Mynd 7.2. Margföldunarlögmálið gerir kleift að reikna flóknari líkur, svo sem á að draga tvo ása úr spilastokki. (mynd: „Pair of Aces – Poker“ eftir Poker Photos/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Eftir þennan hluta áttu að geta:
beitt margföldunarlögmálinu til að leysa talningarverkefni.
Meðal þess fyrsta sem börn læra í stærðfræði er að telja hluti með því að benda á þá hvern af öðrum og segja „einn, tveir, þrír, …“. Aðferðin nýtist vel en verður þung í vöfum þegar fjöldinn vex og óframkvæmanleg fyrir gríðarstórar tölur. Stærðfræðingar hafa því þróað styttri talningaraðferðir. Þær tilheyra talningarfræði, þeirri grein stærðfræðinnar sem fæst við talningu.
Margföldun sem flýtileið í talningu
Ein fyrsta flýtileiðin í talningu sem nemendur læra í skóla tengist flatarmáli rétthyrninga. Ef raða má hlutunum sem á að telja í rétthyrning má nota margföldun til að telja þá. Skoðum hlutina á mynd 7.3:
Auðvitað má telja boltana einn af öðrum, en skilvirkara er að flokka þá, eins og á mynd 7.4.
Ef við flokkum boltana fjóra saman sjáum við sex hópa. Einnig má líta á röðunina sem fjóra hópa með sex boltum í hverjum. Þar sem margföldun er endurtekin samlagning, það er , sjáum við fljótt að boltarnir eru 24.
Alhæfum hugmyndina. Bakarí býður sérsniðnar bollakökur með þremur bragðtegundum af köku: vanillu, súkkulaði og jarðarberi. Á hverja bollaköku má velja eina af fjórum tegundum krems: vanillu-, súkkulaði-, sítrónu- eða jarðarberjakrem. Hve margar ólíkar samsetningar eru mögulegar? Setja má alla möguleikana í töflu þar sem bragðtegundir kökunnar mynda raðirnar og kremtegundirnar dálkana, eins og á mynd 7.5.
Þrjár raðir kökutegunda og fjórir dálkar kremtegunda gefa mögulegar samsetningar. Þessi hugmynd liggur að baki margföldunarlögmálinu, sem einnig nefnist grundvallartalningarreglan. Ef framkvæma má eitt verk á vegu og annað verk á vegu má framkvæma bæði verkin á vegu. Bæta má við fleiri verkum með því að margfalda fyrra margfeldið með fjölda leiða til að framkvæma hvert þeirra.
Dæmi 7.1
Beiting margföldunarlögmálsins
Hvert spil í venjulegum spilastokki hefur tvö einkenni: sort, það er lauf, tígul, hjarta eða spaða, táknuð , , og , og gildi, það er ás, 2–10, gosi, drottning eða kóngur, táknuð A, 2–10, J, Q og K. Hvert mögulegt par sortar og gildis kemur nákvæmlega einu sinni fyrir. Hve mörg spil eru í stokknum?
Lausn
Sortirnar eru fjórar og gildin þrettán, svo spilin eru , eins og mynd 7.6 sýnir.
Mynd 7.6. Venjulegur spilastokkur flokkaður eftir gildi og sort (mynd: „Playing Cards, USS Arkansas“ eftir Naval History & Heritage Command/Flickr, CC BY 2.0)
Dæmi 7.2
Beiting margföldunarlögmálsins á fjóra flokka
Talningarfræðifélag háskólans hefur 31 félaga: átta á fjórða ári, sjö á þriðja ári, fimm á öðru ári og ellefu á fyrsta ári. Hve margar ólíkar fjögurra manna nefndir má mynda með einum úr hverjum árgangi?
Lausn
Velja má úr átta nemendum á fjórða ári, sjö á þriðja ári, fimm á öðru ári og ellefu á fyrsta ári. Því má skipa nefndina á vegu.
Dæmi 7.3
Beiting margföldunarlögmálsins á fleiri flokka
Venjuleg skráningarmerki ökutækja í tilteknu fylki hafa sex tákn: þrjá bókstafi og síðan þrjá tölustafi. Velja má úr 26 bókstöfum og tíu tölustöfum, 0–9. Hve mörg skráningarmerki má mynda með þessu sniði?
Lausn
Þar sem bókstafirnir eru 26 og tölustafirnir tíu er heildarfjöldinn .
Prófaðu skilning þinn
Vefsíða fyrir sérsniðin belti býður átján sylgjur og þrjátíu ólar. Hve mörg ólík belti má búa til?
Kjúklingaveitingakeðja býður máltíð með annaðhvort þremur eða fimm kjúklingalengjum og einu meðlæti. Meðlætisvalkostirnir eru sjö. Hve margar ólíkar máltíðir má setja saman?
Peningakast hefur tvær mögulegar útkomur, framhlið og bakhlið. Gerum ráð fyrir að peningnum sé kastað tíu sinnum og útkoma hvers kasts skráð sem H fyrir framhlið og T fyrir bakhlið. Hve margar ólíkar tíu tákna runur eru mögulegar?
Bolaframleiðandi býður sérsniðna boli í fimm stærðum, átta bolalitum, fjórum mynstrum og fimm mynstralitum. Hve marga ólíka boli má gera?
Josephine raðar stundaskrá næstu annar. Vegna vinnu getur hún aðeins sótt fjögur kennslutímabil og þarf að taka fjögur námskeið. Í boði eru fimmtán námskeið á fyrsta tímabili, átján á öðru, tólf á þriðja og átta á fjórða. Hve margar stundaskrár getur hún myndað?
Æfingar úr hluta 7.1
Ísbúð selur 26 bragðtegundir. Einfaldur ísréttur hefur eina kúlu af hvaða bragðtegund sem er, eina af þremur sósum og eitt af átta áleggjum.
1.
Hve margir ólíkir einfaldir ísréttir eru mögulegir?
2.
Ísbúðin selur einnig miðlungsrétt með sömu valkostum en tveimur ískúlum, sem mega vera af sömu eða ólíkri bragðtegund. Hve margir ólíkir miðlungsréttir eru mögulegir?
3.
Stór ísréttur hefur þrjár ískúlur, tvær sósur og þrjú álegg. Kúlurnar mega vera af hvaða bragðtegundum sem er, sósurnar eins eða ólíkar og áleggið þrír skammtar af sömu tegund, tveir af einni og einn af annarri eða þrjár ólíkar tegundir. Hve margir ólíkir stórir ísréttir eru mögulegir?
4.
Fyrirtæki sem smíðar sérsniðnar tölvur býður fjórar stærðir harðdiska, fjórar stærðir vinnsluminnis, þrjú skjákort og þrjá skjávalkosti. Hve margar tölvusamsetningar eru í boði ef einn valkostur er valinn úr hverjum flokki?
5.
Tölvuleikur leyfir sérsniðnar leikpersónur. Velja má tólf hárgreiðslur, fimm hárliti, átta húðliti, 24 boli, tólf buxur og átta skópör. Hve margar ólíkar leikpersónur eru mögulegar?
6.
Lítið fyrirtæki hefur þrjár deildir: sölu, rannsóknir og þróun og framleiðslu. Einn úr hverri deild er valinn í ráðgjafarnefnd stjórnenda. Ef átta vinna í sölu, fimmtán í rannsóknum og þróun og 48 í framleiðslu, hve margar samsetningar nefndarinnar eru mögulegar?
7.
Krossapróf hefur fimm spurningar með fjórum svarmöguleikum hver. Á hve marga vegu má svara prófinu?
8.
Kennarinn þyngir prófið með fimm svarmöguleikum við hverja spurningu. Á hve marga vegu má nú svara því?
9.
Í Bandaríkjunum fá útvarps- og sjónvarpsstöðvar einkvæm fjögurra bókstafa kallmerki. Fyrsti bókstafurinn er K eða W; að jafnaði eru K-stöðvar vestan Mississippi og W-stöðvar austan fljótsins, þó með undantekningum. Hinir þrír bókstafirnir eru frjálsir. Hve mörg kallmerki eru möguleg?
10.
Yngri systir biður eldri bróður sinn að spila nýjan leik sem hún hefur fundið upp. Í leiknum er notaður breyttur spilastokkur með þremur sortum og aðeins töluspilunum 2–10. Hve mörg spil eru í stokknum?
11.
Í borðspilinu Mastermind eru tveir leikmenn. Annar býr til kóða úr fjórum litum, sýndum með fjórum lituðum pinnum, og litir mega endurtaka sig. Hinn reynir að giska á kóðann. Ef velja má úr sex litum, hve marga kóða má mynda?
