11 Föll

1.2 Skilgreiningarmengi og myndmengi

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Finna skilgreiningarmengi falls sem er gefið með jöfnu.
Teikna gröf hlutskilgreindra falla.

Hryllings- og spennumyndir njóta mikilla vinsælda og skila oft mjög miklum hagnaði. Þegar dýrir leikarar, tökustaðir og tæknibrellur koma við sögu þurfa kvikmyndaverin þó að reiða sig á enn meiri aðsókn til að myndirnar skili árangri. Skoðum fimm stórar spennu- og hryllingsmyndir frá fyrstu árum 21. aldar — I Am Legend, Hannibal, The Ring, The Grudge og The Conjuring. Mynd 1 sýnir tekjur hverrar myndar í dölum þegar hún kom út, ásamt heildarmiðasölu hryllingsmynda eftir árum. Athugið að við getum notað gögnin til að skilgreina fall fyrir tekjur hverrar myndar eða heildarmiðasölu allra hryllingsmynda á hverju ári. Þegar við skilgreinum ólík föll út frá gögnunum getum við valið mismunandi óháðar og háðar breytur og greint gögnin og föllin til að ákvarða skilgreiningarmengi og myndmengi. Í þessum hluta kynnumst við aðferðum til að ákvarða skilgreiningarmengi og myndmengi slíkra falla.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fimm tekjuhæstu hryllingsmyndir áranna 2000–2003 og hið síðara markaðshlutdeild hryllingsmynda eftir árum. — **Mynd 1.** Byggt á gögnum frá www.the-numbers.com.3

Að finna skilgreiningarmengi falls sem er gefið með jöfnu

Í hlutanum „Föll og fallatáknun“ kynntumst við hugtökunum skilgreiningarmengi og myndmengi. Í þessum hluta æfum við okkur í að ákvarða skilgreiningarmengi og myndmengi tiltekinna falla. Þegar þau eru ákvörðuð þarf að hafa í huga hvað er raunhæft eða merkingarbært í dæmum úr raunveruleikanum, svo sem miðasölu og ártöl í dæminu um hryllingsmyndir hér að framan. Einnig þarf að gæta þess hvað er stærðfræðilega leyfilegt. Ef skilgreiningarmengi og myndmengi eru mengi rauntalna getum við til dæmis ekki tekið með inntaksgildi sem krefst þess að tekin sé rót af jöfnu stigi úr neikvæðri tölu. Ef fall er gefið með formúlu getum við heldur ekki tekið með inntaksgildi í skilgreiningarmenginu sem leiðir til deilingar með 0.

Við getum hugsað okkur skilgreiningarmengið sem „geymslusvæði“ fyrir „hráefni“ sem fer í „fallavél“ og myndmengið sem annað „geymslusvæði“ fyrir afurðir vélarinnar. Sjá mynd 2.

Skýringarmynd sem sýnir hvernig fall tengir tvenn vensl.

Við getum ritað skilgreiningarmengi og myndmengi með biltáknum, þar sem tölugildi innan sviga lýsa talnamengi. Hornklofi [ táknar að endapunkturinn sé meðtalinn en svigi ( táknar að endapunkturinn sé ekki meðtalinn eða að bilið sé ótakmarkað. Ef einstaklingur hefur til dæmis 100 dali til ráðstöfunar þarf að lýsa bilinu sem inniheldur tölur stærri en 0 og minni en eða jafnar 100 og rita $(0, 100] .$ Nánar verður fjallað um biltákn síðar.

Beinum nú athyglinni að því að finna skilgreiningarmengi falls þegar jafna þess er gefin. Oft þarf að hafa þrennt í huga. Í fyrsta lagi, ef formúla fallsins hefur engan nefnara eða inniheldur rót af oddnu stigi, skal kanna hvort skilgreiningarmengið geti verið mengi allra rauntalna. Í öðru lagi, ef jafna fallsins hefur nefnara, skal útiloka úr skilgreiningarmenginu þau gildi sem gera nefnarann jafnan núlli. Í þriðja lagi, ef rót af jöfnu stigi kemur fyrir, skal kanna hvort útiloka þurfi gildi sem gera rótarstofninn neikvæðan.

Áður en við byrjum skulum við rifja upp venjur um biltákn:

Minna mark bilsins er ritað á undan.
Stærra mark bilsins er ritað á eftir, aðgreint með kommu.
Svigar, ( eða ), tákna að endapunktur sé ekki meðtalinn, það er að hann sé undanskilinn.
Hornklofar, [ eða ], tákna að endapunktur sé meðtalinn.

Sjá mynd 3 til að fá samantekt á notkun biltákna.

Dæmi 1

Að finna skilgreiningarmengi falls sem mengi raðtvennda

Finnið skilgreiningarmengi eftirfarandi falls: ${(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}$ .

Lausn

Finnið fyrst inntaksgildin. Inntaksgildið er fyrra hnitið í raðtvennd. Engar takmarkanir eru fyrir hendi því raðtvenndirnar eru einfaldlega taldar upp. Skilgreiningarmengið er mengi fyrri hnita raðtvenndanna.

{2, 3, 4, 5, 6}

Dæmi 2

Að finna skilgreiningarmengi falls

Finnið skilgreiningarmengi fallsins $f (x) = x^{2} - 1.$

Lausn

Inntaksgildið, sem breytan $x$ táknar í jöfnunni, er hafið í annað veldi og síðan er einn dreginn frá niðurstöðunni. Hægt er að hefja hvaða rauntölu sem er í annað veldi og draga síðan einn frá, svo engar takmarkanir eru á skilgreiningarmengi fallsins. Skilgreiningarmengið er mengi rauntalna.

Með biltáknum er skilgreiningarmengi $f$ ritað $(- \infty, \infty) .$

Dæmi 3

Að finna skilgreiningarmengi falls með nefnara

Finnið skilgreiningarmengi fallsins $f (x) = \frac{x + 1}{2 - x} .$

Lausn

Þegar nefnari kemur fyrir tökum við aðeins með þau inntaksgildi sem gera nefnarann ekki jafnan núlli. Við setjum því nefnarann jafnan 0 og leysum með tilliti til $x .$

\begin{array}{l} 2 - x = 0 \\ - x = - 2 \\ x = 2 \end{array}

Nú útilokum við 2 úr skilgreiningarmenginu. Lausnamengið inniheldur allar rauntölur sem uppfylla $x < 2$ eða $x > 2.$ Við getum notað sammengistáknið $\cup,$ til að sameina mengin tvö. Með biltáknum ritum við lausnina $(−∞, 2) \cup (2, \infty) .$

Talnalína sem sýnir x < 2 eða x > 2, með opnum hring við 2 og biltáknunum (-∞, 2) ∪ (2, ∞). — **Mynd 4.** Talnalína með opnum endapunkti við 2.

Með biltáknum er skilgreiningarmengi $f$ ritað $(- \infty, 2) \cup (2, \infty) .$

Dæmi 4

Að finna skilgreiningarmengi falls með rót af jöfnu stigi

Finnið skilgreiningarmengi fallsins $f (x) = \sqrt{7 - x} .$

Lausn

Þegar formúlan inniheldur rót af jöfnu stigi útilokum við allar rauntölur sem gera rótarstofninn neikvæðan.

Setjum skilyrðið að rótarstofninn sé stærri en eða jafn núlli og leysum með tilliti til $x .$

\begin{array}{l} 7 - x \geq 0 \\ - x \geq - 7 \\ x \leq 7 \end{array}

Nú útilokum við allar tölur stærri en 7 úr skilgreiningarmenginu. Lausnamengið inniheldur allar rauntölur sem eru minni en eða jafnar $7,$ eða $(- \infty, 7] .$

Táknun skilgreiningarmengis og myndmengis

Í fyrri dæmum notuðum við ójöfnur og upptalningar til að lýsa skilgreiningarmengi falla. Við getum einnig notað ójöfnur eða aðrar fullyrðingar sem skilgreina mengi gilda eða gagna til að lýsa hegðun breytu með skilyrðisrithætti mengja. Til dæmis lýsir ${x | 10 \leq x < 30}$ hegðun $x$ með skilyrðisrithætti. Slaufusvigarnir ${}$ eru lesnir „mengi allra“ og lóðrétta strikið | er lesið „þannig að“. Við lesum því ${x | 10 \leq x < 30}$ sem „mengi allra x-gilda þannig að 10 er minna en eða jafnt $x,$ og $x$ er minna en 30“.

Mynd 5 ber saman ójöfnutáknun, skilyrðisrithátt mengja og biltákn.

Samantekt á ójöfnutáknun, skilyrðisrithætti mengja og biltáknum.

Til að sameina tvö bil með ójöfnum eða skilyrðisrithætti mengja notum við orðið „eða“. Eins og í fyrri dæmum notum við sammengistáknið $\cup,$ til að sameina tvö aðskilin bil. Sammengi mengjanna ${2, 3, 5}$ og ${4, 6}$ er til dæmis mengið ${2, 3, 4, 5, 6} .$ Það inniheldur öll stök sem tilheyra öðru upphafsmenginu eða hinu, eða báðum. Í endanlegum mengjum sem þessum þarf ekki að telja stökin upp í vaxandi töluröð. Ef upphafsmengin eiga einhver stök sameiginleg eru þau aðeins skráð einu sinni í sammenginu. Annað dæmi um sammengi rauntalnabila er

x x 3 = (- - 33)

Dæmi 5

Lýsing mengja á rauntalnalínu

Lýsið bilunum sem sýnd eru á mynd 6 með ójöfnum, skilyrðisrithætti mengja og biltáknum.

Mynd 6. Tvö bil sýnd á talnalínu.

Lausn

Gildunum $x,$ sem eru í bilunum á myndinni, má lýsa þannig: „ $x$ er rauntala sem er stærri en eða jöfn 1 og minni en eða jöfn 3 eða rauntala sem er stærri en 5.“

Ójafna	1 ≤ x ≤ 3 eða x > 5
Skilyrðisritháttur mengja	{ x \| 1 ≤ x ≤ 3 eða x > 5 }
Biltákn	[ 1 , 3 ] ∪ ( 5 , ∞ )

Munið að hornklofi í biltáknum merkir að endapunkturinn sé með í menginu en svigi að hann sé ekki með.

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi af grafi

Önnur leið til að ákvarða skilgreiningarmengi og myndmengi falla er að nota gröf. Þar sem skilgreiningarmengið er mengi mögulegra inntaksgilda samanstendur skilgreiningarmengi grafs af öllum inntaksgildunum sem sýnd eru á x-ásnum. Myndmengið er mengi mögulegra úttaksgilda sem sýnd eru á y-ásnum. Hafið í huga að ef grafið heldur áfram út fyrir þann hluta sem sést geta skilgreiningarmengið og myndmengið náð út fyrir sýnilegu gildin. Sjá mynd 8.

Graf margliðu þar sem x-ásinn sýnir skilgreiningarmengið og y-ásinn myndmengið.

Við sjáum að grafið nær lárétt frá $−5$ og ótakmarkað til hægri, svo skilgreiningarmengið er $[−5, \infty) .$ Lóðrétt nær grafið yfir öll gildi myndmengisins sem eru $5$ eða minni, svo myndmengið er $(−∞, 5] .$ Athugið að skilgreiningarmengi og myndmengi eru alltaf rituð frá minni gildum til stærri: frá vinstri til hægri fyrir skilgreiningarmengi og neðan frá og upp fyrir myndmengi.

Dæmi 6

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi af grafi

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins $f$ sem grafið á mynd 9 sýnir.

Graf falls á bilinu (-3, 1]. — **Mynd 9.** Graf falls með opnum og lokuðum endapunkti.

Lausn

Við sjáum að grafið nær lárétt frá –3 til 1, svo skilgreiningarmengi $f$ er $(- 3, 1] .$

Grafið nær lóðrétt frá 0 niður í –4, svo myndmengið er $[- 4, 0] .$ Sjá mynd 10.

Graf fallsins hér að framan með skilgreiningarmengi og myndmengi auðkennd. — **Mynd 10.** Skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins auðkennd á ásunum.

Dæmi 7

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi af grafi olíuframleiðslu

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins $f$ sem grafið á mynd 11 sýnir.

Graf af hráolíuframleiðslu í Alaska. Y-ásinn sýnir þúsundir tunna á dag og x-ásinn ártöl. — **Mynd 11.** (heimild: breytt verk frá Orkuupplýsingastofnun Bandaríkjanna)₄

Lausn

Inntaksstærðin á lárétta ásnum er ártal, sem við táknum með breytunni $t$ fyrir tíma. Úttaksstærðin er þúsundir olíutunna á dag, sem við táknum með breytunni $b$ fyrir tunnur. Grafið kann að halda áfram til vinstri og hægri út fyrir sýnilega hlutann, en út frá honum getum við ákvarðað skilgreiningarmengið sem $1973 \leq t \leq 2008$ og myndmengið sem um það bil $180 \leq b \leq 2010.$

Með biltáknum er skilgreiningarmengið [1973, 2008] og myndmengið um það bil [180, 2010]. Við nálgum minnstu og stærstu gildi beggja mengja því þau falla ekki nákvæmlega á hnitalínurnar.

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi grunnfallanna

Nú snúum við aftur að grunnföllunum og ákvörðum skilgreiningarmengi og myndmengi hvers þeirra.

Fastafallið f(x)=c. — **Mynd 13.** Fyrir **fastafallið** $f (x) = c,$ er skilgreiningarmengið mengi allra rauntalna og engar takmarkanir eru á inntakinu. Eina úttaksgildið er fastinn $c,$ svo myndmengið er mengið ${c}$ sem inniheldur þetta eina stak. Með biltáknum er það ritað $[c, c],$ bil sem bæði hefst og endar í $c .$

Samsemdarfallið f(x)=x. — **Mynd 14.** Í **samsemdarfallinu** $f (x) = x,$ eru engar takmarkanir á $x .$ Bæði skilgreiningarmengið og myndmengið eru mengi allra rauntalna.

Tölugildisfallið f(x)=|x|. — **Mynd 15.** Í **tölugildisfallinu** $f (x) = | x |,$ eru engar takmarkanir á $x .$ Þar sem tölugildi er skilgreint sem fjarlægð frá 0 getur úttaksgildið hins vegar aðeins verið stærra en eða jafnt 0.

Annars stigs fallið f(x)=x^2. — **Mynd 16.** Fyrir **annars stigs fallið** $f (x) = x^{2},$ er skilgreiningarmengið mengi allra rauntalna því grafið nær lárétt yfir alla rauntalnalínuna. Þar sem grafið hefur engin neikvæð gildi í myndmenginu er myndmengið mengi óneikvæðra rauntalna.

Þriðja stigs fallið f(x)=x^3. — **Mynd 17.** Fyrir **þriðja stigs fallið** $f (x) = x^{3},$ er skilgreiningarmengið mengi allra rauntalna því grafið nær lárétt yfir alla rauntalnalínuna. Hið sama gildir lóðrétt um grafið, svo bæði skilgreiningarmengið og myndmengið innihalda allar rauntölur.

Umhverfufallið f(x)=1/x. — **Mynd 18.** Fyrir **umhverfufallið** $f (x) = \frac{1}{x},$ getum við ekki deilt með 0 og verðum því að útiloka 0 úr skilgreiningarmenginu. Deiling tölunnar 1 með hvaða gildi sem er getur heldur aldrei gefið 0 og því inniheldur myndmengið ekki 0. Með skilyrðisrithætti má einnig rita ${x | x \neq 0},$ mengi allra rauntalna annarra en núlls.

Fallið f(x)=1/x^2 með kvaðreraðan nefnara. — **Mynd 19.** Í **fallinu með kvaðreraðan nefnara** $f (x) = \frac{1}{x^{2}},$ getum við ekki deilt með $0,$ svo útiloka verður $0$ úr skilgreiningarmenginu. Ekkert gildi $x$ gefur heldur úttaksgildið 0, svo 0 er einnig útilokað úr myndmenginu. Athugið að úttaksgildi fallsins eru alltaf jákvæð vegna annars veldisins í nefnaranum og því inniheldur myndmengið aðeins jákvæðar tölur.

Kvaðratrótarfallið f(x)=sqrt(x). — **Mynd 20.** Í **kvaðratrótarfallinu** $f (x) = \sqrt[]{x},$ getum við ekki tekið kvaðratrót af neikvæðri rauntölu, svo skilgreiningarmengið er mengi allra óneikvæðra rauntalna. Myndmengið útilokar einnig neikvæðar tölur því kvaðratrót jákvæðrar tölu $x$ er samkvæmt skilgreiningu jákvæð, þótt neikvæða talan $- \sqrt{x}$ í öðru veldi gefi einnig $x .$

Teningsrótarfallið f(x)=x^(1/3). — **Mynd 21.** Í **teningsrótarfallinu** $f (x) = \sqrt[3]{x},$ innihalda skilgreiningarmengið og myndmengið allar rauntölur. Athugið að ekkert kemur í veg fyrir að tekin sé teningsrót, eða önnur rót af oddnu heiltölustigi, af neikvæðri tölu; úttaksgildið verður þá neikvætt (fallið er oddstætt).

Dæmi 8

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi með grunnföllum

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi $f (x) = 2 x^{3} - x .$

Lausn

Engar takmarkanir eru á skilgreiningarmenginu því hægt er að hefja hvaða rauntölu sem er í þriðja veldi og draga hana síðan frá niðurstöðunni.

Skilgreiningarmengið er $(- \infty, \infty)$ og myndmengið er einnig $(- \infty, \infty) .$

Dæmi 9

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi $f (x) = \frac{2}{x + 1} .$

Lausn

Við getum ekki reiknað gildi fallsins í $−1$ því deiling með núlli er óskilgreind. Skilgreiningarmengið er $(- \infty, −1) \cup (−1, \infty) .$ Þar sem fallið verður aldrei núll útilokum við 0 úr myndmenginu. Myndmengið er $(- \infty, 0) \cup (0, \infty) .$

Dæmi 10

Að finna skilgreiningarmengi og myndmengi

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi $f (x) = 2 \sqrt{x + 4} .$

Lausn

Við getum ekki tekið kvaðratrót af neikvæðri tölu og því verður stærðin undir rótarmerkinu að vera óneikvæð.

x + 4 \geq 0 þegar x \geq - 4

Skilgreiningarmengi $f (x)$ er $[- 4, \infty) .$

Því næst finnum við myndmengið. Við vitum að $f (- 4) = 0,$ og að fallgildið vex án efri marka þegar $x$ vex. Við ályktum að myndmengi $f$ sé $[0, \infty) .$

Greining

Mynd 22 sýnir fallið $f .$

Graf kvaðratrótarfalls með endapunkt í (-4, 0). — **Mynd 22.** Graf rótarfalls með endapunkti á x-ásnum.

Að teikna gröf hlutskilgreindra falla

Stundum þarf fleiri en eina formúlu til að fá úttaksgildi falls. Meðal grunnfallanna kynntum við til dæmis tölugildisfallið $f (x) = | x | .$ Skilgreiningarmengi þess er mengi allra rauntalna og myndmengið er mengi allra gilda sem eru stærri en eða jöfn 0. Tölugildi má skilgreina sem stærð rauntölu án tillits til formerkis, með öðrum orðum fjarlægð hennar frá 0 á talnalínunni. Allar þessar skilgreiningar krefjast þess að úttaksgildið sé stærra en eða jafnt 0.

Ef inntaksgildið er 0 eða jákvætt er úttaksgildið jafnt inntaksgildinu.

f (x) = xefx 0

Ef inntaksgildið er neikvætt er úttaksgildið móttala inntaksgildisins.

f (x) = - xefx 0

Þar sem hér þarf tvö ólík ferli, eða tvo hluta, er tölugildisfallið dæmi um hlutskilgreint fall. Hlutskilgreint fall er fall þar sem fleiri en ein formúla er notuð til að skilgreina úttaksgildi á ólíkum hlutum skilgreiningarmengisins.

Við notum hlutskilgreind föll til að lýsa aðstæðum þar sem regla eða vensl breytast þegar inntaksgildið fer yfir tiltekin mörk. Í viðskiptum kemur til dæmis oft fyrir að stykkjaverð vöru lækki þegar pantað magn fer yfir ákveðið gildi. Skattþrep eru annað raunhæft dæmi um hlutskilgreind föll. Skoðum einfalt skattkerfi þar sem 10% skattur er lagður á tekjur að 10.000 dölum en 20% á allar tekjur umfram þá fjárhæð. Skattur af heildartekjum $S$ væri $0.1 S$ ef $S \leq $ 10, 000$ og $$ 1000 + 0.2 (S - $ 10, 000)$ ef $S > $ 10, 000.$

Dæmi 11

Að rita hlutskilgreint fall

Safn tekur 5 dali á mann fyrir leiðsögn um safnið þegar hópurinn telur 1 til 9 manns, en fast gjald að fjárhæð 50 dala fyrir hóp með 10 manns eða fleiri. Ritið fall sem tengir fjölda fólks, $n,$ við kostnaðinn, $C .$ Þar sem fjöldi fólks getur ekki verið brot er þetta í raun strjált fall. Í þessu verkefni lítum við þó á það sem samfellt fall.

Lausn

Nota þarf tvær ólíkar formúlur. Fyrir gildi n sem eru minni en 10 er $C = 5 n .$ Fyrir gildi $n$ sem eru 10 eða stærri er $C = 50.$

C (n) = {\begin{matrix} 5 n & ef & 0 < n < 10 \\ 50 & ef & n \geq 10 \end{matrix}

Greining

Fallið er sýnt á mynd 23. Grafið er skálína frá $n = 0$ að $n = 10$ en lárétt eftir það. Í þessu dæmi gefa formúlurnar tvær sama gildi í punktinum þar sem hlutarnir mætast, $n = 10,$ en það á ekki við um öll hlutskilgreind föll.

Graf C(n). — **Mynd 23.** Graf hlutaskipta fallsins C(n).

Dæmi 12

Vinna með hlutskilgreint fall

Farsímafyrirtæki notar fallið hér á eftir til að ákvarða kostnaðinn, $C,$ í dölum við flutning á $g$ gígabætum gagna.

C (g) = {\begin{matrix} 25 & ef & 0 < g < 2 \\ 25 + 10 (g - 2) & ef & g \geq 2 \end{matrix}

Finnið kostnaðinn við að nota 1,5 gígabæti gagna og kostnaðinn við að nota 4 gígabæti.

Lausn

Til að finna kostnaðinn við að nota 1,5 gígabæti gagna, $C (1.5),$ athugum við fyrst í hvaða hluta skilgreiningarmengisins inntaksgildið liggur. Þar sem 1,5 er minna en 2 notum við fyrri formúluna.

C (1.5) = 25 C (1.5) = 25

Til að finna kostnaðinn við að nota 4 gígabæti gagna, $C (4),$ sjáum við að inntaksgildið 4 er stærra en 2 og notum því síðari formúluna.

C (4) = 25 + 10 (4 - 2) = 45 C (4) = 25 + 10 (4 - 2) = 45

Greining

Fallið er sýnt á mynd 24. Við sjáum hvar fallið breytist úr fastafalli í hliðrað og teygt samsemdarfall við $g = 2.$ Við teiknum gröf ólíku formúlnanna í sama hnitakerfi og gætum þess að hver formúla gildi á réttu skilgreiningarmengi.

Graf sem sýnir C(g) sem fall af g. Fallið er fast og jafnt 25 frá g = 0 til g = 2 en vex síðan línulega í 45 við g = 4. Grafið er teiknað með blárri línu á hnitaneti. — **Mynd 24.** Graf hlutaskipta fallsins C(g).

Dæmi 13

Að teikna graf hlutskilgreinds falls

Teiknið skissu af grafi fallsins.

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & ef & x \leq 1 \\ 3 & ef & 1 < x \leq 2 \\ x & ef & x > 2 \end{matrix}

Lausn

Hvert hlutafall er eitt grunnfallanna og því þekkjum við lögun þess. Við getum hugsað okkur að teikna hvert graf og takmarka það síðan við tilgreint skilgreiningarmengi. Við endapunkta bilsins teiknum við opna hringi þegar endapunkturinn er ekki með vegna ójöfnu með < eða >, en fylltan hring þegar endapunkturinn er með vegna ójöfnu með ≤ eða ≥.

Mynd 25 sýnir þrjú hlutaföll hlutskilgreinda fallsins, hvert í sínu hnitakerfi.

Graf hvers hluta hlutskilgreinda fallsins f(x). — **Mynd 25.** (a) f ⁡ ( x ) = x 2 ef x ≤ 1 ; (b) f ⁡ ( x ) = 3 ef 1< x ≤ 2 ; (c) f ⁡ ( x ) = x ef x > 2

Nú þegar við höfum teiknað hvern hluta fyrir sig sameinum við þá í sama hnitakerfi. Sjá mynd 26.

Graf alls fallsins. — **Mynd 26.** Graf hlutaskipts falls með þremur hlutum.

Greining

Athugið að grafið stenst lóðrétta línuprófið, jafnvel við $x = 1$ og $x = 2$ , því punktarnir $(1, 3)$ og $(2, 2)$ tilheyra ekki grafi fallsins en punktarnir $(1, 1)$ og $(2, 3)$ gera það.

Verkefni hluta 1.2

Hugtakaspurningar

Hvers vegna er skilgreiningarmengið ólíkt eftir föllum?

Hvernig ákvarðum við skilgreiningarmengi falls sem er gefið með jöfnu?

Útskýrið hvers vegna skilgreiningarmengi $f (x) = \sqrt[3]{x}$ er annað en skilgreiningarmengi $f (x) = \sqrt[]{x} .$

Hvenær eru notaðir svigar og hvenær hornklofar þegar talnamengjum er lýst með biltáknum?

Hvernig er graf hlutskilgreinds falls teiknað?

Algebruverkefni

Finnið skilgreiningarmengi hvers falls í eftirfarandi verkefnum og ritið það með biltáknum.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x - 2)$

$f (x) = 5 - 2 x^{2}$

$f (x) = 3 \sqrt{x - 2}$

$f (x) = 3 - \sqrt{6 - 2 x}$

10.

$f (x) = \sqrt{4 - 3 x}$

11.

$\begin{array}{l} f (x) = \sqrt[]{x^{2} + 4} \end{array}$

12.

$f (x) = \sqrt[3]{1 - 2 x}$

13.

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

14.

$f (x) = \frac{9}{x - 6}$

15.

$f (x) = \frac{3 x + 1}{4 x + 2}$

16.

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 4}$

17.

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} + 9 x - 22}$

18.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - x - 6}$

19.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 250}{x^{2} - 2 x - 15}$

20.

$f (x) = \frac{5}{\sqrt{x - 3}}$

21.

$f (x) = \frac{2 x + 1}{\sqrt{5 - x}}$

22.

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x - 6}}$

23.

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{x - 4}}$

24.

$f (x) = \frac{x}{x}$

25.

$f (x) = \frac{x^{2} - 9 x}{x^{2} - 81}$

26.

Finnið skilgreiningarmengi fallsins $f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 50 x}$ með því að:

ⓐ nota algebru.
ⓑ teikna graf fallsins í rótarstofninum og finna bilin á x-ásnum þar sem rótarstofninn er óneikvæður.

Grafverkefni

Ritið skilgreiningarmengi og myndmengi hvers falls í eftirfarandi verkefnum með biltáknum.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

Graf falls á bilunum [-6, -1/6] ∪ [1/6, 6].

36.

37.

Teiknið skissu af grafi hlutskilgreinda fallsins í eftirfarandi verkefnum. Ritið skilgreiningarmengið með biltáknum.

38.

$f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 & ef & x < - 2 \\ - 2 x - 3 & ef & x \geq - 2 \end{array}$

39.

$f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 1 & ef & x < 1 \\ 1 + x & ef & x \geq 1 \end{array}$

40.

$f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ef x < 0 \\ x - 1 ef x > 0 \end{matrix}$

41.

$f (x) = {\begin{matrix} 3 & ef & x < 0 \\ \sqrt{x} & ef & x \geq 0 \end{matrix}$

42.

$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ef x < 0 \\ 1 - x ef x > 0 \end{matrix}$

43.

$f (x) = {\begin{array}{r} \begin{array}{r} x^{2} \\ x + 2 \end{array} \end{array} \begin{array}{l} ef x < 0 \\ ef x \geq 0 \end{array}$

44.

$f (x) = {\begin{matrix} x + 1 & ef & x < 1 \\ x^{3} & ef & x \geq 1 \end{matrix}$

45.

$f (x) = {\begin{matrix} | x | \\ 1 \end{matrix} \begin{array}{l} ef x < 2 \\ ef x \geq 2 \end{array}$

Töluverkefni

Reiknið fyrir hvert gefið fall $f,$ gildin $f (−3), f (−2), f (−1),$ og $f (0) .$

46.

$f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 & ef & x < - 2 \\ - 2 x - 3 & ef & x \geq - 2 \end{array}$

47.

$f (x) = {\begin{matrix} 1 & ef x \leq - 3 \\ 0 & ef x > - 3 \end{matrix}$

48.

$f (x) = {\begin{matrix} - 2 x^{2} + 3 & ef x \leq - 1 \\ 5 x - 7 & ef x > - 1 \end{matrix}$

Reiknið fyrir hvert gefið fall $f,$ gildin $f (−1), f (0), f (2),$ og $f (4) .$

49.

$f (x) = {\begin{array}{l} 7 x + 3 & ef & x < 0 \\ 7 x + 6 & ef & x \geq 0 \end{array}$

50.

$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 & ef & x < 2 \\ 4 + | x - 5 | & ef & x \geq 2 \end{matrix}$

51.

$f (x) = {\begin{matrix} 5 x & ef & x < 0 \\ 3 & ef & 0 \leq x \leq 3 \\ x^{2} & ef & x > 3 \end{matrix}$

Ritið skilgreiningarmengi hlutskilgreinda fallsins í hverju eftirfarandi verkefna með biltáknum.

52.

$f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ef x < - 2 \\ - 2 x - 3 ef x \geq - 2 \end{matrix}$

53.

$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 ef x < 1 \\ - x^{2} + 2 ef x > 1 \end{matrix}$

54.

$f (x) = {\begin{matrix} 2 x - 3 \\ - 3 x^{2} \end{matrix} \begin{matrix} ef x < 0 \\ ef x \geq 2 \end{matrix}$

Tækniverkefni

55.

Teiknið graf $y = \frac{1}{x^{2}}$ í skoðunarglugganum $[−0.5, −0.1]$ og $[0.1, 0.5] .$ Ákvarðið samsvarandi myndmengi í skoðunarglugganum. Sýnið gröfin.

56.

Teiknið graf $y = \frac{1}{x}$ í skoðunarglugganum $[−0.5, −0.1]$ og $[0.1, 0.5] .$ Ákvarðið samsvarandi myndmengi í skoðunarglugganum. Sýnið gröfin.

Viðbótarverkefni

57.

Gerum ráð fyrir að myndmengi falls $f$ sé $[−5, 8] .$ Hvert er myndmengi $| f (x) | ?$

58.

Búið til fall sem hefur allar óneikvæðar rauntölur sem myndmengi.

59.

Búið til fall með skilgreiningarmengið $x > 2.$

Raunhæf viðfangsefni

60.

Hæð skothlutar, $h$ , er fall af tímanum $t$ sem hann er á lofti. Hæðin í fetum eftir $t$ sekúndur er gefin með fallinu $h (t) = −16 t^{2} + 96 t .$ Hvert er skilgreiningarmengi fallsins? Hvað táknar skilgreiningarmengið í samhengi verkefnisins?

61.

Kostnaðurinn í dölum við að framleiða $x$ stykki er gefinn með fallinu $C (x) = 10 x + 500.$

ⓐ Fasti kostnaðurinn fæst þegar ekkert stykki er framleitt. Finnið fasta kostnaðinn við þessa vöru.
ⓑ Hver er kostnaðurinn við að framleiða 25 stykki?
ⓒ Gerum ráð fyrir að mesti leyfilegi kostnaður sé 1.500 dalir. Hver eru skilgreiningarmengi og myndmengi kostnaðarfallsins $C (x) ?$

Neðanmálsgreinar

3The Numbers: Þar sem gögn og kvikmyndaviðskipti mætast. „Tekjusaga hryllingsmynda.“ http://www.the-numbers.com/market/genre/Horror. Sótt 24.3.2014.
4http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n=PET&s=MCRFPAK2&f=A.