Meginatriði

Meginatriði

1.1 Föll og fallatáknun

• Vensl eru mengi raðaðra para. Fall er sérstök gerð vensla þar sem hvert gildi í skilgreiningarmenginu, eða inntak, leiðir til nákvæmlega eins gildis í myndmenginu, eða úttaks. Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
• Fallatáknun er stytt aðferð til að tengja inntak við úttak á forminu $y=f\left(x\right).$ Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
• Í töfluformi má sýna fall með röðum eða dálkum sem tengja inntaks- og úttaksgildi. Sjá dæmi 5.
• Til að reikna gildi falls finnum við úttaksgildi sem samsvarar tilteknu inntaksgildi. Reikna má gildi algebruframsetningar falls með því að setja tiltekið gildi í stað inntaksbreytunnar. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
• Til að finna inntaksgildi sem samsvara tilteknu fallgildi leitum við að þeim inntaksgildum sem gefa þetta úttaksgildi. Sjá dæmi 8.
• Rita má algebruframsetningu falls út frá jöfnu. Sjá dæmi 9 og dæmi 10.
• Greina má inntaks- og úttaksgildi falls úr töflu. Sjá dæmi 11.
• Önnur leið til að reikna gildi falls er að tengja inntaksgildi við úttaksgildi á grafi. Sjá dæmi 12.
• Fall er eintækt ef hvert úttaksgildi samsvarar aðeins einu inntaksgildi. Sjá dæmi 13.
• Graf sýnir fall ef sérhver lóðrétt lína sem dregin er á grafið sker það í mesta lagi einu sinni. Sjá dæmi 14.
• Graf eintæks falls stenst lárétta línuprófið. Sjá dæmi 15.

1.2 Skilgreiningarmengi og myndmengi

• Skilgreiningarmengi falls inniheldur öll inntaksgildi sem eru rauntölur og sem leiða ekki til óskilgreindrar reikniaðgerðar, svo sem deilingar með núlli eða kvaðratrótar af neikvæðri tölu.
• Finna má skilgreiningarmengi falls með því að telja upp inntaksgildi mengis raðaðra para. Sjá dæmi 1.
• Einnig má finna skilgreiningarmengi falls með því að greina inntaksgildi falls sem er ritað sem jafna. Sjá dæmi 2, dæmi 3 og dæmi 4.
• Lýsa má bilum sem sýnd eru á talnalínu með ójöfnurithætti, skilyrðisrithætti mengja og biltáknum. Sjá dæmi 5.
• Fyrir mörg föll má finna skilgreiningarmengi og myndmengi út frá grafi. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
• Nota má þekkingu á grunnföllum til að finna skilgreiningarmengi og myndmengi tengdra falla. Sjá dæmi 8, dæmi 9 og dæmi 10.
• Hlutskilgreindu falli er lýst með fleiri en einni formúlu. Sjá dæmi 11 og dæmi 12.
• Teikna má graf hlutskilgreinds falls með því að nota hverja algebrulega formúlu á tilheyrandi hlutmengi skilgreiningarmengisins. Sjá dæmi 13.

1.3 Breytingarhraði og hegðun grafa

• Breytingarhraði tengir breytingu úttaksstærðar við breytingu inntaksstærðar. Meðalbreytingarhraði er fundinn með því að nota aðeins upphafs- og lokagögn. Sjá dæmi 1.
• Finna má meðalbreytingarhraða með því að greina punkta sem marka bilið á grafi. Sjá dæmi 2.
• Einnig má finna meðalbreytingarhraða með því að bera saman pör inntaks- og úttaksgilda í töflu. Sjá dæmi 3.
• Einnig má reikna meðalbreytingarhraða með því að finna fallgildin í endapunktum bils sem lýst er með formúlu. Sjá dæmi 4 og dæmi 5.
• Stundum má setja meðalbreytingarhraða fram sem stæðu. Sjá dæmi 6.
• Fall er vaxandi þar sem breytingarhraði þess er jákvæður en minnkandi þar sem breytingarhraðinn er neikvæður. Sjá dæmi 7.
• Staðbundið hágildi er þar sem fall breytist úr því að vera vaxandi í að vera minnkandi og hefur hærra úttaksgildi (jákvæðara eða minna neikvætt) en við nálæg inntaksgildi.
• Staðbundið lággildi er þar sem fall breytist úr því að vera minnkandi í að vera vaxandi (þegar inntakið vex) og hefur lægra úttaksgildi (neikvæðara eða minna jákvætt) en við nálæg inntaksgildi.
• Lággildi og hágildi kallast einnig útgildi.
• Finna má staðbundin útgildi út frá grafi. Sjá dæmi 8 og dæmi 9.
• Hæstu og lægstu punktar grafs sýna hágildi og lággildi. Sjá dæmi 10.

1.4 Samskeyting falla

• Framkvæma má algebruaðgerðir á föllum. Sjá dæmi 1.
• Þegar föll eru samskeytt verður úttak fyrra (innra) fallsins að inntaki síðara (ytra) fallsins.
• Fallið sem myndast við samskeytingu tveggja falla er samskeytt fall. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
• Taka þarf tillit til röðar samskeytingar falla þegar merking samskeyttra falla er túlkuð. Sjá dæmi 4.
• Reikna má gildi samskeytts falls með því að reikna fyrst gildi innra fallsins fyrir gefið inntaksgildi og reikna síðan gildi ytra fallsins með úttak innra fallsins sem inntak.
• Reikna má gildi samskeytts falls út frá töflu. Sjá dæmi 5.
• Reikna má gildi samskeytts falls út frá grafi. Sjá dæmi 6.
• Reikna má gildi samskeytts falls út frá formúlu. Sjá dæmi 7.
• Skilgreiningarmengi samskeytts falls er mengi þeirra inntaksgilda í skilgreiningarmengi innra fallsins sem samsvara úttaksgildum innra fallsins sem tilheyra skilgreiningarmengi ytra fallsins. Sjá dæmi 8 og dæmi 9.
• Rétt eins og sameina má föll í samskeytt fall má þátta samskeytt föll í einfaldari föll.
• Oft má þátta föll á fleiri en einn veg. Sjá dæmi 10.

1.5 Ummyndanir falla

• Hliðra má falli lóðrétt með því að leggja fasta við úttakið. Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
• Hliðra má falli lárétt með því að leggja fasta við inntakið. Sjá dæmi 3, dæmi 4 og dæmi 5.
• Með því að tengja hliðrun við samhengi verkefnis má bera saman og túlka lóðréttar og láréttar hliðranir. Sjá dæmi 6.
• Lóðréttar og láréttar hliðranir eru oft sameinaðar. Sjá dæmi 7 og dæmi 8.
• Lóðrétt speglun speglar graf um $x\text{-}$ ásinn. Spegla má graf lóðrétt með því að margfalda úttakið með –1.
• Lárétt speglun speglar graf um $y\text{-}$ ásinn. Spegla má graf lárétt með því að margfalda inntakið með –1.
• Spegla má graf bæði lóðrétt og lárétt. Röðin sem speglununum er beitt í hefur ekki áhrif á lokagrafið. Sjá dæmi 9.
• Einnig má spegla fall á töfluformi með því að margfalda gildin í viðeigandi inntaks- og úttaksröðum eða -dálkum. Sjá dæmi 10.
• Spegla má fall sem sett er fram með jöfnu með því að beita ummyndununum einni í senn. Sjá dæmi 11.
• Jafnstæð föll eru samhverf um $y\text{-}$ ásinn en oddstæð föll eru samhverf um upphafspunkt hnitakerfisins.
• Jafnstæð föll uppfylla skilyrðið $f(x)=f(-x).$
• Oddstæð föll uppfylla skilyrðið $f(x)=-f(-x).$
• Fall getur verið oddstætt, jafnstætt eða hvorugt. Sjá dæmi 12.
• Þjappa má falli saman eða teygja það lóðrétt með því að margfalda úttakið með fasta. Sjá dæmi 13, dæmi 14 og dæmi 15.
• Þjappa má falli saman eða teygja það lárétt með því að margfalda inntakið með fasta. Sjá dæmi 16, dæmi 17 og dæmi 18.
• Röðin sem ólíkum ummyndunum er beitt í hefur áhrif á lokafallið. Beita verður bæði lóðréttum og láréttum ummyndunum í gefinni röð. Hins vegar má sameina lóðrétta ummyndun og lárétta ummyndun í hvorri röðinni sem er. Sjá dæmi 19 og dæmi 20.

1.6 Tölugildisföll

• Tölugildisfallið er algengt við mælingar á fjarlægðum milli punkta. Sjá dæmi 1.
• Einnig má leysa hagnýt verkefni, svo sem verkefni um bil mögulegra gilda, með tölugildisfallinu. Sjá dæmi 2.
• Graf tölugildisfallsins líkist bókstafnum V. Það hefur hornpunkt þar sem grafið skiptir um stefnu. Sjá dæmi 3.
• Í tölugildisjöfnu er óþekkt breyta inntak tölugildisfalls.
• Ef tölugildi stæðu er sett jafnt jákvæðri tölu má búast við tveimur lausnum fyrir óþekktu breytuna. Sjá dæmi 4.
• Tölugildisjafna getur haft eina lausn, tvær lausnir eða enga lausn. Sjá dæmi 5.
• Tölugildisójafna líkist tölugildisjöfnu en er á forminu $\left|A\right|<B,\left|A\right|\le B,\left|A\right|>B,\text{eða}\left|A\right|\ge B.$ Leysa má hana með því að finna mörk lausnamengisins og prófa síðan hvaða bil tilheyra menginu. Sjá dæmi 6.
• Einnig má leysa tölugildisójöfnur myndrænt. Sjá dæmi 7.

1.7 Andhverf föll

• Ef $g(x)$ er andhverfa $f(x),$ þá er $g(f(x))=f(g(x))=x.$ Sjá dæmi 1, dæmi 2 og dæmi 3.
• Hvert grunnfall hefur andhverfu. Sjá dæmi 4.
• Til að fall hafi andhverfu verður það að vera eintækt (standast lárétta línuprófið).
• Fall sem er ekki eintækt á öllu skilgreiningarmengi sínu getur verið eintækt á hluta þess.
• Fyrir fall á töfluformi skal víxla á inntaks- og úttaksröðum til að fá andhverfuna. Sjá dæmi 5.
• Finna má andhverfu falls í tilteknum punktum á grafi þess. Sjá dæmi 6.
• Til að finna andhverfu falls sem gefið er með formúlu skal leysa jöfnuna $y=f(x)$ með tilliti til $x$ sem falls af $y.$ Víxlið síðan á heitunum $x$ og $y.$ Sjá dæmi 7, dæmi 8 og dæmi 9.
• Graf andhverfs falls er speglun grafs upphaflega fallsins um línuna $y=x.$ Sjá dæmi 10.