1111 Runur, líkur og talningarfræði

11.4 Raðir og ritháttur þeirra

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Nota summutákn.
Nota formúlu fyrir summu fyrstu n liða jafnmunaraðar.
Nota formúlu fyrir summu fyrstu n liða geómetrískrar raðar.
Nota formúlu fyrir summu óendanlegrar geómetrískrar raðar.
Leysa verkefni um jafngreiðsluraðir.

Foreldri ákveður að stofna háskólasjóð fyrir dóttur sína. Fyrirhugað er að leggja $50 í sjóðinn á mánuði. Sjóðurinn ber 6% ársvexti með mánaðarlegri vaxtavöxtun. Hve mikið mun hafa safnast þegar dóttirin hefur háskólanám eftir 6 ár? Í þessum hluta lærum við að svara þessari spurningu. Til þess þurfum við að skoða bæði fjárhæð innlagna og áunna vexti.

Summutákn notað

Til að finna heildarfjárhæðina í háskólasjóðnum og samtölu innlagna þurfum við að leggja saman mánaðarlegar innlagnir og vextina sem ávinnast í hverjum mánuði. Summa liða runu kallast röð. Skoðum til dæmis eftirfarandi röð.

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ...

n-ta hlutsumma raðar er summa endanlegs fjölda samliggjandi liða frá og með fyrsta liðnum. Táknið $S_{n}$ táknar hlutsummuna.

\begin{array}{l} S_{1} = 3 \\ S_{2} = 3 + 7 = 10 \\ S_{3} = 3 + 7 + 11 = 21 \\ S_{4} = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 \end{array}

Summutákn er notað til að tákna raðir. Það er oft nefnt sigma-ritháttur vegna þess að gríski hástafurinn sigma, $Σ,$ táknar summuna. Rithátturinn felur í sér lokað form og tilgreinir fyrsta og síðasta lið raðarinnar. Lokað form hvers liðar er hægra megin við sigma-táknið. Breyta sem kallast summuvísir er skrifuð neðan við sigma. Summuvísirinn er látinn jafngilda neðri summumörkum, tölunni sem myndar fyrsta lið raðarinnar. Talan fyrir ofan sigma kallast efri summumörk og myndar síðasta lið raðarinnar.

Skýring á summutákni eins og lýst er í textanum.

Þegar rithátturinn er túlkaður sést að finna á summu liðanna í röðinni $a_{k} = 2 k$ fyrir $k = 1$ til $k = 5.$ Við byrjum á að setja gildin fyrir $k$ inn og skrá liði raðarinnar.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{1} = 2 (1) = 2 \end{array} \\ a_{2} = 2 (2) = 4 \\ a_{3} = 2 (3) = 6 \\ a_{4} = 2 (4) = 8 \\ a_{5} = 2 (5) = 10 \end{array}

Við finnum summu raðarinnar með því að leggja liðina saman:

\sum_{k = 1}^{5} 2 k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Dæmi 1

Summutákn notað

Reiknið $\sum_{k = 3}^{7} k^{2} .$

Lausn

Samkvæmt rithættinum eru neðri summumörkin 3 og þau efri 7. Við þurfum því að finna summu $k^{2}$ frá $k = 3$ til $k = 7.$ Liðir raðarinnar fást með því að setja 𝑘 = 3, 4, 5, 6 $k = 3, 4, 5, 6,$ og $7$ inn í fallið $k^{2} .$ Við leggjum liðina saman til að finna summuna.

\begin{array}{l} \sum_{k = 3}^{7} k^{2} & = 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} \\ = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 \\ = 135 \end{array}

Formúla fyrir jafnmunaraðir notuð

Rétt eins og við skoðuðum sérstakar gerðir runa skoðum við nú sérstakar gerðir raða. Jafnmunaruna er runa þar sem mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða er fasti mismunurinn $d .$ Summa liða jafnmunarunu kallast jafnmunaröð. Skrifa má summu fyrstu $n$ liða jafnmunaraðar sem:

S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + (a_{n} - d) + a_{n} .

Einnig má snúa röð liðanna við og skrifa summuna sem

S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + ... + (a_{1} + d) + a_{1} .

Ef þessar tvær framsetningar á summu fyrstu $n$ liða jafnmunaraðar eru lagðar saman má leiða út formúlu fyrir summu fyrstu $n$ liða sérhverrar jafnmunaraðar.

\frac{\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + (a_{n} - d) + a_{n} \\ + S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + ... + (a_{1} + d) + a_{1} \end{array}}{2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + ... + (a_{1} + a_{n})}

Þar sem röðin hefur $n$ liði má einfalda summuna í

2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) .

Við deilum með 2 til að fá formúlu fyrir summu fyrstu $n$ liða jafnmunaraðar.

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

Dæmi 2

Summa fyrstu n liða jafnmunaraðar fundin

Finnið summu hverrar jafnmunaraðar.

ⓐ 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 $5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32$
ⓑ 20 + 15 + 10 +…+ −50 $20 + 15 + 10 +…+ −50$
ⓒ 12∑𝑘=13⁢𝑘−8 $\sum_{k = 1}^{12} 3 k - 8$

Lausn

ⓐ
Gefið er að $a_{1} = 5$ og $a_{n} = 32.$
Teljið liði rununnar til að fá $n = 10.$
Setjið gildi 𝑎 1, 𝑎 𝑛 $a_{1}, a_{n},$ og $n$ inn í formúluna og einfaldið.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{10} = \frac{10 (5 + 32)}{2} = 185 \end{array}$
ⓑ
Gefið er að $a_{1} = 20$ og $a_{n} = - 50.$
Notið formúlu fyrir almenna lið jafnmunarunu til að finna $n .$
$\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ - 50 = 20 + (n - 1) (- 5) \\ - 70 = (n - 1) (- 5) \\ 14 = n - 1 \\ 15 = n \end{array}$
Setjið gildi 𝑎 1, 𝑎 𝑛 $a_{1}, a_{n}, n$ og 𝑛 S n = n ⁢ ( a 1 + a n )/2 S 15 = 15 ⁢ ( 20 − 50 )/2 = − 225 inn í formúluna og einfaldið.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{15} = \frac{15 (20 - 50)}{2} = - 225 \end{array}$
ⓒ
Til að finna 𝑎 1 $a_{1},$ setjið $k = 1$ inn í gefna lokaða formið.
$\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{1} = 3 (1) - 8 = - 5 \end{array}$

Gefið er að $n = 12.$ Til að finna 𝑎 1 2 $a_{12},$ setjið $k = 12$ inn í gefna lokaða formið.
$\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{12} = 3 (12) - 8 = 28 \end{array}$
Setjið gildi 𝑎 1, 𝑎 𝑛 $a_{1}, a_{n},$ og $n$ inn í formúluna og einfaldið.
$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{12} = \frac{12 (- 5 + 28)}{2} = 138 \end{array}$

Notið formúluna til að finna summu hverrar jafnmunaraðar.

Dæmi 3

Hagnýt verkefni með jafnmunaröðum leyst

Sunnudaginn eftir minni háttar aðgerð getur kona gengið hálfa mílu. Á hverjum sunnudegi gengur hún fjórðungi úr mílu lengra. Hve margar mílur hefur hún gengið samtals eftir 8 vikur?

Lausn

Lýsa má verkefninu með jafnmunaröð þar sem $a_{1} = \frac{1}{2}$ og $d = \frac{1}{4} .$ Við leitum að heildarvegalengd eftir 8 vikur, þannig að 𝑛 = 8 $n = 8,$ og finna á $S_{8} .$ Til að finna 𝑎 8 $a_{8},$ má nota lokað form jafnmunarunu.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + d (n - 1) \end{array} \\ a_{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (8 - 1) = \frac{9}{4} \end{array}

Nú getum við notað formúluna fyrir jafnmunaraðir.

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{8} = \frac{8 (\frac{1}{2} + \frac{9}{4})}{2} = 11 \end{array}

Hún hefur gengið samtals 11 mílur.

Formúla fyrir geómetrískar raðir notuð

Rétt eins og summa liða jafnmunarunu kallast jafnmunaröð kallast summa liða kvótarunu geómetrísk röð. Kvótaruna er runa þar sem kvóti sérhverra tveggja samliggjandi liða er hlutfallstalan $r .$ Skrifa má summu fyrstu $n$ liða geómetrískrar raðar sem

S_{n} = a_{1} + r a_{1} + r^{2} a_{1} + ... + r^{n - 1} a_{1} .

Eins og fyrir jafnmunaraðir má nota algebrulega umritun til að leiða út formúlu fyrir summu fyrstu $n$ liða geómetrískrar raðar. Við byrjum á að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með $r .$

r S_{n} = r a_{1} + r^{2} a_{1} + r^{3} a_{1} + ... + r^{n} a_{1}

Næst drögum við þessa jöfnu frá upphaflegu jöfnunni.

\begin{array}{l} \frac{\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + r a_{1} + r^{2} a_{1} + ... + r^{n - 1} a_{1} \\ - r S_{n} = - (r a_{1} + r^{2} a_{1} + r^{3} a_{1} + ... + r^{n} a_{1}) \end{array}}{(1 - r) S_{n} = a_{1} - r^{n} a_{1}} \end{array}

Takið eftir að við frádráttinn styttast allir liðir út nema fyrsti liður efri jöfnunnar og síðasti liður neðri jöfnunnar. Til að fá formúlu fyrir 𝑆 𝑛 $S_{n},$ deilum við báðum hliðum með $(1 - r) .$

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} r \neq 1

Dæmi 4

Summa fyrstu n liða geómetrískrar raðar fundin

Notið formúluna til að finna tilgreinda hlutsummu hverrar geómetrískrar raðar.

ⓐ $S_{11}$ fyrir röðina $8 + -4 + 2 + \dots$
ⓑ ∑6𝑘=13⋅2𝑘 ${\sum^{}}_{k = 1}^{6} 3 \cdot 2^{k}$

Lausn

ⓐ
$a_{1} = 8,$ 𝑎 1 = 8 a 1 = 8 , og gefið er að 𝑛 = 1 1. n = 11. Við finnum $n = 11.$
𝑟 r með því að deila öðrum lið raðarinnar með þeim fyrsta. $r$ 𝑟 = − 4 8 = − 1 2 r = − 4/8 = − 1/2 Setjið gildi 𝑎 1, 𝑟 a 1, r og n og 𝑛 inn í formúluna og einfaldið. 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 ⁢ ( 1 − 𝑟 𝑛 ) 1 − 𝑟 𝑆 1 1 = 8 ⁢ ( 1 − (
$r = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$

− 1 2 ) 1 1 ) 1 − ( − 1 2 ) ≈ 5. 3 3 6 S n = $a_{1}, r, and n$ a 1 ⁢ ( 1 − r n )/1 − r S 11 = 8 ⁢ ( 1 − ( − 1/2 ) 11 )/1 − ( − 1/2 ) ≈ 5.336
$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{11} = \frac{8 (1 - {(- \frac{1}{2})}^{11})}{1 - (- \frac{1}{2})} \approx 5.336 \end{array}$
ⓑ
Finnið $a_{1}$ með því að setja $k = 1$ inn í gefna lokaða formið.
$a_{1} = 3 \cdot 2^{1} = 6$
Af lokaða forminu sést að $r = 2.$ Efri summumörkin eru 6, þannig að $n = 6.$
Setjið gildi 𝑎 1, 𝑟 $a_{1}, r,$ og $n$ inn í formúluna og einfaldið.
$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{6} = \frac{6 (1 - 2^{6})}{1 - 2} = 378 \end{array}$

Notið formúluna til að finna tilgreinda hlutsummu hverrar geómetrískrar raðar.

Dæmi 5

Hagnýtt verkefni með geómetrískri röð leyst

Í nýju starfi eru byrjunarlaun starfsmanns $26,750. Laun hans hækka um 1.6% árlega. Finnið heildartekjur hans í lok 5 ára.

Lausn

Lýsa má verkefninu með geómetrískri röð þar sem 𝑎 1 = 2 6, 7 5 0; a 1 = 26 , 750 $a_{1} = 26, 750;$ $n = 5;$ ; $r = 1.016.$ 𝑛 = 5; n = 5 ; og $a_{1},$ $r,$ 𝑟 $n$ = 1. 0 1 6. r = 1.016. Setjið gildi 𝑎 1, 𝑟 a 1 , og 𝑛 n inn í formúluna og einfaldið til að finna heildartekjurnar í lok 5 ára.

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{5} = \frac{26, 750 (1 - {1.016}^{5})}{1 - 1.016} \approx 138, 099.03 \end{array}

Hann hefur unnið sér inn samtals $138,099.03 í lok 5 ára.

Formúla fyrir summu óendanlegrar geómetrískrar raðar notuð

Hingað til höfum við aðeins skoðað endanlegar raðir. Stundum viljum við þó finna summu liða óendanlegrar runu í stað summu aðeins fyrstu $n$ liðanna. Óendanleg röð er summa liða óendanlegrar runu. Dæmi um óendanlega röð er $2 + 4 + 6 + 8 + ...$

Einnig má skrifa röðina með summutákni sem $\sum_{k = 1}^{\infty} 2 k,$ þar sem efri summumörkin eru óendanleiki. Þar sem liðirnir stefna ekki á núll vex summa raðarinnar án takmarka eftir því sem fleiri liðum er bætt við. Summa þessarar óendanlegu raðar er því ekki skilgreind. Þegar summan er ekki rauntala segjum við að röðin sé ósamleitin.

Ákvarðað hvort summa óendanlegrar geómetrískrar raðar sé skilgreind

Ef liðir óendanlegrar kvótarunu stefna á 0 má skilgreina summu óendanlegrar geómetrískrar raðar. Liðir þessarar raðar stefna á 0:

1 + 0.2 + 0.04 + 0.008 + 0.0016 + ...

Hlutfallstalan er $r = 0 .2 .$ Þegar $n$ verður mjög stórt verða gildi $r^{n}$ mjög lítil og stefna á 0. Hver nýr liður hefur minni áhrif á summuna en liðurinn á undan. Þegar hver liður nálgast 0 nálgast summa liðanna endanlegt gildi. Liðir sérhverrar óendanlegrar geómetrískrar raðar þar sem $- 1 < r < 1$ stefna á 0; summa geómetrískrar raðar er skilgreind þegar $- 1 < r < 1.$

Dæmi 6

Ákvarðað hvort summa óendanlegrar raðar sé skilgreind

Ákvarðið hvort summa hverrar óendanlegrar raðar sé skilgreind.

ⓐ 12 + 8 + 4 + … $12 + 8 + 4 + \dots$
ⓑ 34+12+13+... $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...$
ⓒ ∑∞𝑘=127⋅(13)𝑘 $\sum_{k = 1}^{\infty} 27 \cdot {(\frac{1}{3})}^{k}$
ⓓ ∞∑𝑘=15⁢𝑘 $\sum_{k = 1}^{\infty} 5 k$

Lausn

ⓐ Hlutfall annars liðarins og hins fyrsta er $\frac{2}{3},$ sem er ekki jafnt hlutfalli þriðja liðarins og hins annars, $\frac{1}{2} .$ Röðin er ekki geómetrísk.
ⓑ Hlutfall annars liðarins og hins fyrsta er jafnt hlutfalli þriðja liðarins og hins annars. Röðin er geómetrísk með hlutfallstöluna $\frac{2}{3} .$ Summa óendanlegu raðarinnar er skilgreind.
ⓒ Gefna formúlan er vísisformúla með grunntöluna $\frac{1}{3};$ röðin er geómetrísk með hlutfallstöluna $\frac{1}{3} .$ Summa óendanlegu raðarinnar er skilgreind.
ⓓ Gefna formúlan er ekki vísisformúla. Röðin er ekki geómetrísk vegna þess að liðirnir vaxa og getur því ekki haft endanlega summu.

Ákvarðið hvort summa óendanlegu raðarinnar sé skilgreind.

Summur óendanlegra raða fundnar

Þegar summa óendanlegrar geómetrískrar raðar er til getum við reiknað hana. Formúlan fyrir summuna tengist formúlunni fyrir summu fyrstu $n$ liða geómetrískrar raðar.

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}

Skoðum óendanlega röð þar sem $r = \frac{1}{2} .$ Hvað verður um $r^{n}$ þegar $n$ vex?

\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \\ {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8} \\ {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16} \end{array}

Gildi 𝑟 𝑛 $r^{n}$ r n minnkar hratt. Hvað gerist þegar 𝑛 n ? verður stærra? $n ?$

\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{10} = \frac{1}{1, 024} \\ {(\frac{1}{2})}^{20} = \frac{1}{1, 048, 576} \\ {(\frac{1}{2})}^{30} = \frac{1}{1, 073, 741, 824} \end{array}

Þegar $n$ verður mjög stórt verður $r^{n}$ mjög lítið. Við segjum að þegar $n$ vex án takmarka stefni $r^{n}$ á 0. Þegar $r^{n}$ stefnir á 0 stefnir $1 - r^{n}$ á 1. Þá stefnir teljarinn á $a_{1} .$ Þannig fæst formúla fyrir summu óendanlegrar geómetrískrar raðar.

Dæmi 7

Summa óendanlegrar geómetrískrar raðar fundin

Finnið summuna, ef hún er til, fyrir eftirfarandi:

ⓐ 10+9+8+7+… $10 + 9 + 8 + 7 + \dots$
ⓑ 248.6+99.44+39.776+⁢… $248.6 + 99.44 + 39.776 + \dots$
ⓒ ∑∞𝑘=14,374⋅(–13)𝑘–1 $\sum_{k = 1}^{\infty} 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{k - 1}$
ⓓ ∑∞𝑘=119⋅(43)𝑘 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{9} \cdot {(\frac{4}{3})}^{k}$

Lausn

ⓐ Hlutfallið er ekki fast og því er röðin ekki geómetrísk.
ⓑ
Hlutfallið er fast og röðin því geómetrísk. $a_{1} = 248.6$ og $r = \frac{99.44}{248.6} = 0.4,$ svo summan er til. Setjið $a_{1} = 248.6$ og $r = 0.4$ inn í formúluna og einfaldið:
$\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{248.6}{1 - 0.4} = 414. \bar{3} \end{array}$
ⓒ
Formúlan er vísisformúla, þannig að röðin er geómetrísk með $r = - \frac{1}{3} .$ Finnið $a_{1}$ með því að setja $k = 1$ inn í gefna lokaða formið:
$a_{1} = 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1} = 4, 374$
Setjið $a_{1} = 4, 374$ og $r = - \frac{1}{3}$ inn í formúluna og einfaldið:
$\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{4, 374}{1 - (- \frac{1}{3})} = 3, 280.5 \end{array}$
ⓓ Formúlan er vísisformúla og röðin því geómetrísk, en $r > 1.$ Summan er ekki til.

Dæmi 8

Jafngilt brot endurtekins tugabrots fundið

Finnið jafngilt brot fyrir endurtekna tugabrotið $0. \bar{3}$

Lausn

Við tökum eftir endurtekna tugabrotinu $0. \bar{3} = 0.333...$ og getum því skrifað það sem summu liða.

0. \bar{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...

Við leitum að mynstri og umritum summuna. Þá sést að fyrsti liðurinn er margfaldaður með 0.1 til að fá annan liðinn og annar liðurinn með 0.1 til að fá þriðja liðinn.

Myndin sýnir hvernig endurtekið tugabrot er sundurliðað í óendanlega geómetríska röð.

Takið eftir mynstrinu: hver liður er margfaldaður með hlutfallstölunni 0.1, frá og með fyrsta liðnum 0.3. Þegar gildin eru sett inn í formúluna fyrir summu óendanlegrar geómetrískrar raðar fæst

S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3} .

Finnið summuna ef hún er til.

Verkefni um jafngreiðsluraðir leyst

Í upphafi hlutans skoðuðum við verkefni þar sem foreldri lagði fasta fjárhæð mánaðarlega í háskólasjóð í sex ár. Jafngreiðsluröð er fjárfesting þar sem kaupandi innir af hendi reglulegar, jafnar greiðslur. Til að finna virði jafngreiðsluraðar þarf að leggja saman allar greiðslur og áunna vexti. Í dæminu leggur foreldrið $50 inn á mánuði; það er upphaflega innleggið. Reikningurinn ber 6% ársvexti með mánaðarlegri vaxtavöxtun. Til að finna vexti á greiðslutímabili deilum við ársvöxtunum, 6%, með 12. Mánaðarlegu vextirnir eru því 0.5%. Við getum margfaldað inneignina í hverjum mánuði með 100.5% til að finna virði reikningsins eftir að vöxtum hefur verið bætt við.

Finna má virði jafngreiðsluraðarinnar strax eftir síðasta innlegg með geómetrískri röð þar sem $a_{1} = 50$ og $r = 100.5 % = 1.005.$ Eftir fyrsta innleggið er virði jafngreiðsluraðarinnar $50. Skoðum hvort við getum ákvarðað fjárhæðina í háskólasjóðnum og áunna vexti.

Finna má virði jafngreiðsluraðar eftir 𝑛 n innlagnir með formúlunni fyrir summu $n$ fyrstu 𝑛 n liða geómetrískrar raðar. Á 6 árum eru 72 mánuðir og því 𝑛 $n$ = 7 2. n = 72. Setjið 𝑎 1 = 5 0, 𝑟 = 1. 0 0 5 og $n = 72.$ 𝑛 = 7 2 a $a_{1} = 50, r = 1.005, and n = 72$ 1 = 50, r = 1,005 og n = 72 inn í formúluna og einfaldið til að finna virði jafngreiðsluraðarinnar eftir 6 ár.

S_{72} = \frac{50 (1 - {1.005}^{72})}{1 - 1.005} \approx 4, 320.44

Eftir síðasta innleggið hefur foreldrið samtals $4,320.44 á reikningnum. Takið eftir að foreldrið greiddi 72 sinnum $50, samtals $72(50) = $3,600 .$ Þetta merkir að vegna jafngreiðsluraðarinnar fékk foreldrið $720.44 í vexti í háskólasjóðnum.

Dæmi 9

Verkefni um jafngreiðsluröð leyst

Í upphafi hvers mánaðar er $100 lagt í háskólasjóð í 10 ár. Sjóðurinn ber 9% ársvexti með mánaðarlegri vaxtavöxtun sem eru greiddir í lok mánaðar. Hve mikið er á reikningnum strax eftir síðasta innleggið?

Lausn

Virði upphaflega innleggsins er $100, þannig að $a_{1} = 100.$ Alls eru gerðar 120 mánaðarlegar innlagnir á 10 árum og því $n = 120.$ Til að finna 𝑟 $r,$ deilum við árlegum vöxtum með 12 til að finna mánaðarlega vexti og leggjum 1 við til að tákna nýja mánaðarlega innleggið.

r = 1 + \frac{0.09}{12} = 1.0075

Setjið 𝑎 1 = $a_{1} = 100, r = 1.0075, and n = 120$ 1 0 0, 𝑟 = 1. 0 0 7 5 og 𝑛 = 1 2 0 $n$ a 1 = 100, r = 1,0075 og n = 120 inn í formúluna fyrir summu fyrstu 𝑛 n liða geómetrískrar raðar og einfaldið til að finna virði jafngreiðsluraðarinnar.

S_{120} = \frac{100 (1 - {1.0075}^{120})}{1 - 1.0075} \approx 19, 351.43

Því eru $19,351.43 á reikningnum eftir síðasta innleggið.

11.4 Verkefni hlutans

Munnleg verkefni

Hvað er $n th$ n‑ta hlutsumma?

Hver er munurinn á jafnmunarunu og jafnmunaröð?

Hvað er geómetrísk röð?

Hvernig er aðferðin við að finna summu óendanlegrar geómetrískrar raðar frábrugðin því að finna $n th$ n‑tu hlutsummu?

Hvað er jafngreiðsluröð?

Algebruverkefni

Lýsið hverri summu í eftirfarandi verkefnum með summutákni.

Summa liðanna $m^{2} + 3 m$ frá $m = 1$ til $m = 5$

Summan af 5 ⁢ 𝑛 5 ⁢ n frá 𝑛 = 0 n = 0 til 𝑛 $n = 0$ = 4 n $n = 4$ = 4 $5 n$

Summa $6 k - 5$ frá $k = - 2$ til $k = 1$

Summan sem fæst þegar talan 4 er lögð saman fimm sinnum

Skrifið hverja jafnmunasummu í eftirfarandi verkefnum með summutákni.

10.

5+10+15+20+25+30+35+40+45+50 $5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50$

11.

10+18+26+…+162 $10 + 18 + 26 + \dots + 162$

12.

12+1+32+2+…+4 $\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 + \dots + 4$

Notið í eftirfarandi verkefnum formúluna fyrir summu fyrstu $n$ liða hverrar jafnmunarunu.

13.

32+2+52+3+72 $\frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} + 3 + \frac{7}{2}$

14.

19+25+31+…+73 $19 + 25 + 31 + \dots + 73$

15.

3.2+3.4+3.6+…+5.6 $3.2 + 3.4 + 3.6 + \dots + 5.6$

Skrifið hverja geómetríska summu í eftirfarandi verkefnum með summutákni.

16.

1+3+9+27+81+243+729+2187 $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187$

17.

8+4+2+…+0.125 $8 + 4 + 2 + \dots + 0.125$

18.

−16+112−124+…+1768 $- \frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{24} + \dots + \frac{1}{768}$

Notið í eftirfarandi verkefnum formúluna fyrir summu fyrstu $n$ liða hverrar kvótarunu og tilgreinið síðan summuna.

19.

9+3+1+13+19 $9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

20.

9∑𝑛=15⋅2𝑛−1 $\sum_{n = 1}^{9} 5 \cdot 2^{n - 1}$

21.

11∑𝑎=164⋅0.2𝑎−1 $\sum_{a = 1}^{11} 64 \cdot {0.2}^{a - 1}$

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort óendanlega röðin hafi summu. Skrifið formúlu fyrir summuna ef svo er, en tilgreinið annars ástæðuna.

22.

12+18+24+30+... $12 + 18 + 24 + 30 + ...$

23.

2+1.6+1.28+1.024+... $2 + 1.6 + 1.28 + 1.024 + ...$

24.

∞∑𝑚=14𝑚−1 $\sum_{m = 1}^{\infty} 4^{m - 1}$

25.

∑𝑘=1∞−(−12)𝑘−1 ${\sum^{}}_{\infty}^{k = 1} - {(- \frac{1}{2})}^{k - 1}$

Grafísk verkefni

Notið eftirfarandi aðstæður í verkefnunum. Javier leggur mánaðarlega inn á sparnaðarreikning. Hann stofnaði reikninginn með $50 upphafsinnleggi og hækkaði síðan innleggið um $20 í hverjum mánuði.

26.

Teiknið graf jafnmunarununnar sem sýnir innlagnir Javiers í eitt ár.

27.

Teiknið graf jafnmunaraðarinnar sem sýnir mánaðarlegar heildarsummur innlagna Javiers í eitt ár.

Notið geómetrísku röðina ∞ ∑ 𝑘 = 1 ( 1 2 ) 𝑘 ∑ k = 1 ∞ ( 1/2 ) k . í eftirfarandi verkefnum. ${\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{k} .$

28.

Teiknið graf fyrstu 7 hlutsumma raðarinnar.

29.

Hvaða tölu virðist $S_{n}$ nálgast á grafinu? Finnið summuna til að skýra hvers vegna það er eðlilegt.

Töluleg verkefni

Finnið tilgreinda summu í eftirfarandi verkefnum.

30.

14∑𝑎=1𝑎 $\sum_{a = 1}^{14} a$

31.

6∑𝑛=1𝑛⁢(𝑛−2) $\sum_{n = 1}^{6} n (n - 2)$

32.

17∑𝑘=1𝑘2 $\sum_{k = 1}^{17} k^{2}$

33.

7∑𝑘=12𝑘 $\sum_{k = 1}^{7} 2^{k}$

Notið í eftirfarandi verkefnum formúluna fyrir summu fyrstu $n$ liða jafnmunaraðar.

34.

−1.7+−0.4+0.9+2.2+3.5+4.8 $- 1.7 + - 0.4 + 0.9 + 2.2 + 3.5 + 4.8$

35.

6+152+9+212+12+272+15 $6 + \frac{15}{2} + 9 + \frac{21}{2} + 12 + \frac{27}{2} + 15$

36.

−1+3+7+...+31 $- 1 + 3 + 7 + ... + 31$

37.

11∑𝑘=1(𝑘2−12) $\sum_{k = 1}^{11} (\frac{k}{2} - \frac{1}{2})$

Notið í eftirfarandi verkefnum formúluna fyrir summu fyrstu $n$ liða geómetrískrar raðar til að finna hlutsummuna.

38.

$S_{6}$ fyrir röðina $- 2 - 10 - 50 - 250...$

39.

$S_{7}$ fyrir röðina $0.4 - 2 + 10 - 50...$

40.

9∑𝑘=12𝑘−1 $\sum_{k = 1}^{9} 2^{k - 1}$

41.

10∑𝑛=1−2⋅(12)𝑛−1 $\sum_{n = 1}^{10} - 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Finnið summu óendanlegu geómetrísku raðarinnar í eftirfarandi verkefnum.

42.

4+2+1+12⁢... $4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} ...$

43.

−1−14−116−164⁢... $- 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} ...$

44.

∑𝑘=1∞3⋅(14)𝑘−1 ${\sum^{}}_{\infty}^{k = 1} 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{k - 1}$

45.

∞∑𝑛=14.6⋅0.5𝑛−1 $\sum_{n = 1}^{\infty} 4.6 \cdot {0.5}^{n - 1}$

Ákvarðið virði jafngreiðsluraðarinnar í eftirfarandi verkefnum út frá mánaðarlegri innborgun, fjölda innborgana og vöxtum.

46.

Innborgun: $$ 50;$ heildarfjöldi innborgana: $60;$ vextir: $5 %,$ með mánaðarlegri vaxtavöxtun

47.

Innborgun: $$ 150;$ heildarfjöldi innborgana: $24;$ vextir: $3 %,$ með mánaðarlegri vaxtavöxtun

48.

Innborgun: $$ 450;$ heildarfjöldi innborgana: $60;$ vextir: $4.5 %,$ með ársfjórðungslegri vaxtavöxtun

49.

Innborgun: $$ 100;$ heildarfjöldi innborgana: $120;$ vextir: $10 %,$ með hálfsárslegri vaxtavöxtun

Viðbótarverkefni

50.

Summa liðanna $50 - k^{2}$ frá $k = x$ til $7$ er $115.$ Hvert er x?

51.

Skrifið lokað form fyrir $a_{k}$ þannig að $\sum_{k = 0}^{6} a_{k} = 189.$ Gerið ráð fyrir að þetta sé jafnmunaröð.

52.

Finnið minnsta gildi n þannig að $\sum_{k = 1}^{n} (3 k - 5) > 100.$

53.

Hve marga liði þarf að leggja saman áður en summa raðarinnar $- 1 - 3 - 5 - 7 ....$ verður minni en $- 75 ?$

54.

Skrifið $0. \bar{65}$ sem óendanlega geómetríska röð með summutákni. Notið síðan formúluna fyrir summu óendanlegrar geómetrískrar raðar til að breyta $0. \bar{65}$ í brot.

55.

Summa óendanlegrar geómetrískrar raðar er fimmföld fyrsti liðurinn. Hver er hlutfallstala raðarinnar?

56.

Til að fá hagstæðustu lánsvexti vill Coleman-fjölskyldan safna nægilegu fé til að leggja fram 20% útborgun vegna kaupa á húsi sem kostar $160,000. Hún ætlar að leggja $125 mánaðarlega inn á fjárfestingarreikning sem ber 8.5% ársvexti með hálfsárslegri vaxtavöxtun. Mun fjölskyldan eiga nóg fyrir 20% útborgun eftir fimm ár? Hve mikið hefur hún þá sparað?

57.

Karl hefur tvö ár til að safna $$ 10, 000$ fyrir notuðum bíl þegar hann útskrifast. Hve háar þurfa mánaðarlegar innborganir hans að vera, námundað að næsta Bandaríkjadal, ef reikningurinn ber 4.2% ársvexti með mánaðarlegri vaxtavöxtun?

Raunveruleg verkefni

58.

Keisha útbjó vikulanga námsáætlun fyrir lokapróf. Fyrsta daginn ætlar hún að læra í $1$ klukkustund og lengja námstímann um $30$ mínútur á hverjum degi. Hve margar klukkustundir hefur Keisha lært eftir eina viku?

59.

Stór steinn valt niður fjall og fór 6 fet fyrstu sekúnduna. Á hverri næstu sekúndu jókst vegalengdin um 8 fet. Hve langt fór steinninn á 10 sekúndum?

60.

Vísindamaður setur 50 frumur í ræktunarskál. Stofninn vex um 1.5% á klukkustund. Hve margar verða frumurnar eftir 1 sólarhring?

61.

Pendúll fer 3 fet í fyrstu sveiflu. Í hverri næstu sveiflu fer hann $\frac{3}{4}$ af vegalengd fyrri sveiflu. Hver er heildarvegalengdin þegar pendúllinn stöðvast?

62.

Rachael leggur $1,500 árlega í lífeyrissjóð. Sjóðurinn ber 8.2% ársvexti með mánaðarlegri vaxtavöxtun. Ef hún stofnaði reikninginn 19 ára, hve mikið á hún þegar hún verður 55 ára? Hve stór hluti fjárhæðarinnar eru áunnir vextir?