1111 Runur, líkur og talningarfræði

11.6 Tvíliðusetningin

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Beita tvíliðusetningunni.

Margliða með tveimur liðum nefnist tvíliða. Við höfum þegar lært að margfalda tvíliður og hefja þær í veldi, en það getur verið seinlegt og tímafrekt að hefja tvíliðu í hátt veldi. Í þessum hluta kynnumst við styttri aðferð til að finna ${(x + y)}^{n}$ án þess að margfalda tvíliðuna $n$ sinnum með sjálfri sér.

Tvíliðustuðlar fundnir

Í Talningarreglum kynntumst við samantektum. Í styttri aðferðinni til að finna ( 𝑥 + 𝑦 ) 𝑛 ${(x + y)}^{n},$ notum við samantektir til að finna stuðlana sem koma fyrir í tvíliðuliðuninni. Hér notum við ritháttinn $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ í stað $C (n, r),$ en gildið er reiknað á sama hátt. Því fæst

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

Samantektin $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ nefnist tvíliðustuðull. Dæmi um tvíliðustuðul er $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = C (5, 2) = 10.$

Dæmi 1

Tvíliðustuðlar fundnir

Finnið hvern tvíliðustuðul.

ⓐ (53) $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$
ⓑ (92) $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$
ⓒ (97) $(\begin{matrix} 9 \\ 7 \end{matrix})$

Lausn

Notið formúluna til að reikna hvern tvíliðustuðul. Einnig má nota fallið $n C_{r}$ á reiknivélinni.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

ⓐ (53)=5!3!(5−3)!=5⋅4⋅3!3!2!=10 $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! 2!} = 10$
ⓑ (92)=9!2!(9−2)!=9⋅8⋅7!2!7!=36 $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{9!}{2! (9 - 2)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{2! 7!} = 36$
ⓒ (97)=9!7!(9−7)!=9⋅8⋅7!7!2!=36 $(\begin{matrix} 9 \\ 7 \end{matrix}) = \frac{9!}{7! (9 - 7)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! 2!} = 36$

Greining

Takið eftir að sama niðurstaða fékkst í b- og c-lið. Ef lausnir liðanna eru skoðaðar vandlega sést að sömu tvö aðfeldin koma fyrir í nefnaranum, en í öfugri röð, rétt eins og í samantektum.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n - r \end{matrix})

Tvíliðusetningin notuð

Þegar ${(x + y)}^{n}$ er liðað með margföldun nefnist niðurstaðan tvíliðuliðun og hún inniheldur tvíliðustuðla. Ef við vildum liða ( 𝑥 + 𝑦 ) 5 2 ${(x + y)}^{52},$ gætum við margfaldað $(x + y)$ fimmtíu og tvisvar með sjálfri sér. Það gæti tekið klukkustundir! Með því að skoða einfaldar tvíliðuliðanir finnum við mynstur sem leiða til styttri aðferðar við flóknari liðanir.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \end{array}

Skoðum fyrst veldisvísana. Í hverjum lið á eftir þeim fyrri lækkar veldisvísir $x$ en veldisvísir $y$ hækkar. Summa veldisvísanna tveggja er $n$ í hverjum lið.

Skoðum næst stuðlana. Takið eftir að þeir hækka fyrst og lækka síðan samkvæmt samhverfu mynstri. Stuðlarnir fylgja mynstrinu:

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}), ..., (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) .

Þessi mynstur leiða til tvíliðusetningarinnar, sem nota má til að liða hvaða tvíliðu sem er.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k} \\ = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + ... + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) x y^{n - 1} + y^{n} \end{array}

Önnur leið til að sjá stuðlana er að skoða liðun tvíliðu á almenna forminu 𝑥 + 𝑦 $x + y,$ í veldin 1, 2, 3 og 4 hvert á fætur öðru.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{1} = x + y \\ {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \end{array}

Getið þið giskað á næstu liðun tvíliðunnar ${(x + y)}^{5} ?$

Sjá mynd 1, sem sýnir eftirfarandi:

Í liðun ( 𝑥 + 𝑦 $n + 1$ ) 𝑛 ( x + y ) n . eru 𝑛 + 1 n + 1 liðir. ${(x + y)}^{n} .$
Stig hvers liðar, það er summa veldisvísanna, er $n .$
Veldin á $x$ byrja á $n$ og lækka niður í 0.
Veldin á $y$ byrja á 0 og hækka upp í $n .$
Stuðlarnir eru samhverfir.

Til að finna liðun ( 𝑥 + 𝑦 ) 5 ${(x + y)}^{5},$ sjáum við að $n = 5,$ svo liðirnir verða 5+1 = 6. Samanlagt stig hvers liðar er 5. Þegar veldi 𝑥 $x,$ eru sett í lækkandi röð er mynstrið eftirfarandi:

Byrjið á 𝑥 5 $x^{5},$ og lækkið síðan veldisvísi $x$ um 1 í hverjum lið þar til $x^{0} = 1$ fæst.
Byrjið á 𝑦 0 = 1 $y^{0} = 1,$ og hækkið síðan veldisvísi $y$ um 1 þar til $y^{5}$ fæst.
$x^{5}, x^{4} y, x^{3} y^{2}, x^{2} y^{3}, x y^{4}, y^{5}$
$x^{5}, x^{4} y, x^{3} y^{2}, x^{2} y^{3}, x y^{4}, y^{5}$

Næsta liðun er því

{(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} .

En hvaðan koma stuðlarnir? Tvíliðustuðlarnir eru samhverfir. Þessa stuðla má sjá í talnaformi sem nefnist þríhyrningur Pascals og er sýnt á mynd 2. Pascal fann ekki upp þríhyrninginn. Undirstöðuhugmyndir hans höfðu verið þróaðar og skráðar í meira en 1500 ár, fyrst af indverska stærðfræðingnum og skáldinu Pingala á annarri öld f.Kr. Aðrir fræðimenn í Asíu og Evrópu unnu síðar með hugmyndirnar. Íranski stærðfræðingurinn og stjörnufræðingurinn Omar Khayyam birti fyrstur þríhyrninginn á myndrænu formi og í Íran er hann kenndur við Khayyam. Franski stærðfræðingurinn Blaise Pascal gerði þríhyrninginn aftur víðkunnan þegar hann endurbirti hann og notaði til að leysa ýmis líkindaverkefni.

Til að mynda þríhyrning Pascals byrjum við á að skrifa 1. Í línuna fyrir neðan, línu 2, skrifum við tvær 1-ur. Í 3 . línunni setjum við 1 á báða enda og leggjum saman 1 $1 + 1$ + 1 1 + 1 til að finna $n th$ miðtöluna, 2. Í 𝑛 ⁢ t h n-ta línunni setjum við 1 á báða enda. Hvert stak í þríhyrningnum er summa stakanna tveggja beint fyrir ofan það.

Til að sjá tengsl þríhyrnings Pascals og tvíliðustuðla skulum við skoða aftur liðun tvíliða á almennu formi.

Þríhyrningur Pascals útvíkkaður þannig að gildi hans birtast sem liðir með x og y í veldum

Dæmi 2

Tvíliða liðuð

Liðið.

ⓐ (𝑥+𝑦)₅ ${(x + y)}^{5}$
ⓑ (3⁢𝑥−𝑦)₄ ${(3 x - y)}^{4}$

Lausn

ⓐ Setjið $n = 5$ inn í formúluna. Reiknið liðina frá $k = 0$ til $k = 5$ . Einfaldið.
$\begin{array}{l} {(x + y)}^{5} & = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) x^{5} y^{0} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y^{1} + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x^{1} y^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) x^{0} y^{5} \\ {(x + y)}^{5} & = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} \end{array}$
ⓑ Setjið $n = 4$ inn í formúluna. Reiknið liðina frá $k = 0$ til $k = 4$ . Takið eftir að $3 x$ kemur í stað $x$ og að $- y$ kemur í stað $y .$ Við setjum því þessar stærðir inn og einföldum.
$\begin{array}{l} {(3 x - y)}^{4} & = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) {(3 x)}^{4} {(- y)}^{0} + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) {(3 x)}^{3} {(- y)}^{1} + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) {(3 x)}^{2} {(- y)}^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) {(3 x)}^{1} {(- y)}^{3} + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) {(3 x)}^{0} {(- y)}^{4} \\ {(3 x - y)}^{4} & = 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} + y^{4} \end{array}$

Greining

Takið eftir að formerkin víxlast í b-lið. Ástæðan er sú að $(- y)$ í oddatöluveldi er neikvætt en $(- y)$ í sléttutöluveldi er jákvætt. Þetta gerist alltaf þegar frádráttarmerki er í tvíliðunni.

Tvíliðusetningin notuð til að finna einn lið

Það getur verið langt ferli að liða tvíliðu með háum veldisvísi, svo sem ${(x + 2 y)}^{16}$ .

Stundum höfum við aðeins áhuga á einum tilteknum lið tvíliðuliðunar. Ekki þarf að liða tvíliðuna að fullu til að finna slíkan lið.

Takið eftir mynstri stuðlanna í liðun ${(x + y)}^{5} .$

{(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5}

Annar liðurinn er $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y .$ Þriðji liðurinn er $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} .$ Þessa niðurstöðu má alhæfa.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}

Dæmi 3

Tiltekinn liður tvíliðuliðunar skrifaður

Finnið tíunda lið ${(x + 2 y)}^{16}$ án þess að liða tvíliðuna að fullu.

Lausn

Þar sem við leitum að tíunda liðnum er $r + 1 = 10,$ og því notum við $r = 9$ í útreikningunum.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}

(\begin{matrix} 16 \\ 9 \end{matrix}) x^{16 - 9} {(2 y)}^{9} = 5, 857, 280 x^{7} y^{9}

11.6 Verkefni hlutans

Munnleg verkefni

Hvað er tvíliðustuðull og hvernig er hann reiknaður?

Hvaða hlutverki gegna tvíliðustuðlar í tvíliðuliðun? Takmarkast þeir við tiltekna tegund talna?

Hvað er tvíliðusetningin og til hvers er hún notuð?

Hvenær er hagkvæmt að nota tvíliðusetninguna? Útskýrið.

Algebruverkefni

Reiknið tvíliðustuðulinn í eftirfarandi verkefnum.

(62) $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

(53) $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

(74) $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

(97) $(\begin{matrix} 9 \\ 7 \end{matrix})$

(109) $(\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix})$

10.

(2511) $(\begin{matrix} 25 \\ 11 \end{matrix})$

11.

(176) $(\begin{matrix} 17 \\ 6 \end{matrix})$

12.

(200199) $(\begin{matrix} 200 \\ 199 \end{matrix})$

Notið tvíliðusetninguna til að liða hverja tvíliðu í eftirfarandi verkefnum.

13.

(4⁢𝑎−𝑏)₃ ${(4 a - b)}^{3}$

14.

(5⁢𝑎+2)₃ ${(5 a + 2)}^{3}$

15.

(3⁢𝑎+2⁢𝑏)₃ ${(3 a + 2 b)}^{3}$

16.

(2⁢𝑥+3⁢𝑦)₄ ${(2 x + 3 y)}^{4}$

17.

(4⁢𝑥+2⁢𝑦)₅ ${(4 x + 2 y)}^{5}$

18.

(3⁢𝑥−2⁢𝑦)₄ ${(3 x - 2 y)}^{4}$

19.

(4⁢𝑥−3⁢𝑦)₅ ${(4 x - 3 y)}^{5}$

20.

(1𝑥+3⁢𝑦)₅ ${(\frac{1}{x} + 3 y)}^{5}$

21.

(𝑥−1+2⁢𝑦−1)₄ ${(x^{- 1} + 2 y^{- 1})}^{4}$

22.

(√𝑥−√𝑦)₅ ${(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{5}$

Notið tvíliðusetninguna til að skrifa fyrstu þrjá liði hverrar tvíliðu í eftirfarandi verkefnum.

23.

(𝑎+𝑏)₁₇ ${(a + b)}^{17}$

24.

(𝑥−1)₁₈ ${(x - 1)}^{18}$

25.

(𝑎−2⁢𝑏)₁₅ ${(a - 2 b)}^{15}$

26.

(𝑥−2⁢𝑦)₈ ${(x - 2 y)}^{8}$

27.

(3⁢𝑎+𝑏)₂₀ ${(3 a + b)}^{20}$

28.

(2⁢𝑎+4⁢𝑏)₇ ${(2 a + 4 b)}^{7}$

29.

(𝑥3−√𝑦)₈ ${(x^{3} - \sqrt{y})}^{8}$

Finnið tilgreindan lið hverrar tvíliðu í eftirfarandi verkefnum án þess að liða hana að fullu.

30.

Fjórði liður ${(2 x - 3 y)}^{4}$

31.

Fjórði liður ${(3 x - 2 y)}^{5}$

32.

Þriðji liður ${(6 x - 3 y)}^{7}$

33.

Áttundi liður ${(7 + 5 y)}^{14}$

34.

Sjöundi liður ${(a + b)}^{11}$

35.

Fimmti liður ${(x - y)}^{7}$

36.

Tíundi liður ${(x - 1)}^{12}$

37.

Níundi liður ${(a - 3 b^{2})}^{11}$

38.

Fjórði liður ${(x^{3} - \frac{1}{2})}^{10}$

39.

Áttundi liður ${(\frac{y}{2} + \frac{2}{x})}^{9}$

Myndræn verkefni

Notið tvíliðusetninguna til að liða tvíliðuna 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 ) 4 $f (x) = {(x + 3)}^{4} .$ í eftirfarandi verkefnum. Finnið síðan og teiknið graf hverrar tilgreindrar summu í sama hnitakerfi.

40.

Finnið og teiknið graf $f_{1} (x),$ þannig að $f_{1} (x)$ sé fyrsti liður liðunarinnar.

41.

Finnið og teiknið graf $f_{2} (x),$ þannig að $f_{2} (x)$ sé summa fyrstu tveggja liða liðunarinnar.

42.

Finnið og teiknið graf $f_{3} (x),$ þannig að $f_{3} (x)$ sé summa fyrstu þriggja liða liðunarinnar.

43.

Finnið og teiknið graf $f_{4} (x),$ þannig að $f_{4} (x)$ sé summa fyrstu fjögurra liða liðunarinnar.

44.

Finnið og teiknið graf $f_{5} (x),$ þannig að $f_{5} (x)$ sé summa fyrstu fimm liða liðunarinnar.

Frekari verkefni

45.

Í liðun ( 5 ⁢ 𝑥 + 3 ⁢ 𝑦 ) 𝑛 ${(5 x + 3 y)}^{n},$ er hver liður á forminu $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k}$ , þar sem $k$ tekur gildin 0, 1, 2, . . . , 𝑛 $0, 1, 2, ..., n .$ hvert á fætur öðru. Ef $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix}),$ hver er þá samsvarandi liður?

46.

Í liðun ( 𝑎 + 𝑏 ) 𝑛 ${(a + b)}^{n},$ er stuðull $a^{n - k} b^{k}$ jafn stuðli hvaða annars liðar?

47.

Skoðið liðun ( 𝑥 + 𝑏 ) 4 0 . ( ${(x + b)}^{40} .$ x + b ) 40 . Hver er veldisvísir $b$ 𝑏 b í $k th$ k-ta liðnum?

48.

Finnið $(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ og skrifið svarið sem tvíliðustuðul á forminu $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) .$ Sannið niðurstöðuna. Vísbending: Notið að fyrir sérhverja heila tölu 𝑝 $p,$ þannig að 𝑝 ≥ 1 gildir 𝑝 ! = 𝑝 ⁢ ( 𝑝 − 1 ) ! . $p \geq 1, p! = p (p - 1)! .$

49.

Hvaða segð er ekki hægt að liða með tvíliðusetningunni? Útskýrið.

(𝑥2−2⁢𝑥+1) $(x^{2} - 2 x + 1)$
(√𝑎+4⁢√𝑎−5)₈ ${(\sqrt{a} + 4 \sqrt{a} - 5)}^{8}$
(𝑥3+2⁢𝑦2−𝑧)₅ ${(x^{3} + 2 y^{2} - z)}^{5}$
(3⁢𝑥2−√2⁢𝑦3)₁₂ ${(3 x^{2} - \sqrt{2 y^{3}})}^{12}$