Mynd 1. Dæmi um svonefnt „spaghettílíkan“, sem nota má til að spá fyrir um mögulegar leiðir hitabeltisstorms. 1
Íbúar suðausturhluta Bandaríkjanna þekkja mætavel kort á borð við það sem sýnt er á mynd 1 og nefnast spaghettílíkön. Í þeim er veðurgögnum úr mörgum áttum steypt saman til að spá fyrir um líklegustu leið fellibyls. Hver lituð lína sýnir eina mögulega leið. Hópur sveigðra lína getur minnt á spaghettíþræði og þaðan kemur heitið. Í þessum hluta kynnumst við aðferðum við slíkar spár.
Líkindalíkön sett fram
Gerum ráð fyrir að sex hliða teningi sé kastað. Teningakast er dæmi um tilraun, það er athöfn með sýnilega niðurstöðu. Tölurnar á teningnum eru mögulegar niðurstöður, eða útkomur, tilraunarinnar. Mengi allra mögulegra útkoma tilraunar nefnist úrtaksrúm hennar. Úrtaksrúm þessarar tilraunar er Atburður er sérhvert hlutmengi úrtaksrúms.
Líkur lýsa því hve líklegt er að atburður gerist. Líkur atburðar eru tala sem uppfyllir alltaf þar sem 0 táknar ómögulegan atburð og 1 öruggan atburð. Líkindalíkan er stærðfræðileg lýsing á tilraun þar sem allar mögulegar útkomur og líkur þeirra eru tilgreindar. Ef til dæmis líkur á að vinna í happdrætti eru 1% líkur og líkur á að tapa eru 99% líkur lítur líkindalíkanið út svipað og tafla 1.
Útkoma
Líkur
Happdrættið vinnst
1%
Happdrættið tapast
99%
Summa líknanna í líkindalíkani verður að vera 1, eða 100%.
Dæmi 1
Líkindalíkan sett fram
Setjið fram líkindalíkan fyrir eitt kast með sanngjörnum teningi þar sem atburðurinn er talan sem kemur upp.
Lausn
Byrjið á að telja upp allar mögulegar útkomur tilraunarinnar. Útkomurnar eru tölurnar sem geta komið upp: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Þessar sex mögulegu útkomur mynda úrtaksrúmið.
Úthlutið hverri útkomu í úrtaksrúminu líkum með því að finna hlutfall hennar af fjölda mögulegra útkoma. Hver talnanna sex kemur einu sinni fyrir á teningnum og engin ástæða er til að telja að ein hlið komi frekar upp en önnur. Líkurnar á hverri tölu eru því
Útkoma
1 kemur upp
2 kemur upp
3 kemur upp
4 kemur upp
5 kemur upp
6 kemur upp
Líkur
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
Líkur jafnlíklegra útkoma reiknaðar
Látum vera úrtaksrúm tilraunar. Í líkindafræði er atburður sérhvert hlutmengi Þegar allar útkomur tilraunar eru jafnlíklegar má finna líkur atburðar með því að deila fjölda útkoma í atburðinum með heildarfjölda útkoma í Gerum ráð fyrir að teningi sé kastað og við viljum finna líkurnar á atburðinum „tala sem er minni en eða jöfn 4 kemur upp“. Í atburðinum eru 4 mögulegar útkomur og í 𝑆 eru 6 mögulegar útkomur. Líkur atburðarins eru því
Dæmi 2
Líkur atburðar með jafnlíklegum útkomum reiknaðar
Sex hliða teningi er kastað. Finnið líkurnar á að oddatala komi upp.
Lausn
Atburðurinn „oddatala kemur upp“ inniheldur þrjár útkomur. Í úrtaksrúminu eru 6 jafnlíklegar útkomur. Deilið til að finna líkur atburðarins.
Líkur sammengis tveggja atburða reiknaðar
Oft viljum við finna líkurnar á að einn af fleiri en einum atburði gerist. Gerum ráð fyrir að við spilum spil og vinnum ef næsta spil sem dregið er er annaðhvort hjarta eða kóngur. Þá viljum við finna líkurnar á að næsta spil sé hjarta eða kóngur. Sammengi tveggja atburða 𝐸 a n d 𝐹 , w r i t t e n 𝐸 ∪ 𝐹 , E og F, táknað E ∪ F, er atburðurinn sem gerist ef annar eða báðir atburðirnir gerast.
Gerum ráð fyrir að skífunni á mynd 2 sé snúið. Við viljum finna líkurnar á að skífan stöðvist á appelsínugulum geira eða á
Geirarnir eru alls 6 og 3 þeirra eru appelsínugulir. Líkurnar á appelsínugulum geira eru því Geirarnir eru alls 6 og 2 þeirra eru merktir Líkurnar á eru því Ef við legðum þessar líkur saman teldum við geirann sem er bæði appelsínugulur og merktur tvisvar. Til að finna líkurnar á appelsínugulum geira eða 𝑏 þurfum við að draga frá líkurnar á geira sem er bæði appelsínugulur og merktur
Líkurnar á appelsínugulum geira eða eru
Dæmi 3
Líkur sammengis tveggja atburða reiknaðar
Spil er dregið úr venjulegum spilastokk. Finnið líkurnar á að draga hjarta eða 7.
Lausn
Í venjulegum spilastokki eru jafnmörg hjörtu, tíglar, lauf og spaðar. Líkurnar á að draga hjarta eru því Í venjulegum spilastokki eru fjögur 7s og spilin eru alls 52. Líkurnar á að draga 7 eru því
Eina spilið sem er bæði hjarta og 7 er hjarta-7. Líkurnar á að draga spil sem er bæði hjarta og 7 eru því 1 5 2 . 1/52 . Setjið 𝑃 ( 𝐻 ) = 1 4 , 𝑃 ( 7 ) = 1 1 3 , a n d 𝑃 ( 𝐻 ∩ 7 ) = 1 5 2 P ( H ) = 1/4 , P ( 7 ) = 1/13 , og P ( H ∩ 7 ) = 1/52 inn í formúluna.
Líkurnar á að draga hjarta eða 7 eru
Líkur ósamrýmanlegra atburða reiknaðar
Gerum ráð fyrir að skífunni á mynd 2 sé snúið aftur en nú viljum við finna líkurnar á appelsínugulum geira eða Enginn geiri er bæði appelsínugulur og merktur svo þessir atburðir hafa enga sameiginlega útkomu. Atburðir sem hafa enga sameiginlega útkomu nefnast ósamrýmanlegir. Þar sem engin skörun er þarf ekkert að draga frá og almenna formúlan verður
Takið eftir að sniðmengi ósamrýmanlegra atburða og er tóma mengið. Líkurnar á appelsínugulum geira eru og líkurnar á eru Líkurnar á appelsínugulum geira eða finnast einfaldlega með því að leggja líkurnar saman.
Líkurnar á appelsínugulum geira eða eru
Dæmi 4
Líkur sammengis ósamrýmanlegra atburða reiknaðar
Spil er dregið úr venjulegum spilastokki. Finnið líkurnar á að draga hjarta eða spaða.
Lausn
Atburðirnir „hjarta er dregið“ og „spaði er dreginn“ eru ósamrýmanlegir vegna þess að þeir geta ekki gerst samtímis. Líkurnar á hjarta eru og líkurnar á spaða eru einnig 1 4 . Líkurnar á hjarta eða spaða eru því
Fyllireglan notuð til að reikna líkur
Við höfum fjallað um hvernig reikna má líkurnar á að atburður gerist. Stundum viljum við finna líkurnar á að hann gerist ekki. Fylliatburður atburðar táknaður er mengi þeirra útkoma í úrtaksrúminu sem eru ekki í Gerum til dæmis ráð fyrir að við viljum finna líkurnar á að hestur tapi kapphlaupi. Ef atburðurinn er að hesturinn vinni er fylliatburður að hesturinn tapi.
Til að finna líkurnar á að hesturinn tapi notum við þá staðreynd að summa allra líkna í líkindalíkani verður að vera 1.
Samanlagðar líkur á að hesturinn vinni og að hann tapi verða að vera 1. Ef líkurnar á sigri eru 1 9 eru líkurnar á tapi því einfaldlega
Dæmi 5
Fyllireglan notuð til að reikna líkur
Tveimur sex hliða teningum er kastað.
ⓐ Finnið líkurnar á að summa talnanna sem koma upp sé minni en eða jöfn 3.
ⓑ Finnið líkurnar á að summa talnanna sem koma upp sé stærri en 3.
Lausn
Fyrsta skrefið er að tilgreina úrtaksrúmið, sem inniheldur allar mögulegar útkomur. Teningarnir eru tveir og hvor þeirra hefur sex mögulegar útkomur. Með margföldunarlögmálinu fæst að mögulegar útkomur eru alls eða . 36 Til dæmis táknar 1-1 að 1 komi upp á báðum teningum.
1 - 1 1-1
1 - 2 1-2
1 - 3 1-3
1 - 4 1-4
1 - 5 1-5
1 - 6 1-6
2 - 1 2-1
2 - 2 2-2
2 - 3 2-3
2 - 4 2-4
2 - 5 2-5
2 - 6 2-6
3 - 1 3-1
3 - 2 3-2
3 - 3 3-3
3 - 4 3-4
3 - 5 3-5
3 - 6 3-6
4 - 1 4-1
4 - 2 4-2
4 - 3 4-3
4 - 4 4-4
4 - 5 4-5
4 - 6 4-6
5 - 1 5-1
5 - 2 5-2
5 - 3 5-3
5 - 4 5-4
5 - 5 5-5
5 - 6 5-6
6 - 1 6-1
6 - 2 6-2
6 - 3 6-3
6 - 4 6-4
6 - 5 6-5
6 - 6 6-6
ⓐ Telja þarf leiðirnar til að fá summu sem er 3 eða minni. Útkomurnar eru 1-1, 1-2 og 2-1. Aðeins þrjár útkomur gefa summu sem er 3 eða minni. Líkurnar eru
ⓑ Í stað þess að telja upp allar útkomur getum við notað fylliregluna. Þar sem við höfum þegar fundið líkur fylliatburðarins drögum við þær frá 1 til að finna líkurnar á að summa talnanna sé stærri en 3.
Líkur reiknaðar með talningarfræði
Mörg áhugaverð líkindaverkefni byggjast á talningarreglum, umröðunum og samantektum. Í slíkum verkefnum notum við umraðanir og samantektir til að finna fjölda staka í atburðum og úrtaksrúmum. Verkefnin geta verið flókin en verða viðráðanlegri ef þeim er skipt í smærri talningarverkefni.
Gerum til dæmis ráð fyrir að verslun eigi 8 farsíma og að 3 þeirra séu gallaðir. Við gætum viljað finna líkurnar á að par sem kaupir 2 síma fái 2 ógallaða síma. Þá þarf að reikna bæði fjölda leiða til að velja 2 ógallaða síma og fjölda leiða til að velja 2 síma alls. Ógölluðu símarnir eru 5, svo velja má 2 þeirra á vegu. Símarnir eru alls 8, svo velja má 2 síma á vegu. Líkurnar á að velja 2 ógallaða síma eru:
Dæmi 6
Líkur reiknaðar með talningarfræði
Barn velur af handahófi 5 leikföng úr kassa sem inniheldur 3 kanínur, 5 hunda og 6 birni.
ⓐ Finnið líkurnar á að aðeins birnir séu valdir.
ⓑ Finnið líkurnar á að 2 birnir og 3 hundar séu valdir.
ⓒ Finnið líkurnar á að að minnsta kosti 2 hundar séu valdir.
Lausn
ⓐ Telja þarf bæði fjölda leiða til að velja aðeins birni og heildarfjölda leiða til að velja 5 leikföng. Birnirnir eru 6, svo velja má 5 birni á vegu. Leikföngin eru 14, svo velja má hvaða 5 leikföng sem er á vegu.
ⓑ Telja þarf fjölda leiða til að velja 2 birni og 3 hunda og heildarfjölda leiða til að velja 5 leikföng. Birnirnir eru 6, svo velja má 2 birni á vegu. Hundarnir eru 5, svo velja má 3 hunda á vegu. Þar sem birnir og hundar eru valdir samtímis notum við margföldunarlögmálið. Velja má 2 birni og 3 hunda á vegu. Þessa niðurstöðu notum við til að finna líkurnar.
ⓒOft er auðveldast að leysa verkefni um „að minnsta kosti“ með fyllireglunni. Byrjum á að finna líkurnar á að færri en 2 hundar séu valdir. Ef færri en 2 hundar eru valdir er annaðhvort enginn hundur valinn eða 1 hundur. Ef enginn hundur er valinn koma öll 5
leikföngin úr hópi 9 leikfanga sem eru ekki hundar. Velja má úr þessum 9 leikföngum á vegu. Leikföngin eru alls 14, svo velja má 5 úr öllum leikföngunum á vegu.
Ef 1 hundur er valinn verða 4 leikföng að koma úr hópi 9 leikfanga sem eru ekki hundar og 1 úr hópi 5 hunda. Þar sem bæði hundur og annað leikfang eru valin samtímis notum við margföldunarlögmálið. Velja má 1 hund og 1 annað leikfang á vegu.
Þar sem atburðirnir geta ekki gerst samtímis og eru því ósamrýmanlegir leggjum við líkurnar saman til að finna líkurnar á að færri en 2 hundar séu valdir.
Að lokum drögum við þær líkur frá 1 til að finna líkurnar á að að minnsta kosti 2 hundar séu valdir.
11.7 Verkefni hlutans
Munnleg verkefni
1.
Hvaða hugtak lýsir því hve líklegt er að atburður gerist? Eru einhverjar takmarkanir á gildum þess? Ef svo er, hverjar? Ef ekki, útskýrið.
2.
Hvað er úrtaksrúm?
3.
Hvað er tilraun?
4.
Hver er munurinn á atburðum og útkomum? Nefnið dæmi um hvort tveggja með úrtaksrúmi þar sem peningi er kastað 50 sinnum.
5.
Sammengi tveggja mengja er mengi þeirra staka sem eru í að minnsta kosti öðru menginu. Að hvaða leyti svipar þessari skilgreiningu til skilgreiningar á sammengi tveggja atburða í líkindalíkani? Að hvaða leyti er hún frábrugðin?
Töluleg verkefni
Notið skífuna á mynd 3 í eftirfarandi verkefnum til að finna tilgreindar líkur.
6.
Skífan stöðvast á rauðu
7.
Skífan stöðvast á sérhljóða
8.
Skífan stöðvast ekki á bláu
9.
Skífan stöðvast á fjólubláu eða sérhljóða
10.
Skífan stöðvast á bláu eða sérhljóða
11.
Skífan stöðvast á grænu eða bláu
12.
Skífan stöðvast á gulu eða samhljóða
13.
Skífan stöðvast ekki á gulu eða samhljóða
Tveimur peningum er kastað í eftirfarandi verkefnum.
14.
Hvert er úrtaksrúmið?
15.
Finnið líkurnar á að skjaldarmerki komi upp á báðum peningum.
16.
Finnið líkurnar á að nákvæmlega einn fiskur komi upp.
17.
Finnið líkurnar á að að minnsta kosti einn fiskur komi upp.
Fjórum peningum er kastað í eftirfarandi verkefnum.
18.
Hvert er úrtaksrúmið?
19.
Finnið líkurnar á að nákvæmlega tvö skjaldarmerki komi upp.
20.
Finnið líkurnar á að nákvæmlega þrjú skjaldarmerki komi upp.
21.
Finnið líkurnar á fjórum skjaldarmerkjum eða fjórum fiskum.
22.
Finnið líkurnar á að fiskur komi upp á öllum peningunum.
23.
Finnið líkurnar á að fiskur komi ekki upp á öllum peningunum.
24.
Finnið líkurnar á nákvæmlega tveimur skjaldarmerkjum eða að minnsta kosti tveimur fiskum.
25.
Finnið líkurnar á annaðhvort tveimur eða þremur skjaldarmerkjum.
Eitt spil er dregið úr venjulegum spila stokki í eftirfarandi verkefnum. Finnið líkurnar á að draga:
26.
Lauf
27.
Tvist
28.
Sexu eða sjöu
29.
Rauða sexu
30.
Ás eða tígul
31.
Spil sem er ekki ás
32.
Hjarta eða spil sem er ekki gosi
Tveimur teningum er kastað í eftirfarandi verkefnum og tölurnar lagðar saman.
33.
Gerið töflu sem sýnir úrtaksrúm útkoma og summa.
34.
Finnið líkurnar á summunni
35.
Finnið líkurnar á að að minnsta kosti ein fjögur komi upp eða að summan sé
36.
Finnið líkurnar á oddatölusummu sem er minni en
37.
Finnið líkurnar á summu sem er stærri en eða jöfn
38.
Finnið líkurnar á summu sem er minni en
39.
Finnið líkurnar á summu sem er minni en eða stærri en
40.
Finnið líkurnar á summu frá og með 6 6 til og með 9 . 9 ,
41.
Finnið líkurnar á summunni eða
42.
Finnið líkurnar á hvaða summu sem er annarri en eða
Í eftirfarandi verkefnum er peningi kastað og spil dregið úr venjulegum spilastokki. Finnið líkurnar á eftirfarandi:
43.
Skjaldarmerki á peningnum eða lauf
44.
Fiskur á peningnum eða rauður ás
45.
Skjaldarmerki á peningnum eða mannspil
46.
Engir ásar
Notið eftirfarandi aðstæður í næstu verkefnum: Poki af M&M-sælgæti inniheldur bláar, brúnar, appelsínugular, gular, rauðar og grænar M&M-kúlur. Manneskja seilist í pokann og tekur 5 kúlur.
47.
Hverjar eru líkurnar á að allar M&M-kúlurnar séu bláar?
48.
Hverjar eru líkurnar á að fá bláar M&M-kúlur?
49.
Hverjar eru líkurnar á að fá bláar M&M-kúlur?
50.
Hverjar eru líkurnar á að fá enga brúna M&M-kúlu?
Frekari verkefni
Notið eftirfarandi aðstæður í næstu verkefnum: Í Keno velur leikmaður fyrst tölur úr tölunum til Eftir val leikmannsins eru vinningstölur valdar af handahófi úr tölunum til Leikmaður vinnur ef hann hefur valið rétt 3, 4 eða af vinningstölunum. Námundið öll svör að næsta hundraðshluta úr prósentu.
51.
Hverjar eru prósentulíkurnar á að leikmaður velji nákvæmlega 3 vinningstölur?
52.
Hverjar eru prósentulíkurnar á að leikmaður velji nákvæmlega 4 vinningstölur?
53.
Hverjar eru prósentulíkurnar á að leikmaður velji allar 5 vinningstölurnar?
54.
Hverjar eru prósentulíkurnar á vinningi?
55.
Hve miklu minni eru líkurnar á að leikmaður velji 3 vinningstölur en að hann velji annaðhvort 4 eða 5 vinningstölur?
Hagnýt verkefni
Notið eftirfarandi gögn í næstu verkefnum: Árið 2013 voru um 317 milljónir bandarískra ríkisborgara og um 40 milljónir þeirra voru aldraðar, það er 65 ára eða eldri. 2
56.
Ef þið hittið bandarískan ríkisborgara, hverjar eru prósentulíkurnar á að viðkomandi sé aldraður? Námundið að næsta tíundahluta úr prósentu.
57.
Ef þið hittið fimm bandaríska ríkisborgara, hverjar eru prósentulíkurnar á að nákvæmlega einn þeirra sé aldraður? Námundið að næsta tíundahluta úr prósentu.
58.
Ef þið hittið fimm bandaríska ríkisborgara, hverjar eru prósentulíkurnar á að þrír þeirra séu aldraðir? Námundið að næsta tíundahluta úr prósentu.
59.
Ef þið hittið fimm bandaríska ríkisborgara, hverjar eru prósentulíkurnar á að fjórir þeirra séu aldraðir? Námundið að næsta þúsundshluta úr prósentu.
60.
Því er spáð að árið 2030 verði einn af hverjum fimm bandarískum ríkisborgurum aldraður. Hve miklu meiri verða líkurnar á að hitta aldraða manneskju þá? Hvaða stefnubreytingar teljið þið líklegar ef þessi spá rætist?
Neðanmálsgreinar
1 Myndin er aðeins til skýringar og sýnir ekki líkan af tilteknum stormi.
