11.1 Runur og ritháttur þeirra

11.1 Runur og ritháttur þeirra

Ef líkanið heldur áfram að gilda, hversu margar verða heimsóknirnar í lok mánaðarins? Til að svara spurningunni þurfum við fyrst að kunna að ákvarða lista talna sem eru skrifaðar í tiltekinni röð. Í þessum hluta könnum við slíka raðaða lista.

Liðir runu sem er skilgreind á lokuðu formi skrifaðir

Ein leið til að lýsa röðuðum lista talna er sem runu. Runa er fall þar sem skilgreiningarmengið er hlutmengi náttúrlegu talnanna. Runan sem fjöldi heimsókna á vefinn myndar er

Úrfellingarpunktarnir (…) tákna að runan haldi áfram endalaust. Hver tala í rununni kallast liður. Fyrstu fimm liðir þessarar runu eru 2, 4, 8, 16 og 32.

Það getur verið fyrirhafnarsamt að telja upp alla liði runu. Til að finna fjölda heimsókna á vefinn í lok mánaðar þyrfti til dæmis að telja upp allt að 31 liði. Skilvirkara er að ákvarða tiltekinn lið með því að skrifa formúlu sem skilgreinir rununa.

Að lokum getum við skrifað þessa tilteknu runu sem

Dæmi 1

Liðir runu sem er skilgreind á lokuðu formi skrifaðir

Skrifið fyrstu fimm liði rununnar sem er skilgreind með lokaða forminu $a_n=-3n+8.$

Lausn

Setjið $n=1$ inn í formúluna. Endurtakið með gildunum 2 til 5 fyrir $n.$

$$\begin{array}{llllll}n=1\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_1=-3(1)+8=5\hfill \\ n=2\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_2=-3(2)+8=2\hfill \\ n=3\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_3=-3(3)+8=-1\hfill \\ n=4\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_4=-3(4)+8=-4\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_5=-3(5)+8=-7\hfill \end{array}$$

The first five terms are {5,2,−1,−4,−7}.$\left\{5,2,\mathrm{-1},\mathrm{-4},\mathrm{-7}\right\}.$

Greining

Skrá má gildi rununnar í töflu. Tafla á borð við töflu 3 er hentug leið til að setja fallið inn í grafteikniforrit.

𝑛 n	1	2	3	4	5
𝑎 𝑛 a n	5	2	–1	–4	–7

Teikna má graf út frá þessari gildistöflu. Af grafinu á mynd 2 sést að runan táknar línulegt fall, en takið eftir að grafið er ekki samfellt þar sem skilgreiningarmengið nær aðeins yfir jákvæðu heiltölurnar.

Víxlrunur rannsakaðar

Takið eftir að fyrsti liðurinn er stærri en annar liðurinn, annar liðurinn er minni en þriðji liðurinn og þriðji liðurinn er stærri en fjórði liðurinn. Þetta mynstur heldur áfram endalaust. Ekki skal endurraða liðunum í tölulega röð þegar runan er túlkuð.

Dæmi 2

Liðir víxlrunu sem er skilgreind á lokuðu formi skrifaðir

Skrifið fyrstu fimm liði rununnar.

$$a_n=\frac{{(-1)}^n{n}^2}{n+1}$$

Lausn

Setjið $n=1,$ $n=2,$ og svo framvegis inn í formúluna.

$$\begin{array}{lll}n=1\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_1=\frac{{(-1)}^1{1}^2}{1+1}=-\frac{1}{2}\hfill \\ n=2\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_2=\frac{{(-1)}^2{2}^2}{2+1}=\frac{4}{3}\hfill \\ n=3\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_3=\frac{{(-1)}^3{3}^2}{3+1}=-\frac{9}{4}\hfill \\ n=4\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_4=\frac{{(-1)}^4{4}^2}{4+1}=\frac{16}{5}\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & a_5=\frac{{(-1)}^5{5}^2}{5+1}=-\frac{25}{6}\hfill \end{array}$$

The first five terms are {−12,43,−94,165,−256}.$\left\{-\frac{1}{2},\frac{4}{3},-\frac{9}{4},\frac{16}{5},-\frac{25}{6}\right\}.$

Greining

Graf fallsins, sem sýnt er á mynd 3, er ólíkt gröfunum sem við höfum áður séð í þessum hluta þar sem liðir rununnar víxlast milli jákvæðra og neikvæðra gilda.

Lokuð form hlutskilgreindra falla rannsökuð

Við höfum lært að runur eru föll þar sem skilgreiningarmengið nær yfir jákvæðu heiltölurnar. Þetta gildir einnig um aðrar gerðir falla, þar á meðal sum hlutskilgreind föll. Rifjum upp að hlutskilgreint fall er fall sem er skilgreint með nokkrum hlutformúlum. Mismunandi formúla getur lýst hverjum einstökum hluta.

Dæmi 3

Liðir runu sem er skilgreind með lokuðu formi hlutskilgreinds falls skrifaðir

Skrifið fyrstu sex liði rununnar.

$$a_n=\{\begin{array}{ll}{n}^2\hfill & \text{if }n\text{er ekki deilanleg með 3}\hfill \\ \frac{n}{3}\hfill & \text{if }n\text{er deilanleg með 3}\hfill \end{array}$$

Lausn

Setjið $n=1,n=2,$ og svo framvegis inn í viðeigandi formúlu. Notið $n^2$ þegar $n$ er ekki margfeldi af 3. Notið $\frac{n}{3}$ þegar $n$ er margfeldi af 3.

$$\begin{array}{ll}{a}_1=1^2=1\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{1 er ekki margfeldi af 3}\text{. Use }{n}^2.\hfill \\ a_2=2^2=4\hfill & \text{2 er ekki margfeldi af 3}\text{. Use }{n}^2.\hfill \\ a_3=\frac{3}{3}=1\hfill & \text{3 er margfeldi af 3}\text{. Use }\frac{n}{3}.\hfill \\ a_4=4^2=16\hfill & \text{4 er ekki margfeldi af 3}\text{. Use }{n}^2.\hfill \\ a_5=5^2=25\hfill & \text{5 er ekki margfeldi af 3}\text{. Use }{n}^2.\hfill \\ a_6=\frac{6}{3}=2\hfill & \text{6 er margfeldi af 3}\text{. Use }\frac{n}{3}.\hfill \end{array}$$

The first six terms are {1,4,1,16,25,2}.$\left\{1,4,1,16,25,2\right\}.$

Greining

Þriðji hver punktur á grafinu á mynd 4 sker sig úr frá punktunum tveimur næst honum. Ástæðan er sú að runan var skilgreind með hlutskilgreindu falli.

Lokað form fundið

Liðir runu sem er skilgreind með rakningarformúlu skrifaðir

Runur koma náttúrulega fyrir í vaxtarmynstrum kuðunga nautilus-smokkfisks, köngla, trjágreina og margra annarra náttúrulegra forma. Rununa má sjá í uppröðun laufblaða eða greina, fjölda krónublaða blóms eða mynstri hólfa í kuðungi nautilus-smokkfisks. Vöxturinn fylgir Fibonacci-rununni, frægri runu þar sem hver liður fæst með því að leggja saman tvo næstu liði á undan. Tölurnar í rununni eru 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Önnur dæmi úr náttúrunni sem sýna Fibonacci-rununa eru kalla-liljan, sem hefur aðeins eitt krónublað, sólhattur með 13 krónublöð og ýmis afbrigði fagurfífla sem geta haft 21 eða 34 krónublöð.

Við getum fundið næstu liði rununnar út frá fyrsta liðnum.

Rakningarformúla Fibonacci-rununnar tilgreinir fyrstu tvo liðina og skilgreinir hvern næsta lið sem summu tveggja næstu liða á undan.

Til að finna tíunda lið rununnar þyrftum við til dæmis að leggja saman áttunda og níunda liðinn. Áður kom fram að þeir eru 21 og 34, þannig að

Dæmi 5

Liðir runu sem er skilgreind með rakningarformúlu skrifaðir

Skrifið fyrstu fimm liði rununnar sem er skilgreind með rakningarformúlunni.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ a_1=9\end{array}\hfill \\ a_n=3a_{n-1}-20\text{, for }n\ge 2\hfill \end{array}$$

Lausn

Fyrsti liðurinn er gefinn í formúlunni. Fyrir hvern næsta lið setjum við gildi liðarins á undan í stað $a_{n-1}$ .

$$\begin{array}{ll}n=1\begin{array}{lllll}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill \end{array}\hfill & a_1=9\hfill \\ n=2\hfill & a_2=3a_1-20=3(9)-20=27-20=7\hfill \\ n=3\hfill & a_3=3a_2-20=3(7)-20=21-20=1\hfill \\ n=4\hfill & a_4=3a_3-20=3(1)-20=3-20=-17\hfill \\ n=5\hfill & a_5=3a_4-20=3(-17)-20=-51-20=-71\hfill \end{array}$$

Fyrstu fimm liðirnir eru {9,7,1,–17,–71}.$\left\{9,7,1,–17,–71\right\}.$ Sjá mynd 5.

Dæmi 6

Liðir runu sem er skilgreind með rakningarformúlu skrifaðir

Skrifið fyrstu sex liði rununnar sem er skilgreind með rakningarformúlunni.

$$\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_2=2\\ a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}\text{, for }n\ge 3\end{array}$$

Lausn

Fyrstu tveir liðirnir eru gefnir. Fyrir hvern næsta lið setjum við gildi tveggja næstu liða á undan í stað $a_{n-1}$ og $a_{n-2}$ .

$$\begin{array}{lllllll}n=3\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_3=3a_2+4a_1=3(2)+4(1)=10\hfill \\ n=4\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_4=3a_3+4a_2=3(10)+4(2)=38\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_5=3a_4+4a_3=3(38)+4(10)=154\hfill \\ n=6\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_6=3a_5+4a_4=3(154)+4(38)=614\hfill \end{array}$$

Fyrstu sex liðirnir eru {1,2,10,38,154,614}.$\text{{1,2,10,38,154,614}}\text{.}$ Sjá mynd 6.

Ritháttur aðfeldis notaður

Dæmi 7

Liðir runu skrifaðir með aðfeldum

Skrifið fyrstu fimm liði rununnar sem er skilgreind með lokaða forminu $a_n=\frac{5n}{(n+2)!}.$

Lausn

Setjið $n=1,n=2,$ og svo framvegis inn í formúluna.

$$\begin{array}{lllll}n=1\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_1=\frac{5(1)}{(1+2)!}=\frac{5}{3!}=\frac{5}{3·2·1}=\frac{5}{6}\hfill \\ n=2\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_2=\frac{5(2)}{(2+2)!}=\frac{10}{4!}=\frac{10}{4·3·2·1}=\frac{5}{12}\hfill \\ n=3\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_3=\frac{5(3)}{(3+2)!}=\frac{15}{5!}=\frac{15}{5·4·3·2·1}=\frac{1}{8}\hfill \\ n=4\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_4=\frac{5(4)}{(4+2)!}=\frac{20}{6!}=\frac{20}{6·5·4·3·2·1}=\frac{1}{36}\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_5=\frac{5(5)}{(5+2)!}=\frac{25}{7!}=\frac{25}{7·6·5·4·3·2·1}=\frac{5}{1\text{,}008}\hfill \end{array}$$

The first five terms are {56,512,18,136,51,008}.$\left\{\frac{5}{6},\frac{5}{12},\frac{1}{8},\frac{1}{36},\frac{5}{\mathrm{1,008}}\right\}.$

Greining

Mynd 7 sýnir graf rununnar. Takið eftir að aðfeldi vaxa mjög hratt og því veldur aðfeldisliðurinn í nefnaranum því að nefnarinn verður miklu stærri en teljarinn þegar $n$ vex. Kvótinn minnkar því og eins og graf liðanna sýnir minnka liðirnir og nálgast núll.

11.1 Verkefni hluta

Hugtakaspurningar

1.

Ræðið merkingu runu. Hvert er skilgreiningarmengi endanlegrar runu sem er skilgreind með formúlu? En óendanlegrar runu?

2.

Lýsið þremur leiðum til að skilgreina runu.

3.

Er raðað mengi sléttra talna óendanleg runa? En raðað mengi oddatalna? Rökstyðjið svarið.

4.

Hvað verður um liði $a_n$ runu þegar formúlan inniheldur neikvæðan þátt sem er hafinn í veldi með veldisvísi sem inniheldur $n?$ Hvaða heiti er notað um þetta fyrirbæri?

5.

Hvað er aðfeldi og hvernig er það táknað? Sýnið með dæmi hvernig ritháttur aðfeldis getur verið gagnlegur.

Algebruverkefni

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa fyrstu fjóra liði rununnar.

6.

𝑎𝑛=2𝑛−2$a_n=2^n-2$

7.

𝑎𝑛=−16𝑛+1$a_n=-\frac{16}{n+1}$

8.

𝑎𝑛=−(−5)𝑛−1$a_n=-{\left(-5\right)}^{n-1}$

9.

𝑎𝑛=2𝑛𝑛3$a_n=\frac{2^n}{n^3}$

10.

𝑎𝑛=2⁢𝑛+1𝑛3$a_n=\frac{2n+1}{n^3}$

11.

𝑎𝑛=1.25⋅(−4)𝑛−1$a_n=1.25\cdot {\left(-4\right)}^{n-1}$

12.

𝑎𝑛=−4⋅(−6)𝑛−1$a_n=-4\cdot {\left(-6\right)}^{n-1}$

13.

𝑎𝑛=𝑛22⁢𝑛+1$a_n=\frac{n^2}{2n+1}$

14.

𝑎𝑛=(−10)𝑛+1$a_n={\left(-10\right)}^n+1$

15.

𝑎𝑛=−(4⋅(−5)𝑛−15)$a_n=-\left(\frac{4\cdot {(-5)}^{n-1}}{5}\right)$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa fyrstu átta liði hlutskilgreindu rununnar.

16.

𝑎𝑛={(−2)𝑛−2ef 𝑛er slétt tala(3)𝑛−1ef 𝑛er oddatala$a_n=\{\begin{array}{ll}{(-2)}^n-2\hfill & \text{if }n\text{er slétt tala}\hfill \\ {(3)}^{n-1}\hfill & \text{if }n\text{er oddatala}\hfill \end{array}$

17.

𝑎𝑛={𝑛22⁢𝑛+1ef 𝑛⁢≤5𝑛2−5ef 𝑛>5$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n^2}{2n+1}\hfill & \text{if }n\le \text{5}\hfill \\ n^2-5\hfill & \text{if }n\text{>5}\hfill \end{array}$

18.

𝑎𝑛={(2⁢𝑛+1)₂ef 𝑛er deilanleg með 42𝑛ef 𝑛er ekki deilanleg með 4$a_n=\{\begin{array}{ll}{(2n+1)}^2\hfill & \text{if }n\text{er deilanleg með 4}\hfill \\ \frac{2}{n}\hfill & \text{if }n\text{er ekki deilanleg með 4}\hfill \end{array}$

19.

𝑎𝑛={−0.6⋅5𝑛−1ef 𝑛er frumtala eða 12.5⋅(−2)𝑛−1ef 𝑛er samsett tala$a_n=\{\begin{array}{ll}-0.6\cdot 5^{n-1}\hfill & \text{if }n\text{er frumtala eða 1}\hfill \\ 2.5\cdot {(-2)}^{n-1}\hfill & \text{if }n\text{er samsett tala}\hfill \end{array}$

20.

𝑎𝑛={4⁢(𝑛2−2)ef 𝑛⁢≤3eða 𝑛> 6𝑛2−24ef 3<𝑛≤6$a_n=\{\begin{array}{ll}4(n^2-2)\hfill & \text{if }n\le 3\text{or }n\text{> 6}\hfill \\ \frac{n^2-2}{4}\hfill & \text{if }3<n\le 6\hfill \end{array}$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa lokað form fyrir hverja runu.

21.

4, 7, 12, 19, 28,…$4, 7, 12, 19, 28,\dots$

22.

−4,2,−10,14,−34,…$-4,2,-10,14,-34,\dots$

23.

1,1,43,2,165,…$1,1,\frac{4}{3},2,\frac{16}{5},\dots$

24.

0,1−𝑒11+𝑒2,1−𝑒21+𝑒3,1−𝑒31+𝑒4,1−𝑒41+𝑒5,…$0,\frac{1-e^1}{1+e^2},\frac{1-e^2}{1+e^3},\frac{1-e^3}{1+e^4},\frac{1-e^4}{1+e^5},\dots$

25.

1,−12,14,−18,116,…$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa fyrstu fimm liði rununnar.

26.

𝑎1=9,𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑛$a_1=9,a_n=a_{n-1}+n$

27.

𝑎1=3,𝑎𝑛=(−3)⁢𝑎𝑛−1$a_1=3,a_n=\left(-3\right)a_{n-1}$

28.

𝑎1=−4,𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+2⁢𝑛𝑎𝑛−1−1$a_1=-4,a_n=\frac{a_{n-1}+2n}{a_{n-1}-1}$

29.

𝑎1=−1,𝑎𝑛=(−3)𝑛−1𝑎𝑛−1−2$a_1=-1,a_n=\frac{{\left(-3\right)}^{n-1}}{a_{n-1}-2}$

30.

𝑎1=−30,𝑎𝑛=(2+𝑎𝑛−1)⁢(12)𝑛$a_1=-30,a_n=\left(2+a_{n-1}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa fyrstu átta liði rununnar.

31.

𝑎1=124,a2=1,𝑎𝑛=(2⁢𝑎𝑛−2)⁢(3⁢𝑎𝑛−1)$a_1=\frac{1}{24},{\text{a}}_2=1,a_n=\left(2a_{n-2}\right)\left(3a_{n-1}\right)$

32.

𝑎1=−1,a2=5,𝑎𝑛=𝑎𝑛−2⁢(3−𝑎𝑛−1)$a_1=-1,{\text{a}}_2=5,a_n=a_{n-2}\left(3-a_{n-1}\right)$

33.

𝑎1=2,a2=10,𝑎𝑛=2⁢(𝑎𝑛−1+2)𝑎𝑛−2$a_1=2,{\text{a}}_2=10,a_n=\frac{2\left(a_{n-1}+2\right)}{a_{n-2}}$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa rakningarformúlu fyrir hverja runu.

34.

−2.5,−5,−10,−20,−40,…$-2.5,-5,-10,-20,-40,\dots$

35.

−8,−6,−3,1,6,…$-8,-6,-3,1,6,\dots$

36.

2,4,12,48,240,…$2,4,12,48,240,\dots$

37.

35,38,41,44,47,…$35,38,41,44,47,\dots$

38.

15,3,35,325,3125,⋯$15,3,\frac{3}{5},\frac{3}{25},\frac{3}{125},\cdots$

Í eftirfarandi verkefnum skal reikna aðfeldið.

39.

6!$6!$

40.

(126)!$\left(\frac{12}{6}\right)!$

41.

12!6!$\frac{12!}{6!}$

42.

100!99!$\frac{100!}{99!}$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa fyrstu fjóra liði rununnar.

43.

𝑎𝑛=𝑛!𝑛2$a_n=\frac{n!}{n^{\text{2}}}$

44.

𝑎𝑛=3⋅𝑛!4⋅𝑛!$a_n=\frac{3\cdot n!}{4\cdot n!}$

45.

𝑎𝑛=𝑛!𝑛2−𝑛−1$a_n=\frac{n!}{n^2-n-1}$

46.

𝑎𝑛=100⋅𝑛𝑛⁢(𝑛−1)!$a_n=\frac{100\cdot n}{n(n-1)!}$

Myndræn verkefni

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna fyrstu fimm liði tilgreindrar runu.

47.

𝑎𝑛=(−1)𝑛𝑛+𝑛$a_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}+n$

48.

𝑎𝑛={4+𝑛2⁢𝑛ef 𝑛er slétt tala3+𝑛ef 𝑛er oddatala$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{4+n}{2n}\hfill & \text{if }n\text{er slétt tala}\hfill \\ 3+n\hfill & \text{if }n\text{er oddatala}\hfill \end{array}$

49.

𝑎1=2,𝑎𝑛=(−𝑎𝑛−1+1)₂$a_1=2,a_n={\left(-a_{n-1}+1\right)}^2$

50.

𝑎1=1,𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+8$a_1=1,a_n=a_{n-1}+8$

51.

𝑎𝑛=(𝑛+1)!(𝑛−1)!$a_n=\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa lokað form rununnar út frá fyrstu fimm punktunum sem sýndir eru á grafinu.

52.

53.

54.

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa rakningarformúlu rununnar út frá fyrstu fimm punktunum sem sýndir eru á grafinu.

55.

56.

Tækni

Fylgið þessum skrefum til að reikna runu sem er skilgreind með rakningarformúlu í grafreikni:

• Sláið gildi upphafsliðarins $a_1$ inn á heimaskjánum og ýtið á [ENTER] .
• Sláið rakningarformúluna inn með því að slá inn öll tölugildi sem gefin eru í formúlunni ásamt lyklunum [2ND] ANS fyrir fyrri liðinn $a_{n-1}.$ Ýtið á [ENTER] .
• Haldið áfram að ýta á [ENTER] til að reikna gildi hvers næsta liðar.

Í eftirfarandi verkefnum skal nota skrefin hér á undan til að finna tilgreindan lið eða liði rununnar.

Fylgið þessum skrefum til að reikna endanlega runu sem er skilgreind á lokuðu formi. Gerið eftirfarandi á TI-84-reiknivél.

• Ýtið á [2ND] LIST á heimaskjánum.
• Færið bendilinn yfir á OPS og veljið „seq(“ af fellilistanum. Ýtið á [ENTER] .
• Sláið lokaða formið inn í línuna sem merkt er „Expr:“ og notið hnappinn [ X , T , 𝜃 , 𝑛 ] [ X,T , θ , n $[\text{X,T},\theta ,n]$] fyrir 𝑛 n. $n$
• Sláið breytuna sem notuð var í fyrra skrefi inn í línuna sem merkt er „Variable:“
• Sláið inn gildi $n$ sem runan byrjar á í línuna sem merkt er „start:“
• Sláið inn gildi $n$ sem runan endar á í línuna sem merkt er „end:“
• Ýtið 3 sinnum á [ENTER] til að fara aftur á heimaskjáinn. Ritháttur rununnar birtist á skjánum. Ýtið á [ENTER] til að sjá lista yfir liði skilgreindu endanlegu rununnar. Notið hægri örvarlykilinn til að fletta í gegnum listann.

Gerið eftirfarandi á TI-83-reiknivél.

• Ýtið á [2ND] LIST á heimaskjánum.
• Færið bendilinn yfir á OPS og veljið „seq(“ af fellilistanum. Ýtið á [ENTER] .
• Sláið atriðin inn í röðinni „Expr“, „Variable“, „start“, „end“ og aðskiljið þau með kommum. Lýsing á hverju atriði er í leiðbeiningunum hér á undan.
• Ýtið á [ENTER] til að sjá lista yfir liði skilgreindu endanlegu rununnar. Notið hægri örvarlykilinn til að fletta í gegnum listann.

Í eftirfarandi verkefnum skal nota skrefin hér á undan til að finna tilgreinda liði rununnar. Námundið að næsta þúsundasta hluta þegar þess þarf.