11 Föll

Yfirlitsverkefni

Föll og fallatáknun

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort venslin séu fall.

${(a, b), (c, d), (e, d)}$

${(5, 2), (6, 1), (6, 2), (4, 8)}$

$y^{2} + 4 = x,$ þar sem $x$ er óháða breytan og $y$ háða breytan

Sýnir grafið á mynd 1 fall?

Reiknið í eftirfarandi verkefnum gildi fallsins fyrir tilgreind gildi: $f (- 3); f (2); f (- a); - f (a); f (a + h) .$

$f (x) = - 2 x^{2} + 3 x$

$f (x) = 2 | 3 x - 1 |$

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort föllin séu eintæk.

$f (x) = - 3 x + 5$

$f (x) = | x - 3 |$

Notið lóðrétta línuprófið í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða hvort venslin sem grafið sýnir séu fall.

10.

11.

Teiknið gröf fallanna í eftirfarandi verkefnum.

12.

$f (x) = | x + 1 |$

13.

$f (x) = x^{2} - 2$

Notið mynd 2 í eftirfarandi verkefnum til að áætla gildin.

14.

$f (2)$

15.

$f (−2)$

16.

Ef $f (x) = −2,$ leysið þá með tilliti til $x .$

17.

Ef $f (x) = 1,$ leysið þá með tilliti til $x .$

Notið fallið $h (t) = - 16 t^{2} + 80 t$ í eftirfarandi verkefnum til að finna gildin.

18.

$\frac{h (2) - h (1)}{2 - 1}$

19.

$\frac{h (a) - h (1)}{a - 1}$

Skilgreiningarmengi og myndmengi

Finnið skilgreiningarmengi hvers falls í eftirfarandi verkefnum og ritið svörin með biltáknum.

20.

$f (x) = \frac{2}{3 x + 2}$

21.

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 4 x - 12}$

22.

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{x - 4}}$

23.

Teiknið graf þessa hlutskilgreinda falls: $f (x) = {\begin{cases} x + 1 x < - 2 \\ - 2 x - 3 x \geq - 2 \end{cases}$

Breytingarhraði og hegðun grafa

Finnið í eftirfarandi verkefnum meðalbreytingarhraða fallanna frá $x = 1 til x = 2.$

24.

$f (x) = 4 x - 3$

25.

$f (x) = 10 x^{2} + x$

26.

$f (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Notið gröfin í eftirfarandi verkefnum til að finna bilin þar sem föllin eru vaxandi, minnkandi eða föst.

27.

28.

29.

30.

Finnið staðbundið lággildi fallsins sem sýnt er í verkefni 1.27.

31.

Finnið staðbundin útgildi fallsins sem sýnt er í verkefni 1.28.

32.

Á grafinu á mynd 3 er skilgreiningarmengi fallsins $[- 3, 3] .$ Myndmengið er $[- 10, 10] .$ Finnið algilt lággildi fallsins á þessu bili.

33.

Finnið algilt hágildi fallsins sem sýnt er á mynd 3.

Samskeyting falla

Finnið í eftirfarandi verkefnum $(f \circ g) (x)$ og $(g \circ f) (x)$ fyrir hvert fallapar.

34.

$f (x) = 4 - x, g (x) = - 4 x$

35.

$f (x) = 3 x + 2, g (x) = 5 - 6 x$

36.

$f (x) = x^{2} + 2 x, g (x) = 5 x + 1$

37.

$f (x) = \sqrt{x + 2}, g (x) = \frac{1}{x}$

38.

$f (x) = \frac{x + 3}{2}, g (x) = \sqrt{1 - x}$

Finnið í eftirfarandi verkefnum $(f \circ g)$ og skilgreiningarmengi $(f \circ g) (x)$ fyrir hvert fallapar.

39.

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 4}, g (x) = \frac{1}{x}$

40.

$f (x) = \frac{1}{x + 3}, g (x) = \frac{1}{x - 9}$

41.

$f (x) = \frac{1}{x}, g (x) = \sqrt{x}$

42.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}, g (x) = \sqrt{x + 1}$

Setjið í eftirfarandi verkefnum hvert fall $H$ fram sem samskeytingu tveggja falla $f$ og $g$ þar sem $H (x) = (f \circ g) (x) .$

43.

$H (x) = \sqrt{\frac{2 x - 1}{3 x + 4}}$

44.

$H (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} - 4)}^{- 3}}$

Ummyndanir falla

Teiknið skissu af grafi gefna fallsins í eftirfarandi verkefnum.

45.

$f (x) = {(x - 3)}^{2}$

46.

$f (x) = {(x + 4)}^{3}$

47.

$f (x) = \sqrt{x} + 5$

48.

$f (x) = - x^{3}$

49.

$f (x) = \sqrt[3]{- x}$

50.

$f (x) = 5 \sqrt{- x} - 4$

51.

$f (x) = 4 [| x - 2 | - 6]$

52.

$f (x) = - {(x + 2)}^{2} - 1$

Teiknið í eftirfarandi verkefnum skissu af grafi fallsins $g$ þegar graf fallsins $f$ er sýnt á mynd 4.

Grafið sýnir hálfhring með miðju í upphafspunkti hnitakerfisins og geisla 2. Ferillinn hefst í (−2, 0), nær hæsta punkti í (0, 2) og endar í (2, 0) í hnitakerfinu.

53.

$g (x) = f (x - 1)$

54.

$g (x) = 3 f (x)$

Ritið í eftirfarandi verkefnum jöfnu grunnfallsins sem hvert graf hér fyrir neðan sýnir.

55.

56.

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort hvert fall sé jafnstætt, oddstætt eða hvorugt.

57.

$f (x) = 3 x^{4}$

58.

$g (x) = \sqrt{x}$

59.

$h (x) = \frac{1}{x} + 3 x$

Greinið grafið í eftirfarandi verkefnum og ákvarðið hvort fallið sé jafnstætt, oddstætt eða hvorugt.

60.

61.

62.

Tölugildisföll

Ritið í eftirfarandi verkefnum jöfnu fyrir ummyndun $f (x) = | x | .$

63.

64.

Blátt V-laga graf í hnitakerfi sem sýnir tölugildisfall. Grafið opnast upp og hvirfilpunktur þess er í punktinum (1,5; −3).

65.

Teiknið graf tölugildisfallsins í eftirfarandi verkefnum.

66.

$f (x) = | x - 5 |$

67.

$f (x) = - | x - 3 |$

68.

$f (x) = | 2 x - 4 |$

Leysið tölugildisjöfnuna í eftirfarandi verkefnum.

69.

$| x + 4 | = 18$

70.

$| \frac{1}{3} x + 5 | = | \frac{3}{4} x - 2 |$

Leysið ójöfnuna í eftirfarandi verkefnum og ritið lausnina með biltáknum.

71.

$| 3 x - 2 | < 7$

72.

$| \frac{1}{3} x - 2 | \leq 7$

Andhverf föll

Finnið í eftirfarandi verkefnum $f^{- 1} (x)$ fyrir hvert fall.

73.

$f (x) = 9 + 10 x$

74.

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Finnið í eftirfarandi verkefni skilgreiningarmengi þar sem fallið $f$ er eintækt og ekki minnkandi. Ritið skilgreiningarmengið með biltáknum. Finnið síðan andhverfu $f$ þegar það er takmarkað við þetta mengi.

75.

$f (x) = x^{2} + 1$

76.

Gefin eru föllin $f (x) = x^{3} - 5$ og $g (x) = \sqrt[3]{x + 5} :$

Finnið $f (g (x))$ og $g (f (x)) .$
Hvað segir svarið okkur um tengsl $f (x)$ og $g (x) ?$

Notið grafteikniforrit í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða hvort hvert fall sé eintækt.

77.

$f (x) = \frac{1}{x}$

78.

$f (x) = - 3 x^{2} + x$

79.

Ef $f (5) = 2,$ finnið $f^{- 1} (2) .$

80.

Ef $f (1) = 4,$ finnið $f^{- 1} (4) .$