22 Hagnýting heildunar

2.4 Bogalengd ferils og yfirborðsflatarmál

Námsmarkmið

2.4.1 Ákvarða lengd ferilsins y = f ( x ) , milli tveggja punkta.
2.4.2 Ákvarða lengd ferilsins x = g ( y ) , milli tveggja punkta.
2.4.3 Finna yfirborðsflatarmál snúðflatar.

Í þessum hluta notum við ákveðin heildi til að finna bogalengd ferils. Líta má á bogalengd sem vegalengdina sem farin væri eftir ferlinum. Bogalengd kemur fyrir í mörgum hagnýtum verkefnum. Ef eldflaug er skotið á loft eftir fleygboga gætum við viljað vita hve langt hún fer. Ef ferill á korti táknar veg gætum við sömuleiðis viljað vita hve langt þarf að aka til að komast á áfangastað.

Fyrst reiknum við bogalengd ferla sem skilgreindir eru sem föll af $x,$ og beitum síðan sama ferli á ferla sem skilgreindir eru sem föll af $y .$ (Ferlið er hið sama, en hlutverkum $x$ og $y$ er víxlað.) Aðferðirnar við að finna bogalengd má útvíkka til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatar og í lok hlutans skoðum við það hugtak.

Bogalengd ferilsins y = f ( x )

Við fyrri notkun heildunar kröfðumst við þess að fallið $f (x)$ væri heildanlegt eða jafnvel samfellt. Við útreikning bogalengdar gerum við hins vegar strangari kröfur til $f (x) .$ Við krefjumst þess að $f (x)$ sé deildanlegt og að afleiðan $f^{'} (x),$ sé samfelld. Föll með samfellda afleiðu nefnast þjál. (Þessi eiginleiki kemur aftur fyrir í síðari köflum.)

Látum $f (x)$ vera þjált fall skilgreint á $[a, b] .$ Við viljum reikna lengd ferilsins frá punktinum $(a, f (a))$ að punktinum $(b, f (b)) .$ Fyrst nálgum við lengd ferilsins með línustrikum. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ drögum við síðan línustrik frá punktinum $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ að punktinum $(x_{i}, f (x_{i})) .$ Þótt eðlilegt gæti virst að nota lárétt eða lóðrétt línustrik viljum við að línustrikin nálgi ferilinn eins vel og unnt er. Mynd 2.37 sýnir þessa smíð þegar $n = 5 .$

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Ferillinn hækkar og lækkar og er skipt í hluta við punktana a = x₀, x₁, x₂, x₃, x₄ og x₅ = b. Línustrik tengja einnig punktana á ferlinum. — **Mynd 2.37.** Nálga má lengd ferils með því að leggja saman lengdir línustrika.

Til að finna lengd hvers línustriks skoðum við breytingu á lóðréttri og láréttri fjarlægð á hverju bili. Þar sem skiptingin er regluleg er breyting láréttu fjarlægðarinnar á hverju bili $Δ x .$ Breyting lóðréttu fjarlægðarinnar er hins vegar mismunandi eftir bilum og því látum við $Δ y_{i} = f (x_{i}) - f (x_{i - 1})$ tákna hana á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}],$ eins og sýnt er á mynd 2.38. Takið eftir að sum (eða öll) $Δ y_{i}$ kunna að vera neikvæð.

Myndin sýnir graf. Ferill ofan x-ássins hefst í punktinum f(xᵢ₋₁) og endar í fyrsta fjórðungi í punktinum f(xᵢ). Línustrik tengir punktana tvo á ferlinum. Rétthyrndur þríhyrningur myndast þar sem línustrikið er langhliðin, lárétt skammhlið hefur lengdina Δx og lóðrétt skammhlið lengdina Δy. — **Mynd 2.38.** Dæmigert línustrik nálgar ferilinn á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}] .$

Samkvæmt setningu Pýþagórasar er lengd línustriksins $\sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} .$ Einnig má rita þetta sem $Δ x \sqrt{1 + {((Δ y_{i}) / (Δ x))}^{2}} .$ Samkvæmt meðalgildissetningunni er nú til punktur $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / (Δ x) .$ Lengd línustriksins er því gefin með $Δ x \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} .$ Þegar lengdir allra línustrikanna eru lagðar saman fæst

Bogalengd \approx \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty,$ fæst

Bogalengd = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

Við tökum niðurstöðurnar saman í eftirfarandi setningu.

Takið eftir að við heildum segð sem inniheldur $f^{'} (x),$ og því þarf að tryggja að $f^{'} (x)$ sé heildanlegt. Þess vegna krefjumst við þess að $f (x)$ sé þjált. Næsta dæmi sýnir hvernig setningunni er beitt.

Dæmi 2.18

Bogalengd falls af x reiknuð

Látum $f (x) = 2 x^{3 / 2} .$ Reiknið bogalengd grafs $f (x)$ á bilinu $[0, 1] .$ Námundið svarið að þremur aukastöfum.

Lausn

Við höfum $f^{'} (x) = 3 x^{1 / 2},$ svo að ${[f^{'} (x)]}^{2} = 9 x .$ Bogalengdin er því

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x . \end{matrix}

Setjum $u = 1 + 9 x .$ Þá er $d u = 9 d x .$ Þegar $x = 0,$ er $u = 1,$ og þegar $x = 1,$ er $u = 10 .$ Því fæst

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x \\ = \frac{1}{9} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} 9 d x = \frac{1}{9} \int_{1}^{10} \sqrt{u} d u \\ = {\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{3 / 2} |}_{1}^{10} = \frac{2}{27} [10 \sqrt{10} - 1] \approx 2.268 einingar . \end{matrix}

Þótt gagnlegt sé að hafa formúlu fyrir bogalengd getur þessi setning leitt til segða sem erfitt er að heilda. Við kynnum okkur nokkrar heildunaraðferðir í Inngangi að heildunaraðferðum. Í sumum tilvikum þarf að nota tölvu eða reiknivél til að nálga gildi heildisins.

Dæmi 2.19

Tölva eða reiknivél notuð til að finna bogalengd falls af x

Látum $f (x) = x^{2} .$ Reiknið bogalengd grafs $f (x)$ á bilinu $[1, 3] .$

Lausn

Við höfum $f^{'} (x) = 2 x,$ svo að ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 x^{2} .$ Bogalengdin er þá gefin með

Bogalengd = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .

Þegar gildi heildisins er nálgað með tölvu fæst

\int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \approx 8.26815 .

Bogalengd ferilsins x = g ( y )

Við höfum nú séð hvernig nálga má lengd ferils með línustrikum. Til að finna bogalengd grafs falls af $y,$ endurtökum við sama ferli. Í þetta sinn er skiptingarásinn $y -ás$ , ekki $x -ás .$ Mynd 2.39 sýnir dæmigert línustrik.

Myndin sýnir graf. Ferill hægra megin við y-ásinn hefst í punktinum g(yᵢ₋₁) og endar í fyrsta fjórðungi í punktinum g(yᵢ). Línustrik tengir punktana tvo á ferlinum. Rétthyrndur þríhyrningur myndast þar sem línustrikið er langhliðin, lárétt skammhlið hefur lengdina Δx og lóðrétt skammhlið lengdina Δy. — **Mynd 2.39.** Dæmigert línustrik yfir bilinu $[y_{i - 1}, y_{i}] .$

Lengd línustriksins er þá $\sqrt{{(Δ y)}^{2} + {(Δ x_{i})}^{2}},$ sem einnig má rita sem $Δ y \sqrt{1 + {((Δ x_{i}) / (Δ y))}^{2}} .$ Ef við fylgjum nú sömu útleiðslu og áður fæst formúla fyrir bogalengd fallsins $x = g (y) .$

Dæmi 2.20

Bogalengd falls af y reiknuð

Látum $g (y) = 3 y^{3} .$ Reiknið bogalengd grafs $g (y)$ á bilinu $[1, 2] .$

Lausn

Við höfum $g^{'} (y) = 9 y^{2},$ svo að ${[g^{'} (y)]}^{2} = 81 y^{4} .$ Bogalengdin er þá

Bogalengd = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y .

Þegar gildi þessa heildis er nálgað með tölvu fæst

\int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y \approx 21.0277 .

Yfirborðsflatarmál snúðflatar

Útvíkka má aðferðirnar sem við notuðum til að finna bogalengd ferils þannig að þær gefi yfirborðsflatarmál snúðflatar. Yfirborðsflatarmál er heildarflatarmál ytra borðs hlutar. Fyrir hluti eins og teninga eða múrsteina er yfirborðsflatarmál hlutarins summa flatarmáls allra hliða hans. Fyrir sveigða fleti er staðan nokkru flóknari. Látum $f (x)$ vera óneikvætt þjált fall á bilinu $[a, b] .$ Við viljum finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar grafi $y = f (x)$ er snúið um $x -ás$ , eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir feril í fyrsta fjórðungi sem hefst á y-ásnum. Ferillinn er y = f(x). Síðara grafið er merkt „b“ og sýnir sama feril, y = f(x). Þar er einnig flötur sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn. — **Mynd 2.40.** (a) Ferill sem táknar fallið $f (x) .$ (b) Snúðflöturinn sem myndast þegar grafi $f (x)$ er snúið um $x -ás .$

Eins og við höfum oft gert áður skiptum við bilinu $[a, b]$ og nálgum yfirborðsflatarmálið með því að reikna yfirborðsflatarmál einfaldari forma. Við byrjum á að nálga ferilinn með línustrikum, eins og fyrr í þessum hluta. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ drögum við síðan línustrik frá punktinum $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ að punktinum $(x_{i}, f (x_{i})) .$ Nú snúum við þessum línustrikum um $x -ás$ til að fá nálgun á snúðfletinum, eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir feril í fyrsta fjórðungi sem hefst á y-ásnum. Ferillinn er y = f(x). Svæðinu undir ferlinum og ofan x-ássins hefur verið skipt með lóðréttum línum. Síðara grafið er merkt „b“ og sýnir sama feril, y = f(x). Þar er einnig flötur sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn. — **Mynd 2.41.** (a) $f (x)$ nálgað með línustrikum. (b) Snúðflöturinn sem myndast þegar línustrikunum er snúið um $x -ás .$

Takið eftir að þegar hverju línustriki er snúið um ásinn myndar það ræmu. Ræmurnar eru í raun hlutar af keilum (hugsið ykkur ískeilu þar sem mjói endinn hefur verið skorinn af). Slíkur hluti keilu kallast keilustúfur.

Til að finna yfirborðsflatarmál ræmunnar þurfum við að finna hliðarflatarmál keilustúfsins, $S,$ (flatarmál hallandi ytra borðsins eingöngu, án flatarmáls efri og neðri grunnflatanna). Látum $r_{1}$ og $r_{2}$ vera geisla víðari og mjórri enda keilustúfsins og látum $l$ vera hliðarlengd hans, eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir keilustúf ofan x-ássins með y-ásinn í miðjunni. Geisli neðri grunnflatarins er r₁ og geisli efri grunnflatarins er r₂. Hliðarlengdin er merkt „l“. — **Mynd 2.42.** Keilustúfur getur nálgað lítinn hluta yfirborðsflatarmáls.

Við vitum að hliðarflatarmál keilu er gefið með

Hli arflatarm l = rs

þar sem $r$ er geisli grunnflatar keilunnar og $s$ er hliðarlengdin (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir keilu. Keilan hefur geislann r, hæðina h og hliðarlengdina s. — **Mynd 2.43.** Hliðarflatarmál keilunnar er gefið með $π r s .$

Þar sem líta má á keilustúf sem hluta keilu fæst hliðarflatarmál hans með því að draga hliðarflatarmál minni keilunnar (mjóa keilutoppsins sem skorinn var af) frá hliðarflatarmáli allrar keilunnar (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir keilustúf. Geisli neðri grunnflatarins er r₁ og geisli efri grunnflatarins er r₂. Hliðarlengdin er merkt „l“. Ofan keilustúfsins sést einnig toppur keilu, afmarkaður með strikalínum, og hliðarlengd hans er s. — **Mynd 2.44.** Hliðarflatarmál keilustúfs reiknað.

Þversnið litlu og stóru keilunnar mynda einslaga þríhyrninga og því sést að

\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{s - l}{s} .

Þegar leyst er fyrir $s,$ fæst

\begin{matrix} \frac{r_{2}}{r_{1}} & = & \frac{s - l}{s} \\ r_{2} s & = & r_{1} (s - l) \\ r_{2} s & = & r_{1} s - r_{1} l \\ r_{1} l & = & r_{1} s - r_{2} s \\ r_{1} l & = & (r_{1} - r_{2}) s \end{matrix}

Þá er hliðarflatarmál keilustúfsins (SA) jafnt

\begin{matrix} S & = (Hliðarflatarmál stóru keilunnar) - (Hliðarflatarmál litlu keilunnar) \\ = π r_{1} s - π r_{2} (s - l) \\ = π r_{1} s - π r_{2} s + π r_{2} l \\ = π (r_{1} - r_{2}) s + π r_{2} l \\ = π r_{1} l + π r_{2} l \\ = π (r_{1} + r_{2}) l . \end{matrix}

Nú notum við þessa formúlu til að reikna yfirborðsflatarmál hverrar ræmu sem myndast þegar línustrikunum er snúið um $x -ás .$ Dæmigerð ræma er sýnd á næstu mynd.

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir feril í fyrsta fjórðungi. Umhverfis x-ásinn er keilustúfur og jaðar hans liggur að ferlinum. Jaðarinn hefst í f(xᵢ₋₁) og endar í f(xᵢ). Síðari myndin sýnir sama feril og sama keilustúf. Hæð keilustúfsins er Δx og ferillinn er merktur y = f(x). — **Mynd 2.45.** Dæmigerð ræma sem notuð er til að ákvarða yfirborðsflatarmál.

Takið eftir að hliðarlengd þessa keilustúfs er einmitt lengd línustriksins sem myndaði hann. Þegar formúlunni fyrir yfirborðsflatarmál er beitt fæst því

\begin{matrix} S & = π (r_{1} + r_{2}) l \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) \sqrt{Δ x^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x})}^{2}} . \end{matrix}

Nú beitum við meðalgildissetningunni, eins og við útleiðslu formúlunnar fyrir bogalengd, til að velja $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / Δ x .$ Þá fæst

S = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Þar að auki er $f (x)$ samfellt og því segir milligildissetningin að til sé punktur $x_{i}^{* *} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $f (x_{i}^{* *}) = (1 / 2) [f (x_{i - 1}) + f (x_{i})],$ og því fæst

S = 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Nálgun á yfirborðsflatarmáli alls snúðflatarins er þá gefin með

Yfirborðsflatarmál \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Þetta líkist mjög Riemann-summu, nema að föllin eru reiknuð í tveimur ólíkum punktum, $x_{i}^{*}$ og $x_{i}^{* *},$ á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Þótt við förum ekki yfir smáatriðin hér kemur í ljós að vegna þess að $f (x)$ er þjált fæst sama markgildi og fyrir Riemann-summu þegar $n \to \infty,$ þrátt fyrir ólíka matsstaði. Þetta er skiljanlegt út frá innsæi. Bæði $x_{i}^{*}$ og $x_{i}^{* *}$ eru á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}],$ og þegar $n \to \infty,$ nálgast bæði $x_{i}^{*}$ og $x_{i}^{* *}$ punktinn $x .$ Þeim sem vilja kynna sér smáatriðin er bent á kennslubók í framhaldsstærðfræðigreiningu.

Þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty,$ fæst

Yfirborðsflatarmál = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x .

Eins og fyrir bogalengd má leiða út sambærilega formúlu fyrir föll af $y$ og fá yfirborðsflatarmál snúðflata um $y -ás .$ Niðurstöðurnar eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 2.21

Yfirborðsflatarmál snúðflatar reiknað 1

Látum $f (x) = \sqrt{x}$ á bilinu $[1, 4] .$ Finnið yfirborðsflatarmál flatarins sem myndast þegar grafi $f (x)$ er snúið um $x -ás .$ Námundið svarið að þremur aukastöfum.

Lausn

Graf $f (x)$ og snúðflöturinn eru sýnd á næstu mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið sýnir ferilinn f(x) = √x. Ferillinn er vaxandi og hefst í upphafspunktinum. Á grafinu eru einnig lóðréttu línurnar x = 1 og x = 4. Síðara grafið sýnir sama fall. Svæðinu milli f(x) og x-ássins, afmörkuðu af x = 1 og x = 4, hefur verið snúið um x-ásinn og myndar flöt. — **Mynd 2.46.** (a) Graf f ( x ) . (b) Snúðflöturinn.

Við höfum $f (x) = \sqrt{x} .$ Þá eru $f^{'} (x) = 1 / (2 \sqrt{x})$ og ${(f^{'} (x))}^{2} = 1 / (4 x) .$ Því fæst

\begin{matrix} Yfirborðsflatarmál & = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4 x}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x . \end{matrix}

Setjum $u = x + 1 / 4 .$ Þá er $d u = d x .$ Þegar $x = 1,$ er $u = 5 / 4,$ og þegar $x = 4,$ er $u = 17 / 4 .$ Því fæst

\begin{matrix} \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x & = \int_{5 / 4}^{17 / 4} 2 π \sqrt{u} d u \\ = 2 π {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{5 / 4}^{17 / 4} = \frac{π}{6} [17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5}] \approx 30.846. \end{matrix}

Dæmi 2.22

Yfirborðsflatarmál snúðflatar reiknað 2

Látum $f (x) = y = \sqrt[3]{3 x} .$ Skoðið þann hluta ferilsins þar sem $0 \leq y \leq 2 .$ Finnið yfirborðsflatarmál flatarins sem myndast þegar grafi $f (x)$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Takið eftir að ferlinum er snúið um $y -ás,$ og bilið er gefið með tilliti til $y,$ því viljum við umrita fallið sem fall af y. Þá fæst $x = g (y) = (1 / 3) y^{3} .$ Graf $g (y)$ og snúðflöturinn eru sýnd á næstu mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið sýnir ferilinn g(y) = (1/3)y³. Ferillinn er vaxandi og hefst í upphafspunktinum. Á grafinu eru einnig láréttu línurnar y = 0 og y = 2. Síðara grafið sýnir sama fall. Svæðinu milli g(y) og y-ássins, afmörkuðu af y = 0 og y = 2, hefur verið snúið um y-ásinn og myndar flöt. — **Mynd 2.47.** (a) Graf g ( y ) . (b) Snúðflöturinn.

Við höfum $g (y) = (1 / 3) y^{3},$ svo að $g^{'} (y) = y^{2}$ og ${(g^{'} (y))}^{2} = y^{4} .$ Þá fæst

\begin{matrix} Yfirborðsflatarmál & = \int_{c}^{d} (2 π g (y) \sqrt{1 + {(g^{'} (y))}^{2}}) d y \\ = \int_{0}^{2} (2 π (\frac{1}{3} y^{3}) \sqrt{1 + y^{4}}) d y \\ = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y . \end{matrix}

Setjum $u = y^{4} + 1 .$ Þá er $d u = 4 y^{3} d y .$ Þegar $y = 0,$ er $u = 1,$ og þegar $y = 2,$ er $u = 17 .$ Þá fæst

\begin{matrix} \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y & = \frac{2 π}{3} \int_{1}^{17} \frac{1}{4} \sqrt{u} d u \\ = \frac{π}{6} {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{1}^{17} = \frac{π}{9} [{(17)}^{3 / 2} - 1] \approx 24.118. \end{matrix}

Æfingar í hluta 2.4

Finnið bogalengd grafanna á gefnu bili í eftirfarandi æfingum.

165.

$y = 5 x frá x = 0 til x = 2$

166.

$y = - \frac{1}{2} x + 25 frá x = 1 til x = 4$

167.

$x = 4 y frá y = −1 til y = 1$

168.

Veljið eitthvert línulegt fall $x = g (y)$ og eitthvert bil $(y_{1}, y_{2}) .$ Ákvarðið lengd grafs fallsins og sannið síðan með rúmfræði að lengdin sé rétt.

169.

Finnið yfirborðsflatarmál flatarins sem myndast þegar ferlinum $y = \sqrt{x}$ er snúið um $x -ás$ frá $(1, 1)$ til $(4, 2),$ eins og sýnt er hér.

Myndin sýnir flöt sem hefur myndast þegar ferlinum y = √x er snúið um x-ásinn. Flöturinn er sýndur inni í teningi til að undirstrika þrívítt form hans.

170.

Finnið yfirborðsflatarmál flatarins sem myndast þegar ferlinum $y = x^{2}$ er snúið um $y -ás$ frá $(1, 1)$ til $(3, 9) .$

Myndin sýnir flöt. Hann er sporöskjulaga að ofan og myndar „skál“.

Finnið bogalengd grafa fallanna af $x$ á gefnu bili í eftirfarandi æfingum. Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota tæknibúnað til að nálga það.

171.

$y = x^{3 / 2}$ á $(0, 0) til (1, 1)$

172.

$y = x^{2 / 3}$ á $(1, 1) til (8, 4)$

173.

$y = \frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2}$ á $x = 0 til x = 1$

174.

$y = \frac{1}{3} {(x^{2} - 2)}^{3 / 2}$ frá $x = 2$ til $x = 4$

175.

[T] $y = e^{x}$ frá $x = 0$ til $x = 1$

176.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ á $x = 1 til x = 3$

177.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ á $x = 1 til x = 2$

178.

$y = \frac{2 x^{3 / 2}}{3} - \frac{x^{1 / 2}}{2}$ á $x = 1 til x = 4$

179.

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{3 / 2}$ á $x = 0 til x = 2$

180.

[T] $y = sin x$ á $x = 0 til x = π$

Finnið bogalengd grafa fallanna af $y$ á gefnu bili í eftirfarandi æfingum. Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota tæknibúnað til að nálga það.

181.

$y = \frac{5 - 3 x}{4}$ frá $y = 0$ til $y = 4$

182.

$x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{− y})$ á $y = −1 til y = 1$

183.

$x = 5 y^{3 / 2}$ frá $y = 0$ til $y = 1$

184.

[T] $x = y^{2}$ frá $y = 0$ til $y = 1$

185.

$x = \sqrt{y}$ á $y = 0 til y = 1$

186.

$x = \frac{2}{3} {(y^{2} + 1)}^{3 / 2}$ frá $y = 1$ til $y = 3$

187.

[T] $x = tan y$ frá $y = 0$ til $y = \frac{3}{4}$

188.

[T] $x = {cos}^{2} y$ frá $y = - \frac{π}{2}$ til $y = \frac{π}{2}$

189.

[T] $x = 4^{y}$ á $y = 0 til y = 2$

190.

[T] $x = ln (y)$ frá $y = \frac{1}{e}$ til $y = e$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna yfirborðsflatarmál flatarins sem myndast þegar hverjum ferli er snúið um $x -ás .$ Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota reiknivél til að nálga það.

191.

$y = \sqrt{x}$ frá $x = 2$ til $x = 6$

192.

$y = x^{3}$ frá $x = 0$ til $x = 1$

193.

$y = 7 x$ á $x = −1 til x = 1$

194.

[T] $y = \frac{1}{x^{2}}$ á $x = 1 til x = 3$

195.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$ á $x = 0 til x = 2$

196.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$ á $x = −1 til x = 1$

197.

$y = 5 x$ á $x = 1 til x = 5$

198.

[T] $y = tan x$ á $x = - \frac{π}{4} til x = \frac{π}{4}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna yfirborðsflatarmál flatarins sem myndast þegar hverjum ferli er snúið um $y -ás .$ Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota reiknivél til að nálga það.

199.

$y = x^{2}$ á $x = 0 til x = 2$

200.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ á $x = 0 til x = 1$

201.

$y = x + 1$ á $x = 0 til x = 3$

202.

[T] $y = \frac{1}{x}$ frá $x = \frac{1}{2}$ til $x = 1$

203.

$y = \sqrt[3]{x}$ á $x = 1 til x = 27$

204.

[T] $y = 3 x^{4}$ frá $x = 0$ til $x = 1$

205.

[T] $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ frá $x = 1$ til $x = 3$

206.

[T] $y = cos x$ frá $x = 0$ til $x = \frac{π}{2}$

207.

Lampafótur er myndaður með því að snúa fjórðungi hringsins $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ um $y -ás$ frá $x = 1$ til $x = 2,$ eins og sýnt er hér. Setjið fram heildi fyrir yfirborðsflatarmál þessa flatar og reiknið það.

Myndin sýnir flöt. Hann er hálfur hjólflötur sem myndast þegar ferlinum y = √(2x − x²) er snúið um y-ásinn.

208.

Ljósapera er kúla með geislann $1 / 2$ tommu og neðsti hlutinn hefur verið skorinn af svo hún passi nákvæmlega á sívalning með geislann $1 / 4$ tommu og lengdina $1 / 3$ tommu, eins og sýnt er hér. Kúlan er skorin af að neðan svo hún passi nákvæmlega á sívalninginn og því er geisli skurðarins $1 / 4$ tommu. Finnið yfirborðsflatarmálið (án efri og neðri grunnflatar sívalningsins).

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir kúlu ofan á sívalningi. Sú síðari sýnir ljósaperu.

209.

[T] Lampaskermur er myndaður með því að snúa $y = 1 / x$ um $x -ás$ frá $y = 1$ til $y = 2,$ eins og sýnt er hér. Ákvarðið hve mikið efni þarf til að búa til lampaskerminn, það er yfirborðsflatarmálið, með nákvæmni upp á fjóra aukastafi.

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri líkist keilustúf með jaðra sem sveigjast inn á við. Sú síðari sýnir lampaskerm.

210.

[T] Akkeri dregst á eftir báti samkvæmt fallinu $y = 24 e^{− x / 2} - 24,$ þar sem $y$ táknar dýptina undir bátnum og $x$ lárétta fjarlægð akkerisins frá skut bátsins. Ef akkerið er $23$ fet undir bátnum, hve langt reipi þarf að draga inn til að ná akkerinu? Námundið svarið að þremur aukastöfum.

211.

[T] Verið er að byggja brú sem verður $10$ fet að lengd. Ætlunin er að bæta við skrautreipi í laginu $y = 5 | sin ((x π) / 5) |,$ þar sem $x$ er fjarlægðin í fetum frá öðrum enda brúarinnar. Finnið hve mörg heil fet af reipi þarf að kaupa.

Finnið nákvæma bogalengd í eftirfarandi dæmum á gefnu bili.

212.

$y = ln (sin x)$ frá $x = π / 4$ til $x = (3 π) / 4 .$ (Ábending: Rifjið upp hornaföllsformúlur.)

213.

[T] Teiknið gröf $y = x^{2},$ $y = x^{6},$ og $y = x^{10} .$ Fyrir $y = x^{n},$ þegar $n$ stækkar, setjið fram tilgátu um bogalengdina frá $(0, 0)$ til $(1, 1) .$ Reiknið síðan lengd þessara þriggja falla og kannið hvort tilgátan var rétt.

214.

Berið saman lengd fleygbogans $x = y^{2}$ og línunnar $x = b y$ frá $(0, 0) til (b^{2}, b)$ þegar $b$ stækkar. Hverju takið þið eftir?

215.

Reiknið lengd $x = y^{2}$ frá $(0, 0) til (1, 1) .$ Sýnið að $x = (1 / 2) y^{2}$ frá $(0, 0)$ til $(2, 2)$ sé tvöfalt lengri. Teiknið gröf beggja falla og útskýrið hvers vegna svo er.

216.

[T] Hvor ferill er lengri milli $(1, 1)$ og $(2, 1 / 2) :$ breiðboginn $y = 1 / x$ eða línan $x + 2 y = 3 ?$

217.

Útskýrið hvers vegna yfirborðsflatarmálið er óendanlegt þegar $y = 1 / x$ er snúið um $x -ás$ fyrir $1 \leq x < \infty,$ en rúmmálið er endanlegt.