1.1 Föll og fallatáknun

Vensl eru mengi raðtvennda. Mengi allra fyrri hnita raðtvenndanna kallast skilgreiningarmengi og mengi allra síðari hnitanna kallast myndmengi. Skoðum eftirfarandi mengi raðtvennda. Fyrri talan í hverri tvennd er ein af fyrstu fimm náttúrlegu tölunum. Síðari talan er tvöföld sú fyrri.

Skilgreiningarmengið er $\left\{1,2,3,4,5\right\}.$ Myndmengið er $\left\{2,4,6,8,10\right\}.$

Hvert gildi í skilgreiningarmenginu er einnig nefnt inntaksgildi eða óháð breyta og er oft táknað með lágstafnum $x.$ Hvert gildi í myndmenginu er einnig nefnt úttaksgildi eða háð breyta og er oft táknað með lágstafnum $y.$

Fallið $f$ er vensl sem úthluta hverju gildi í skilgreiningarmenginu nákvæmlega einu gildi í myndmenginu. Með öðrum orðum kemur ekkert x-gildi fyrir oftar en einu sinni. Í dæminu okkar eru fyrstu fimm náttúrlegu tölurnar tengdar tvöföldum gildum sínum. Venslin eru fall því sérhvert stak í skilgreiningarmenginu, $\left\{1,2,3,4,5\right\},$ tengist nákvæmlega einu staki í myndmenginu, $\left\{2,4,6,8,10\right\}.$

Athugið að hvert stak í skilgreiningarmenginu, $\left\{\text{slétt,}\text{odda}\right\}$ tengist ekki nákvæmlega einu staki í myndmenginu, $\left\{1,2,3,4,5\right\}.$ Til dæmis samsvarar hugtakið „oddatala“ þremur gildum úr myndmenginu, $\left\{1,3,5\right\}$ en hugtakið „slétt tala“ tveimur gildum úr myndmenginu, $\left\{2,4\right\}.$ Þetta brýtur gegn skilgreiningu falls og því eru venslin ekki fall.

Mynd 1 ber saman vensl sem eru föll og vensl sem eru ekki föll.

Til að tákna að „hæð sé fall af aldri“ notum við breyturnar $h$ fyrir hæð og $a$ fyrir aldur. Bókstafirnir $f,g,$ og $h$ eru oft notaðir til að tákna föll, rétt eins og $x,y,$ og $z$ eru notaðir fyrir tölur og $A,B,$ og $C$ fyrir mengi.

Munið að nota má hvaða bókstaf sem er til að nefna fallið. Táknunin $h\left(a\right)$ sýnir að $h$ er háð $a.$ Setja þarf gildið $a$ inn í fallið $h$ til að fá niðurstöðu. Svigarnir sýna að aldurinn er inntak fallsins; þeir tákna ekki margföldun.

Einnig má nota algebrustæðu sem inntak falls. Táknunin $f\left(a+b\right)$ merkir: „Leggið fyrst saman a og b og notið niðurstöðuna sem inntak fallsins f.“ Reikniaðgerðirnar verða að fara fram í þessari röð til að rétt niðurstaða fáist.

Í töflu 3 eru inntakstölur mánaðanna (janúar = 1, febrúar = 2 og svo framvegis) og úttaksgildið, fjöldi daga í hverjum mánuði. Þetta eru allar upplýsingar sem við höfum um mánuði og daga tiltekins árs sem er ekki hlaupár. Athugið að í töflunni skilgreinum við fallið $f$ fyrir fjölda daga í mánuði, þar sem $D=f\left(m\right)$ auðkennir mánuði með heiltölu í stað heitis.

Tafla 4 skilgreinir fallið $Q=g\left(n\right).$ Munið að táknunin segir að $g$ sé heiti fallsins sem tekur við inntakinu $n$ og gefur úttakið $Q\text{.}$

Tafla 5 sýnir aldur barna í árum og samsvarandi hæð þeirra. Taflan sýnir aðeins hluta þeirra gagna sem til eru um hæð og aldur barna. Strax sést að taflan lýsir ekki falli því sama inntaksgildið, 5 ár, hefur tvö ólík úttaksgildi, 40 tommur og 42 tommur.

Þegar inntaksgildi er þekkt og við viljum finna samsvarandi úttaksgildi falls reiknum við gildi fallsins. Útreikningurinn gefur alltaf eina niðurstöðu því hvert inntaksgildi falls samsvarar nákvæmlega einu úttaksgildi.

Þegar úttaksgildi er þekkt og við viljum finna þau inntaksgildi sem gefa það setjum við úttakið jafnt formúlu fallsins og leysum með tilliti til inntaksins. Fleiri en ein lausn getur fengist því ólík inntaksgildi geta gefið sama úttaksgildi.

Þegar fall er gefið með formúlu er yfirleitt einfalt að reikna gildi þess. Til dæmis má reikna gildi fallsins $f\left(x\right)=5-3x^2$ með því að setja inntaksgildið í annað veldi, margfalda með 3 og draga margfeldið síðan frá 5.

Sum föll eru skilgreind með stærðfræðilegum reglum eða aðferðum sem settar eru fram sem jöfnur. Ef hægt er að lýsa úttaki falls með formúlu sem inniheldur inntaksstærðina má skilgreina fallið á algebrulegu formi. Til dæmis lýsir jafnan $2n+6p=12$ fallavenslum milli $n$ og $p.$ Við getum umritað hana til að ákvarða hvort $p$ sé fall af $n.$

Auðveldara er að sjá fallið sem tengir tegund gæludýrs við það hversu lengi það man með því að setja það fram í töflu. Sjá töflu 10. ²

Stundum er gagnlegra að reikna gildi falls af töflu en að nota jöfnur. Köllum fallið hér $P.$ Hér mynda tegundir gæludýranna skilgreiningarmengið, en myndmengið er mengi rauntalna sem tákna fjölda klukkustunda sem minnið endist. Við getum reiknað gildi fallsins $P$ fyrir inntaksgildið „gullfiskur“. Við skrifum $P(\text{gullfiskur})=2160.$ Til að reikna gildi falls af töflu finnum við inntaksgildið og samsvarandi úttaksgildi í viðeigandi línu töflunnar. Töfluform fallsins $P$ hentar þessu falli sérlega vel, betur en lýsing í málsgrein eða með fallatáknun.

Hjá sumum föllum samsvarar hins vegar aðeins eitt inntaksgildi hverju úttaksgildi, auk þess sem aðeins eitt úttak samsvarar hverju inntaki. Slík föll köllum við eintæk föll. Skoðum sem dæmi skóla sem notar aðeins bókstafseinkunnir og samsvarandi tugabrot, eins og sýnt er í töflu 12.

Til að sjá þetta hugtak skýrar skulum við skoða aftur einföldu föllin tvö á mynd 1(a) og mynd 1(b). Fallið í (a) sýnir vensl sem eru ekki eintæk því inntökin $q$ og $r$ gefa bæði úttakið $n.$ Fallið í (b) sýnir eintæk vensl því hvert úttak tengist aðeins einu inntaki.

Á algengustu gröfunum er inntaksgildið táknað með $x$ og úttaksgildið með $y,$ og við segjum að $y$ sé fall af $x,$ eða að $y=f\left(x\right)$ þegar fallið heitir $f.$ Graf fallsins er mengi allra punkta $(x,y)$ í sléttunni sem uppfylla jöfnuna $y=f\left(x\right).$ Ef fallið er aðeins skilgreint fyrir fá inntaksgildi samanstendur graf þess af fáeinum punktum. x-hnit hvers punkts er þá inntaksgildi og y-hnit hans samsvarandi úttaksgildi. Svörtu punktarnir á grafinu á mynd 10 sýna til dæmis að $f\left(0\right)=2$ og $f\left(6\right)=1.$ Mengi allra punkta $(x,y)$ sem uppfylla $y=f\left(x\right)$ myndar hins vegar feril. Ferillinn sem sýndur er inniheldur $(0,2)$ og $(6,1)$ því hann liggur gegnum þá punkta.

Nota má lóðrétta línuprófið til að ákvarða hvort graf lýsi falli. Ef hægt er að draga einhverja lóðrétta línu sem sker graf oftar en einu sinni lýsir grafið ekki falli, því hvert inntaksgildi falls hefur aðeins eitt úttaksgildi. Sjá mynd 11.

Í þessari bók könnum við föll: lögun grafa þeirra, sérkenni, algebrulegar formúlur og hvernig leysa má verkefni með þeim. Þegar við lærum að lesa byrjum við á stafrófinu. Þegar við lærum reikning byrjum við á tölum. Á sama hátt er gagnlegt að hafa safn grunneininga þegar unnið er með föll. Þessi föll köllum við grunnföll. Þetta er safn einfaldra falla með ákveðin heiti og við þekkjum gröf þeirra, formúlur og sérstaka eiginleika. Á mörgum reiknivélum eru sérstakir hnappar fyrir sum þessara falla. Í skilgreiningunum notum við $x$ sem inntaksbreytu og $y=f\left(x\right)$ sem úttaksbreytu.

Grunnföllin, samsetningar þeirra, gröf og ummyndanir koma oft fyrir í bókinni. Mjög gagnlegt er að geta fljótt borið kennsl á grunnföllin og einkenni þeirra út frá heiti, formúlu, grafi og gildatöflu. Graf og dæmigerð töflugildi fylgja hverju falli í töflu 13.

Reiknið í eftirfarandi verkefnum gildi stæðanna fyrir gefnu föllin $f,g,$ og $h:$