,$ þegar hellt er upp á það og hafi eftir $2$ mínútur í $70 ° F$ heitu herbergi kólnað í $180 ° F .$ Hvenær verður kaffið fyrst nægilega svalt til að bera það fram? Hvenær verður það of kalt? Námundið svörin að næsta hálfa mínútu.

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \\ 180 & = & (200 - 70) e^{− k (2)} + 70 \\ 110 & = & 130 e^{−2 k} \\ \frac{11}{13} & = & e^{−2 k} \\ ln \frac{11}{13} & = & −2 k \\ ln 11 - ln 13 & = & −2 k \\ k & = & \frac{ln 13 - ln 11}{2} . \end{matrix}

Líkanið er því

T = 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 .

Kaffið nær $175 ° F$ þegar

\begin{matrix} 175 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 105 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{21}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln \frac{21}{26} & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ ln 21 - ln 26 & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ t & = & \frac{2 (ln 21 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 2.56. \end{matrix}

Bera má kaffið fram um $2.5$ mínútum eftir að hellt er upp á það. Það nær $155 ° F$ þegar

\begin{matrix} 155 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 85 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{17}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln 17 - ln 26 & = & (\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t \\ t & = & \frac{2 (ln 17 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 5.09. \end{matrix}

Kaffið verður of kalt til að bera það fram um $5$ mínútum eftir að hellt er upp á það.

Kerfi með vísishnignun hafa fastan helmingunartíma, rétt eins og kerfi með vísisvöxt hafa fastan tvöföldunartíma. Til að reikna helmingunartímann finnum við hvenær stærðin verður helmingur upphafsgildis síns. Við höfum því

\begin{matrix} \frac{y_{0}}{2} & = & y_{0} e^{− k t} \\ \frac{1}{2} & = & e^{− k t} \\ - ln 2 & = & − k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Takið eftir: Þetta er sama segð og fékkst fyrir tvöföldunartímann.

Dæmi 2.46

Geislakolsgreining

Ein algengasta hagnýting vísishnignunarlíkans er geislakolsgreining. $Kolefni- 14$ hrörnar, það er gefur frá sér geislavirka ögn, með reglulegum og stöðugum hraða samkvæmt vísisfalli. Ef við vitum hve mikið kolefni var upphaflega í hlut og hve mikið er eftir getum við því ákvarðað aldur hans. Fyrir samsætuna $kolefni- 14$ er helmingunartíminn um $5730$ ár. Eftir þann tíma hefur helmingur efnisins breyst úr upprunalega $kolefni- 14$ í hið nýja, ógeislavirka $köfnunarefni- 14 .$ Ef við höfum $100$ g af $kolefni- 14$ í dag, hve mikið verður eftir, eftir $50$ ár? Ef forngripur sem upphaflega innihélt $100$ g af kolefni inniheldur nú $10$ g, hve gamall er hann? Námundið svarið að næsta hundraði ára.

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} 5730 & = & \frac{ln 2}{k} \\ k & = & \frac{ln 2}{5730} . \end{matrix}

Líkanið gefur því

y = 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} .

Eftir $50$ ár er

\begin{matrix} y & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) (50)} \\ \approx & 99.40 . \end{matrix}

Eftir $50$ ár verða því $99.40$ g af $kolefni- 14$ eftir.

Til að ákvarða aldur forngripsins leysum við jöfnuna

\begin{matrix} 10 & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ \frac{1}{10} & = & e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ t & \approx & 19035. \end{matrix}

Forngripurinn er um $19,000$ ára gamall.

Æfingar í hluta 2.8

Satt eða ósatt? Sannið fullyrðinguna ef hún er sönn, en finnið rétta niðurstöðu ef hún er ósönn.

348.

Tvöföldunartími $y = e^{c t}$ er $(ln (2)) / (ln (c)) .$

349.

Ef $$ 500,$ eru lagðir inn verður innistæðan með $3 %$ ársvöxtum hærri eftir fyrsta árið en með $2.5 %$ vextir með samfelldri vaxtareiknun.

350.

Ef $100 ° C$ heitt te í potti er látið standa við stofuhita $(25 ° C)$ og sams konar pottur er settur í ísskáp $(5 ° C),$ þegar $k = 0.02,$ nær teið í ísskápnum drykkjarhæfu hitastigi $(70 ° C)$ meira en $5$ mínútum á undan teinu við stofuhita.

351.

Ef helmingunartíminn er t ár er fastinn $k$ í $y = e^{k t}$ reiknaður með $k = ln (1 / 2) / t .$

Í eftirfarandi dæmum skal nota $y = y_{0} e^{k t} .$

352.

Ef bakteríurækt tvöfaldast á $3$ klukkustundum, hve langan tíma tekur bakteríuræktina að ná margföldunarstuðlinum $10 ?$

353.

Ef bakteríum fjölgar $10$ -falt á $10$ klukkustundum, hve langan tíma tekur stofninn að ná margföldunarstuðlinum $100 ?$

354.

Hve gömul er höfuðkúpa sem inniheldur fimmtung þess geislakols sem er í nútíma höfuðkúpu? Takið eftir að helmingunartími geislakols er $5730$ ár.

355.

Ef forngripur inniheldur $90 %$ af því geislakoli sem nýtt efni inniheldur, getur hann þá verið frá tíma Krists, fyrir um $2000$ árum? Takið eftir að helmingunartími geislakols er $5730$ ár.

356.

Íbúum Kaíró fjölgaði úr $5$ milljónum í $10$ milljónir á $20$ árum. Notið vísisvaxtarlíkan til að finna hvenær íbúarnir voru $8$ milljónir.

357.

Íbúum New York og Los Angeles fjölgar um $1 %$ og $1.4 %$ á ári, í sömu röð. Í upphafi eru íbúar New York $8$ milljónir og íbúar Los Angeles $6$ milljónir. Hvenær verður íbúafjöldinn jafn? Námundið svarið að heilum árafjölda.

358.

Gerum ráð fyrir að virði $$ 1$ í japönskum jenum minnki um $2 %$ á ári. Ef upphafsgildið er $$ 1 = ¥ 250,$ hvenær verður $$ 1 = ¥ 1 ?$

359.

Áhrif auglýsingar dvína samkvæmt vísisfalli. Ef $40 %$ þjóðarinnar muna eftir nýrri vöru eftir $3$ daga, hve lengi munu $20 %$ muna eftir henni?

360.

Ef $y = 1000$ þegar $t = 3$ og $y = 3000$ þegar $t = 4,$ hvað var $y_{0}$ þegar $t = 0 ?$

361.

Ef $y = 100$ þegar $t = 4$ og $y = 10$ þegar $t = 8,$ hvenær er $y = 1 ?$

362.

Ef banki býður $7.5 %$ ársvexti eða samfellda ársvexti sem nema $7.25 %,$ hvorir vextirnir gefa betri ársávöxtun?

363.

Hvaða vextir með samfelldri vaxtareiknun gefa sömu ávöxtun og ársvextirnir $9 % ?$

364.

Ef $$ 5000$ eru lagðir inn á $8 %$ ársvöxtum, í hve mörg ár er hægt að taka út $$ 500$ árlega, frá og með lokum fyrsta árs, áður en innistæðan klárast?

365.

Markmiðið er að safna $$ 50,000$ á $20$ árum fyrir skólagjöldum barnsins. Hve mikið þarf að leggja inn í upphafi ef vextirnir eru $10 %,$ með samfelldri vaxtareiknun?

366.

Kalkúnn er tekinn úr ofni þegar kjarnhiti hans er $165 ° F .$ Eftir að hafa staðið í $10$ mínútur í $70 ° F$ heitri íbúð er hitinn kominn niður í $155 ° F .$ Hver er hiti kalkúnsins $20$ mínútum eftir að hann er tekinn úr ofninum?

367.

Gerum ráð fyrir að þíða eigi grænmeti sem er $1 ° F .$ Til að þíða það á öruggan hátt þarf að setja það í ísskáp þar sem umhverfishitinn er $44 ° F .$ Eftir $2$ klukkustundir í ísskápnum er grænmetið orðið $12 ° F .$ Teiknið hitastigsferilinn og notið hann til að ákvarða hvenær grænmetið nær $33 ° F .$

368.

Fornleifafræðingur fær til rannsóknar bein sem sagt er vera úr grameðlu. Vitað er að þessar risaeðlur lifðu á krítartímabilinu, sem stóð yfir fyrir $(146$ til $65$ milljónum ára), en geislakolsgreining sýnir að $0.000001 %$ af upphaflegu magni geislakols er eftir. Er beinið frá krítartímabilinu?

369.

Notað eldsneyti úr kjarnakljúfi inniheldur plúton-239, sem hefur helmingunartímann $24,000$ ár. Ef $1$ tunna með $10 kg$ af plúton-239 er innsigluð, hve mörg ár þurfa að líða þar til aðeins $10 g$ af plúton-239 eru eftir?

Notið eftirfarandi töflu, sem sýnir mannfjölda heimsins eftir áratugum, í næstu æfingum.

Ár frá 1950	Mannfjöldi (milljónir)
0	2,556
10	3,039
20	3,706
30	4,453
40	5,279
50	6,083
60	6,849

370.

[T] Sá vísisferill af gerðinni $P (t) = a e^{b t}$ sem fellur best að gögnunum er $P (t) = 2686 e^{0.01604 t} .$ Notið grafíska reiknivél til að teikna gögnin og vísisferilinn á sama hnitakerfi.

371.

[T] Finnið og teiknið afleiðuna $y^{'}$ af jöfnunni. Hvar er hún vaxandi og hvað merkir sú aukning?

372.

[T] Finnið og teiknið aðra afleiðu jöfnunnar. Hvar er hún vaxandi og hvað merkir sú aukning?

373.

[T] Finnið hvenær líkanið spáir því að mannfjöldinn nái $10$ milljörðum. Notið fyrri niðurstöður um fyrstu og aðra afleiðu til að útskýra hvers vegna vísisvöxtur hentar illa til að spá langt fram í tímann.

Notið eftirfarandi töflu, sem sýnir íbúafjölda San Francisco á 19. öld, í næstu æfingum.

Ár frá 1850	Íbúafjöldi (þúsundir)
0	21.00
10	56.80
20	149.5
30	234.0

374.

[T] Sá vísisferill af gerðinni $P (t) = a e^{b t}$ sem fellur best að gögnunum er $P (t) = 35.26 e^{0.06407 t} .$ Notið grafíska reiknivél til að teikna gögnin og vísisferilinn á sama hnitakerfi.

375.

[T] Finnið og teiknið afleiðuna $y^{'}$ af jöfnunni. Hvar er hún vaxandi? Hvað merkir sú aukning? Nær aukningin hámarki fyrir eitthvert gildi?

376.

[T] Finnið og teiknið aðra afleiðu jöfnunnar. Hvar er hún vaxandi? Hvað merkir sú aukning?