11 Föll

1.3 Breytingarhraði og hegðun grafa

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Finna meðalbreytingarhraða falls.
Nota graf til að ákvarða hvar fall er vaxandi, minnkandi eða fast.
Nota graf til að finna staðbundin hágildi og lággildi.
Nota graf til að finna algilt hágildi og algilt lággildi.

Bensínverð hefur sveiflast mjög mikið á síðustu áratugum. Tafla 1 ⁵ sýnir meðalverð í dölum á galloni af bensíni á árunum 2005–2012. Líta má á bensínverðið sem fall af ári.

$y$	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
C ⁡ ( y )	2.31	2.62	2.84	3.30	2.41	2.84	3.58	3.68

Ef við hefðum aðeins áhuga á því hvernig bensínverð breyttist frá 2005 til 2012 gætum við reiknað út að verðið á galloni hækkaði úr $2.31 í $3.68, sem er hækkun um $1.37. Þótt þetta sé áhugavert gæti verið gagnlegra að skoða hversu mikið verðið breyttist á ári. Í þessum hluta könnum við slíkar breytingar.

Að finna meðalbreytingarhraða falls

Verðbreyting á ári er breytingarhraði vegna þess að hún lýsir því hvernig úttaksstærð breytist miðað við breytingu á inntaksstærð. Í töflu 1 sést að bensínverðið breyttist ekki jafnmikið á hverju ári og því var breytingarhraðinn ekki fastur. Ef við notum aðeins upphafs- og lokagögnin finnum við meðalbreytingarhraðann á tiltekna tímabilinu. Til að finna meðalbreytingarhraðann deilum við breytingunni á úttaksgildinu með breytingunni á inntaksgildinu.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} Meðalbreytingarhraði = \frac{Breyting úttaks}{Breyting inntaks} \end{array} \\ = \frac{Δ y}{Δ x} \\ = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \end{array}

Gríski stafurinn $Δ$ (delta) táknar breytingu á stærð. Hlutfallið lesum við sem „delta-y deilt með delta-x“ eða „breytingin á $y$ deild með breytingunni á $x .$ “ Stundum ritum við $Δ f$ í stað $Δ y,$ en það táknar eftir sem áður breytinguna á úttaksgildi fallsins sem leiðir af breytingu á inntaksgildi þess. Það merkir ekki að við breytum fallinu í annað fall.

Í dæminu okkar hækkaði bensínverðið um $1.37 frá 2005 til 2012. Á 7 árum var meðalbreytingarhraðinn

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{$ 1.37}{7 ár} \approx 0.196 dalir á ári

Að meðaltali hækkaði bensínverðið um það bil 19.6¢ á ári.

Önnur dæmi um breytingarhraða eru:

Rottustofn sem stækkar um 40 rottur á viku
Bíll sem ekur 68 mílur á klukkustund (ekin vegalengd eykst um 68 mílur á hverri klukkustund sem líður)
Bíll sem ekur 27 mílur á galloni (ekin vegalengd eykst um 27 mílur fyrir hvert gallon)
Rafstraumur um rafrás sem eykst um 0.125 amper fyrir hvert volt sem spennan hækkar um
Fjárhæð á háskólareikningi sem lækkar um $4,000 á hverjum ársfjórðungi

Dæmi 1

Að reikna meðalbreytingarhraða

Notið gögnin í töflu 1 til að finna meðalbreytingarhraða bensínverðs frá 2007 til 2009.

Lausn

Árið 2007 var bensínverðið $2.84. Árið 2009 var það $2.41. Meðalbreytingarhraðinn er

\begin{array}{l} \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ = \frac{$ 2.41 - $ 2.84}{2009 - 2007} \\ = \frac{- $ 0.43}{2 ár} \\ = - $ 0.22 á ári \end{array}

Greining

Athugið að lækkun er táknuð með neikvæðri breytingu eða „neikvæðri hækkun“. Breytingarhraði er neikvæður þegar úttakið minnkar um leið og inntakið eykst eða þegar úttakið eykst um leið og inntakið minnkar.

Dæmi 2

Að reikna meðalbreytingarhraða út frá grafi

Fyrir fallið $g (t)$ sem sýnt er á mynd 1 skal finna meðalbreytingarhraðann á bilinu $[- 1, 2] .$

Lausn

Þegar $t = - 1,$ sýnir mynd 2 að $g (−1) = 4.$ Þegar $t = 2,$ sýnir grafið að $g (2) = 1.$

Graf fleygboga með línu milli punktanna (-1, 4) og (2, 1), sem sýnir breytingarnar á g(t) og t. — **Mynd 2.** Mynd 2

Lárétta breytingin $Δ t = 3$ er sýnd með rauðu örinni og lóðrétta breytingin $Δ g (t) = - 3$ með grænbláu örinni. Úttakið breytist um –3 á meðan inntakið breytist um 3 og því er meðalbreytingarhraðinn

\frac{1 - 4}{2 - (- 1)} = \frac{- 3}{3} = −1

Greining

Athugið að röðin sem við veljum skiptir miklu máli. Ef við notum til dæmis $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{1} - x_{2}},$ fáum við ekki rétt svar. Ákveðið hvor punkturinn á að vera punktur 1 og hvor punktur 2 og haldið hnitunum föstum sem $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2}) .$

Dæmi 3

Að reikna meðalbreytingarhraða út frá töflu

Eftir að Anna hefur sótt vinkonu sem býr í 10 mílna fjarlægð skráir hún fjarlægð sína frá heimilinu eftir því sem tíminn líður. Gildin eru sýnd í töflu 2. Finnið meðalhraða hennar fyrstu 6 klukkustundirnar.

t (klukkustundir)	0	1	2	3	4	5	6	7
D(t) (mílur)	10	55	90	153	214	240	292	300

Lausn

Hér er meðalhraðinn jafn meðalbreytingarhraðanum. Hún ók 282 mílur á 6 klukkustundum og meðalhraðinn var því

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{292 - 10}{6 - 0} = \frac{282}{6} \end{array} \\ = 47 \end{array}

Meðalhraðinn er 47 mílur á klukkustund.

Greining

Þar sem hraðinn er ekki fastur fer meðalhraðinn eftir því hvaða bil er valið. Á bilinu [2,3] er meðalhraðinn 63 mílur á klukkustund.

Dæmi 4

Að reikna meðalbreytingarhraða falls sem er gefið með formúlu

Reiknið meðalbreytingarhraða fallsins $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ á bilinu $[2, 4].$

Lausn

Við getum byrjað á að reikna fallgildin í hvorum endapunkti bilsins.

\begin{matrix} f (2) & = & 2^{2} - \frac{1}{2} & f (4) & = & 4^{2} - \frac{1}{4} \\ = & 4 - \frac{1}{2} & = & 16 - \frac{1}{4} \\ = & \frac{7}{2} & = & \frac{63}{4} \end{matrix}

Nú reiknum við meðalbreytingarhraðann.

\begin{matrix} Meðalbreytingarhraði & = & \frac{f (4) - f (2)}{4 - 2} \\ = & \frac{\frac{63}{4} - \frac{7}{2}}{4 - 2} \\ = & \frac{\frac{49}{4}}{2} \\ = & \frac{49}{8} \end{matrix}

Dæmi 5

Að finna meðalbreytingarhraða krafts

Þann rafstöðukraft $F,$ sem mældur er í njútonum milli tveggja hlaðinna agna, má tengja við fjarlægðina milli agnanna $d,$ í sentímetrum, með formúlunni $F (d) = \frac{2}{d^{2}} .$ Finnið meðalbreytingarhraða kraftsins þegar fjarlægðin milli agnanna eykst úr 2 cm í 6 cm.

Lausn

Við reiknum meðalbreytingarhraða fallsins $F (d) = \frac{2}{d^{2}}$ á bilinu $[2, 6] .$

\begin{matrix} Meðalbreytingarhraði & = & \frac{F (6) - F (2)}{6 - 2} \\ = & \frac{\frac{2}{6^{2}} - \frac{2}{2^{2}}}{6 - 2} & Einfaldið . \\ = & \frac{\frac{2}{36} - \frac{2}{4}}{4} \\ = & \frac{- \frac{16}{36}}{4} & Sameinið liði í teljara . \\ = & - \frac{1}{9} & Einfaldið \end{matrix}

Meðalbreytingarhraðinn er $- \frac{1}{9}$ njúton á sentímetra.

Dæmi 6

Að finna stæðu fyrir meðalbreytingarhraða

Finnið meðalbreytingarhraða fallsins $g (t) = t^{2} + 3 t + 1$ á bilinu $[0, a] .$ Svarið verður stæða sem inniheldur $a .$

Lausn

Við notum formúluna fyrir meðalbreytingarhraða.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} Meðalbreytingarhraði = \frac{g (a) - g (0)}{a - 0} & Reiknið . \\ = \frac{(a^{2} + 3 a + 1) - (0^{2} + 3 (0) + 1)}{a - 0} & Einfaldið . \\ = \frac{a^{2} + 3 a + 1 - 1}{a} & Einfaldið og þáttið . \\ = \frac{a (a + 3)}{a} & \begin{array}{l} Deilið með sameiginlega þættinum a . \end{array} \end{array} \\ = a + 3 \end{array}

Niðurstaðan gefur okkur meðalbreytingarhraðann sem fall af $a$ milli $t = 0$ og einhvers annars punkts $t = a .$ Á bilinu $[0, 5],$ væri meðalbreytingarhraðinn til dæmis $5 + 3 = 8.$

Að nota graf til að ákvarða hvar fall er vaxandi, minnkandi eða fast

Þegar við könnum hvernig föll breytast getum við fundið bil þar sem fallið breytist á tiltekinn hátt. Við segjum að fall sé vaxandi á bili ef fallgildin vaxa þegar inntaksgildin vaxa innan bilsins. Á sama hátt er fall minnkandi á bili ef fallgildin minnka þegar inntaksgildin vaxa á bilinu. Meðalbreytingarhraði vaxandi falls er jákvæður en meðalbreytingarhraði minnkandi falls er neikvæður. Mynd 3 sýnir dæmi um bil þar sem fall er vaxandi eða minnkandi.

Graf margliðufalls sem sýnir vaxandi og minnkandi bil og staðbundið hágildi og lággildi. — **Mynd 3.** Fallið $f (x) = x^{3} - 12 x$ er vaxandi á $(- \infty, - 2) {\cup^{}}^{} (2, \infty)$ og minnkandi á $(- 2, 2) .$

Sum föll eru vaxandi (eða minnkandi) á öllu skilgreiningarmengi sínu en mörg önnur eru það ekki. Inntaksgildi þar sem fall breytist úr því að vera vaxandi í að vera minnkandi (þegar farið er frá vinstri til hægri, það er þegar inntaksbreytan vex) er staðsetning staðbundins hágildis. Fallgildið í þeim punkti er staðbundna hágildið. Ef fall hefur fleiri en eitt slíkt segjum við að það hafi staðbundin hágildi. Á sama hátt er inntaksgildi þar sem fall breytist úr því að vera minnkandi í að vera vaxandi staðsetning staðbundins lággildis. Fallgildið í þeim punkti er staðbundna lággildið. Staðbundin hágildi og lággildi kallast saman staðbundin útgildi fallsins. Orðinu staðbundin er stundum skipt út fyrir orðið afstæð. Í þessari bók notum við orðið staðbundin.

Fall er vitaskuld hvorki vaxandi né minnkandi á bili þar sem það er fast. Fall er heldur hvorki vaxandi né minnkandi í útgildispunkti. Við verðum að tala um staðbundin útgildi því tiltekið staðbundið útgildi samkvæmt þessari skilgreiningu er ekki endilega hæsta hágildi eða lægsta lággildi á öllu skilgreiningarmengi fallsins.

Fyrir fallið sem sýnt er á mynd 4 er staðbundna hágildið 16 og það kemur fyrir þegar $x = −2.$ Staðbundna lággildið er $−16$ og það kemur fyrir þegar $x = 2.$

Graf falls f(x) í hnitakerfi þar sem x-ásinn nær frá -5 til 5 og f(x)-ásinn frá -20 til 20. Fallið vex að staðbundnu hágildi í punktinum (-2, 16), minnkar síðan, fer í gegnum upphafspunktinn og nær staðbundnu lággildi í punktinum (2, -16) og vex aftur þaðan til hægri.

Til að finna staðbundin hágildi og lággildi á grafi þurfum við að skoða hvar grafið nær hæstu og lægstu punktum sínum innan opins bils. Líkt og toppur rússíbana liggur graf falls hærra í staðbundnu hágildi en í nálægum punktum beggja vegna. Á sama hátt liggur grafið lægra í staðbundnu lággildi en í nálægum punktum. Mynd 5 skýrir þetta fyrir staðbundið hágildi.

Graf margliðufalls sem sýnir vaxandi og minnkandi bil og staðbundið hágildi. — **Mynd 5.** Skilgreining á staðbundnu hágildi

Þessar athuganir leiða til formlegrar skilgreiningar á staðbundnum útgildum.

Dæmi 7

Að finna vaxandi og minnkandi bil á grafi

Fyrir fallið $p (t)$ á mynd 6, skal tilgreina bilin þar sem fallið virðist vera vaxandi.

Graf margliðufalls. — **Mynd 6.** Mynd 6

Lausn

Við sjáum að fallið er ekki fast á neinu bili. Fallið er vaxandi þar sem grafið hallar upp á við þegar við færum okkur til hægri og minnkandi þar sem grafið hallar niður á við þegar við færum okkur til hægri. Fallið virðist vera vaxandi frá $t = 1$ til $t = 3$ og frá $t = 4$ og áfram.

Með biltáknum segjum við að fallið virðist vera vaxandi á bilinu (1,3) og bilinu $(4, \infty) .$

Greining

Athugið að í þessu dæmi notuðum við opin bil (bil sem innihalda ekki endapunktana) vegna þess að fallið er hvorki vaxandi né minnkandi þegar $t = 1$ , $t = 3$ , og $t = 4$ . Þessir punktar eru staðbundin útgildi (tvö lággildi og eitt hágildi).

Dæmi 8

Að finna staðbundin útgildi út frá grafi

Teiknið graf fallsins $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{3} .$ Notið síðan grafið til að áætla staðbundin útgildi fallsins og ákvarða bilin þar sem fallið er vaxandi.

Lausn

Með aðstoð tækni fáum við graf sem líkist því sem sýnt er á mynd 7. Þar virðist vera lægð, eða staðbundið lággildi, milli $x = 2$ og $x = 3,$ og spegilmyndaður toppur, eða staðbundið hágildi, einhvers staðar milli $x = −3$ og $x = −2.$

Graf umhverfufalls. — **Mynd 7.** Mynd 7

Greining

Flestar grafreiknivélar og grafteikniforrit geta áætlað staðsetningu hágilda og lággilda. Mynd 8 sýnir skjámyndir úr tveimur ólíkum reiknitækjum með mati á staðbundnu hágildi og lággildi.

Graf umhverfufalls á grafreiknivél. — **Mynd 8.** Mynd 8

Samkvæmt þessu mati er fallið vaxandi á bilunum $(- \infty, - 2 .449)$ og $(2.449, \infty) .$ Þótt við búumst við að útgildin séu samhverf ber niðurstöðum tæknilausnanna tveggja aðeins saman upp að fjórum aukastöfum vegna ólíkra nálgunarreiknirita. (Nákvæm staðsetning útgildanna er $\pm \sqrt{6},$ en til að finna hana þarf stærðfræðigreiningu.)

Dæmi 9

Að finna staðbundin hágildi og lággildi út frá grafi

Fyrir fallið $f$ sem grafið sýnir á mynd 9, skal finna öll staðbundin hágildi og lággildi.

Lausn

Skoðið graf fallsins $f .$ Grafið nær staðbundnu hágildi þegar $x = 1$ vegna þess að þar er það hæst innan opins bils umhverfis $x = 1.$ Staðbundna hágildið er $y$ -hnitið þegar $x = 1,$ sem er $2.$

Grafið nær staðbundnu lággildi þegar $x = −1$ vegna þess að þar er það lægst innan opins bils umhverfis $x = −1.$ Staðbundna lággildið er y-hnitið þegar $x = −1,$ sem er $−2.$

Greining á vaxandi og minnkandi bilum grunnfalla

Nú snúum við aftur að grunnföllunum og ræðum hegðun grafa þeirra á mynd 10, mynd 11 og mynd 12.

Tafla sem sýnir vaxandi og minnkandi bil grunnfallanna.

Að nota graf til að finna algilt hágildi og algilt lággildi

Það er munur á því að finna hæsta og lægsta punkt grafs á svæði umhverfis opið bil (staðbundið) og að finna hæsta og lægsta punkt grafsins á öllu skilgreiningarmenginu. $y -$ hnitin (úttaksgildin) í hæsta og lægsta punktinum kallast algilt hágildi og algilt lággildi, hvort um sig.

Til að finna algild hágildi og lággildi út frá grafi þurfum við að skoða hvar grafið nær hæsta og lægsta punkti sínum á skilgreiningarmengi fallsins. Sjá mynd 13.

Graf af hluta fleygboga með algilt lággildi í (0, -2) og algilt hágildi í (2, 2).

Ekki hafa öll föll algilt hágildi eða lággildi. Grunnfallið $f (x) = x^{3}$ er eitt slíkt fall.

Dæmi 10

Að finna algild hágildi og lággildi út frá grafi

Fyrir fallið $f$ sem sýnt er á mynd 14 skal finna öll algild hágildi og lággildi.

Lausn

Skoðið graf fallsins $f .$ Grafið nær algildu hágildi á tveimur stöðum, þegar $x = −2$ og $x = 2,$ vegna þess að þar nær grafið hæsta punkti sínum á skilgreiningarmengi fallsins. Algilda hágildið er y-hnitið þegar $x = −2$ og $x = 2,$ sem er $16.$

Grafið nær algildu lággildi þegar $x = 3,$ vegna þess að þar er það lægst á skilgreiningarmengi fallsins. Algilda lággildið er y-hnitið þegar $x = 3,$ sem er $−10.$

Æfingar úr hluta 1.3

Hugtakaspurningar

Getur meðalbreytingarhraði falls verið fastur?

Ef fall $f$ er vaxandi á $(a, b)$ og minnkandi á $(b, c),$ hvað má þá segja um staðbundið útgildi $f$ á $(a, c) ?$

Að hvaða leyti eru algilt hágildi og lággildi lík staðbundnum útgildum og að hvaða leyti eru þau ólík?

Hvernig er graf tölugildisfallsins samanborið við graf annars stigs fallsins $y = x^{2},$ með tilliti til vaxandi og minnkandi bila?

Algebra

Í eftirfarandi dæmum skal finna meðalbreytingarhraða hvers falls á tilgreinda bilinu fyrir rauntölurnar $b$ eða $h .$

𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥2−7 $f (x) = 4 x^{2} - 7$ á [1,𝑏] $[1, b]$

𝑔⁡(𝑥)=2⁢𝑥2−9 $g (x) = 2 x^{2} - 9$ á [4,𝑏] $[4, b]$

𝑝⁡(𝑥)=3⁢𝑥+4 $p (x) = 3 x + 4$ á [2,2+ℎ] $[2, 2 + h]$

𝑘⁡(𝑥)=4⁢𝑥−2 $k (x) = 4 x - 2$ á [3,3+ℎ] $[3, 3 + h]$

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+1 $f (x) = 2 x^{2} + 1$ á [𝑥,𝑥+ℎ] $[x, x + h]$

10.

𝑔⁡(𝑥)=3⁢𝑥2−2 $g (x) = 3 x^{2} - 2$ á [𝑥,𝑥+ℎ] $[x, x + h]$

11.

𝑎⁡(𝑡)=1𝑡+4 $a (t) = \frac{1}{t + 4}$ á [9,9+ℎ] $[9, 9 + h]$

12.

𝑏⁡(𝑥)=1𝑥+3 $b (x) = \frac{1}{x + 3}$ á [1,1+ℎ] $[1, 1 + h]$

13.

𝑗⁡(𝑥)=3⁢𝑥3 $j (x) = 3 x^{3}$ á [1,1+ℎ] $[1, 1 + h]$

14.

𝑟⁡(𝑡)=4⁢𝑡3 $r (t) = 4 t^{3}$ á [2,2+ℎ] $[2, 2 + h]$

15.

Finnið $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ þegar $f (x) = 2 x^{2} - 3 x$ á $[x, x + h]$

Gröf

Í eftirfarandi dæmum skal skoða graf fallsins $f$ sem sýnt er á mynd 15.

16.

Áætlið meðalbreytingarhraðann frá $x = 1$ til $x = 4.$

17.

Áætlið meðalbreytingarhraðann frá $x = 2$ til $x = 5.$

Í eftirfarandi dæmum skal nota graf hvers falls til að áætla bilin þar sem fallið er vaxandi eða minnkandi.

18.

19.

20.

21.

Í eftirfarandi dæmum skal skoða grafið á mynd 16.

22.

Áætlið bilin þar sem fallið er vaxandi eða minnkandi.

23.

Áætlið punktinn eða punktana þar sem graf fallsins $f$ hefur staðbundið hágildi eða lággildi.

Í eftirfarandi dæmum skal skoða grafið á mynd 17.

24.

Ef allt graf fallsins er sýnt skal áætla bilin þar sem fallið er vaxandi eða minnkandi.

25.

Ef allt graf fallsins er sýnt skal áætla algilt hágildi og algilt lággildi.

Töluleg dæmi

26.

Tafla 3 sýnir árlega sölu vöru (í milljónum dala) frá 1998 til 2006. Hver var meðalbreytingarhraði árlegrar sölu (a) frá 2001 til 2002 og (b) frá 2001 til 2004?

Ár	Sala (milljónir dala)
1998	201
1999	219
2000	233
2001	243
2002	249
2003	251
2004	249
2005	243
2006	233

27.

Tafla 4 sýnir íbúafjölda bæjar (í þúsundum) frá 2000 til 2008. Hver var meðalbreytingarhraði íbúafjöldans (a) frá 2002 til 2004 og (b) frá 2002 til 2006?

Ár	Íbúafjöldi (þúsundir)
2000	87
2001	84
2002	83
2003	80
2004	77
2005	76
2006	78
2007	81
2008	85

Í eftirfarandi dæmum skal finna meðalbreytingarhraða hvers falls á tilgreinda bilinu.

28.

$f (x) = x^{2}$ á $[1, 5]$

29.

$h (x) = 5 - 2 x^{2}$ á $[−2, 4]$

30.

$q (x) = x^{3}$ á $[−4, 2]$

31.

𝑔⁡(𝑥)=3⁢𝑥3−1 $g (x) = 3 x^{3} - 1$ á [−3,3] $[−3, 3]$

32.

$y = \frac{1}{x}$ á $[1, 3]$

33.

𝑝⁡(𝑡)=(𝑡2−4)⁢(𝑡+1)𝑡2+3 $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ á [−3,1] $[−3, 1]$

34.

𝑘⁡(𝑡)=6⁢𝑡2+4𝑡3 $k (t) = 6 t^{2} + \frac{4}{t^{3}}$ á [−1,3] $[−1, 3]$

Tækni

Í eftirfarandi dæmum skal nota grafteikniforrit til að áætla staðbundin útgildi hvers falls og bilin þar sem fallið er vaxandi og minnkandi.

35.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥4−4⁢𝑥3+5 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 5$

36.

ℎ⁡(𝑥)=𝑥5+5⁢𝑥4+10⁢𝑥3+10⁢𝑥2−1 $h (x) = x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} - 1$

37.

𝑔⁡(𝑡)=𝑡⁢√𝑡+3 $g (t) = t \sqrt{t + 3}$

38.

𝑘⁡(𝑡)=3⁢𝑡23−𝑡 $k (t) = 3 t^{\frac{2}{3}} - t$

39.

𝑚⁡(𝑥)=𝑥4+2⁢𝑥3−12⁢𝑥2−10⁢𝑥+4 $m (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 4$

40.

𝑛⁡(𝑥)=𝑥4−8⁢𝑥3+18⁢𝑥2−6⁢𝑥+2 $n (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x + 2$

Viðbótardæmi

41.

Graf fallsins $f$ er sýnt á mynd 18.

Graf fallsins f(x) á grafreiknivél. — **Mynd 18.** Mynd 18

Hvert af eftirfarandi lýsir punktinum $(1.333, 5.185)$ samkvæmt skjámynd reiknivélarinnar?

ⓐ afstætt (staðbundið) hágildi fallsins
ⓑ hvirfilpunktur fallsins
ⓓ núllstöð fallsins

42.

Látum $f (x) = \frac{1}{x} .$ Finnið tölu $c$ þannig að meðalbreytingarhraði fallsins $f$ á bilinu $(1, c)$ sé $- \frac{1}{4} .$

43.

Látum $f (x) = \frac{1}{x}$ . Finnið töluna $b$ þannig að meðalbreytingarhraði fallsins $f$ á bilinu $(2, b)$ sé $- \frac{1}{10} .$

Notkun í raunverulegum aðstæðum

44.

Í upphafi ferðar sýndi vegalengdarmælir bíls 21,395. Í lok ferðarinnar, 13.5 klukkustundum síðar, sýndi hann 22,125. Gerið ráð fyrir að kvarði mælisins sé í mílum. Hver var meðalhraði bílsins í ferðinni?

45.

Ökumaður stöðvaði á bensínstöð til að fylla eldsneytisgeyminn. Hann leit á úrið sitt og klukkan var nákvæmlega 3:40 síðdegis. Þá byrjaði hann að dæla bensíni í geyminn. Nákvæmlega klukkan 3:44 var geymirinn fullur og ökumaðurinn sá að hann hafði dælt 10.7 gallonum. Hver var meðalrennslishraði bensínsins inn í geyminn?

46.

Nálægt yfirborði tunglsins er fallvegalengd hlutar fall af tíma. Hún er gefin með $d (t) = 2.6667 t^{2},$ þar sem $t$ er mælt í sekúndum og $d (t)$ í fetum. Hlutur er látinn falla úr tiltekinni hæð. Finnið meðalhraða hans frá $t = 1$ til $t = 2.$

47.

Grafið á mynd 19 sýnir hrörnun geislavirks efnis yfir $t$ daga.

Notið grafið til að áætla meðalhrörnunarhraðann frá $t = 5$ til $t = 15.$

Neðanmálsgreinar

5http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/showtext.cfm?t=ptb0524. Sótt 5.3.2014.