77 Líkindafræði

7.9 Skilyrtar líkur og margföldunarreglan

Tveir rauðir teningar. Fyrri teningurinn sýnir 5 og sá síðari 1. — **Mynd 7.37.** Ef tveimur teningum er kastað einum í einu hefur talan á fyrri teningnum áhrif á mögulegar summur teninganna. (mynd: „dice“ eftir Ciarán Archer/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

reiknað skilyrtar líkur.
beitt margföldunarreglu líkindareiknings til að reikna líkur.

Í dæmi 7.18 settum við upp eftirfarandi töflu (mynd 7.38) til að finna líkur sem tengjast kasti tveggja venjulegra sex hliða teninga:

Tafla með sex röðum og sex dálkum. Dálkarnir tákna fyrri teninginn og eru merktir 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Raðirnar tákna síðari teninginn og eru einnig merktar 1–6. Gögnin eru: Röð 1: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Röð 2: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Röð 3: 4, 5, 6, 7, 8, 9. Röð 4: 5, 6, 7, 8, 9, 10. Röð 5: 6, 7, 8, 9, 10, 11. Röð 6: 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Til dæmis gefa 3 af þessum 36 jafnlíklegu útkomum summuna 10, svo líkurnar á summunni 10 eru $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ . Ef teningunum er hins vegar kastað einum í einu breytast líkurnar þegar fyrri teningurinn hefur stöðvast. Sýni hann 5 aukast líkurnar á summunni 10 í $\frac{1}{6}$ , því atburðurinn gerist ef síðari teningurinn sýnir líka 5, sem er ein af sex jafnlíklegum útkomum hans. Sýni fyrri teningurinn þess í stað 3 falla líkurnar á summunni 10 niður í 0, því engin útkoma síðari teningsins getur þá gefið summuna 10.

Skilningur á því hvernig líkur geta breyst þegar nýjar upplýsingar fást er mikilvægur við greiningu annarrar gerðar samsettra atburða: þeirra sem myndaðir eru með „og“. Í þessum hluta lærum við að reikna líkur slíkra samsettra atburða.

Skilyrtar líkur

Þegar fjölþrepa tilraunir eru greindar uppfærum við oft líkur mögulegra lokaútkoma eða síðari þrepa tilraunarinnar út frá niðurstöðum eins eða fleiri upphafsþrepa. Þessar uppfærðu líkur kallast skilyrtar líkur.

Með öðrum orðum: $O$ Ef O er möguleg útkoma fyrsta þreps fjölþrepa tilraunar eru skilyrtar líkur atburðar E að O gefnu táknaðar P(E|O) $E$ og lesnar $O$ „líkurnar $P (E | O)$ á E að O gefnu“. $E$ Þetta $O$ eru uppfærðar líkur á E miðað $E$ við forsenduna að O $O$ hafi gerst.

Í dæminu í upphafi hlutans má líta á kast tveggja teninga sem fjölþrepa tilraun: fyrst er öðrum kastað og síðan hinum. Látum E vera atburðinn $E$ „summan 10 kemur upp“, O atburðinn „fyrri $O$ teningurinn sýnir 5“ og Q atburðinn $Q$ „fyrri teningurinn sýnir 3“. Þá reiknuðum við P(E)=1/12, P(E|O)=1/6 og $P (E) = \frac{1}{12}$ $P (E | O) = \frac{1}{6}$ P(E|Q)=0. $P (E | Q) = 0$

Dæmi 7.31

Skilyrtar líkur reiknaðar

April og Ben leika leik þar sem peningi er kastað upp. April kastar peningnum þrisvar. Komi framhlið oftar upp en bakhlið vinnur April, en komi bakhlið oftar upp vinnur Ben. Látum A vera atburðinn $A$ „April vinnur“, H „fyrsta kastið $H$ er framhlið“ og T „fyrsta kastið $T$ er bakhlið“. Reiknaðu P(A), P(A|H) og $P (A)$ $P (A | H)$ P(A|T). $P (A | T)$
Þú ætlar að draga tvö spil án endurvals úr stokki sem inniheldur aðeins þessi tíu spil: A♡, A♠, A♣, A♢, K♠, $A ♡$ $A ♠$ $A ♣$ K♣, $A ♢$ $K ♠$ $K ♣$ $Q ♡$ $Q ♠$ Q♡, $J ♡$ $J ♠$ Q♠, J♡ og J♠. Skilgreinum eftirfarandi atburði: F $F$ er „bæði spilin hafa sama gildi“, A er $A$ „fyrra spilið er ás“ og K $K$ er „fyrra spilið er kóngur“. Reiknaðu P(F|A) og $P (F | A)$ P(F|K). $P (F | K)$
Í sokkaskúffu Jims eru 5 svartir sokkar og 3 bláir. Jim vill ekki kveikja ljósið og vekja maka sinn og klæðir sig því í tvo sokka sem hann velur af handahófi. $M$ Látum M vera atburðinn „sokkar Jims eru samstæðir“, $K$ K atburðinn „sokkurinn á vinstri fæti Jims er svartur“ og L $L$ atburðinn „sokkurinn á vinstri fæti Jims er blár“. Reiknaðu P(M), P(M|K) og $P (M)$ $P (M | K)$ P(M|L). $P (M | L)$

Lausn

Skref 1. Úrtaksrúmið er {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. Atburðurinn 𝐴 $A$ samanstendur af fyrstu fjórum útkomunum: HHH, HHT, HTH og THH. Því er 𝑃⁡(𝐴)=48=12 $P (A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Skref 2. Reiknum nú $P (A | H)$ . Við gefum okkur að framhlið hafi komið upp í fyrsta kastinu. Þá eru fjórar mögulegar útkomur eftir: HHH, HHT, HTH og HTT. Af þeim vinnur April í þremur tilvikum (HHH, HHT, HTH) en tapar í einu (HTT). Því er $P (A | H) = \frac{3}{4}$ .

Skref 3. Ef bakhlið kemur þess í stað upp í fyrsta kastinu eru mögulegu útkomurnar fjórar THH, THT, TTH og TTT. Af þeim vinnur April í einu tilviki (THH) en tapar í þremur (THT, TTH, TTT). Því er $P (A | T) = \frac{1}{4}$ .
Skref 1. Ef atburðurinn $A$ gerist er einn ásanna fjögurra dreginn fyrst. Þá eru eftir í stokknum 3 ásar, 2 kóngar, 2 drottningar og 2 gosar. Til að atburðurinn $F$ gerist verður síðara spilið að vera ás. Þar sem 3 ásar eru meðal þeirra 9 spila sem eftir eru er $P (F | A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

Skref 2. Ef atburðurinn $K$ gerist í staðinn er fyrra spilið kóngur. Þá eru eftir 4 ásar, 1 kóngur, 2 drottningar og 2 gosar. Að því gefnu að fyrra spilið sé kóngur gerist $F$ aðeins ef síðara spilið er líka kóngur. Þar sem aðeins einn kóngur er meðal þeirra 9 spila sem eftir eru er $P (F | K) = \frac{1}{9}$ .
Skref 1. Líta má á atburðinn $M$ sem samsettan atburð með „eða“: báðir sokkarnir eru bláir eða báðir svartir. Reiknum með samantektum líkurnar á að báðir séu bláir. Við veljum 2 sokka úr 8 og 3 þeirra eru bláir. Því er $P (báðir sokkar bláir) = \frac{_{3} C_{2}}{_{8} C_{2}} = \frac{3}{28}$ . Á sama hátt er $P (báðir sokkar svartir) = \frac{_{5} C_{2}}{_{8} C_{2}} = \frac{10}{28}$ . Þar sem atburðirnir eru ósamrýmanlegir má beita samlagningarreglunni: $P (M) = P (báðir sokkar bláir) + P (báðir sokkar svartir) = \frac{3}{28} + \frac{10}{28} = \frac{13}{28}$ .

Skref 2. Ef sokkurinn á vinstri fæti Jims er svartur, það er atburðurinn $K$ , eru 4 svartir sokkar meðal þeirra 7 sem eftir eru í skúffunni. Því er $P (M | K) = \frac{4}{7}$ .

Skref 3. Ef sokkurinn á vinstri fæti Jims er blár, það er atburðurinn $L$ , eru 2 bláir sokkar meðal þeirra 7 sem eftir eru. Því er $P (M | L) = \frac{2}{7}$ .

Vissir þú?

Brynvörn sprengjuflugvéla í síðari heimsstyrjöld

Í bók sinni How Not to Be Wrong segir Jordan Ellenberg þessa sögu: Í síðari heimsstyrjöld vildi bandaríski herinn bæta brynvörn sprengjuflugvéla til að draga úr líkum á að þær yrðu skotnar niður. Því var safnað gögnum um vélar sem sneru aftur úr leiðöngrum. Gögnin sýndu mun fleiri skotgöt á flugbol, vængjum og eldsneytiskerfi, miðað við flatarmál, en við vélarrúmi. Yfirmenn hersins vildu því bæta brynvörn þar sem vélarnar urðu oftast fyrir skotum. Sem betur fer leituðu þeir annars álits áður en ráðist var í verkið. Abraham Wald, gyðingur og stærðfræðingur sem hafði flúið uppgang nasistastjórnarinnar, benti á að miklu mikilvægara væri að brynverja svæðin þar sem skotgötin voru færri. Hvers vegna? Vélarnar sem voru rannsakaðar höfðu þegar lokið leiðöngrum sínum. Herinn var því í raun að skoða skilyrtar líkur: líkurnar á að flugvél yrði fyrir skoti að því gefnu að hún kæmist heil heim. Mörg skotgöt á tilteknu svæði sýndu að það skipti síður sköpum fyrir afkomu vélarinnar.

Samsettir atburðir með „og“ og margföldunarreglan

Í fjölþrepa tilraunum eru útkomur tilraunarinnar í heild oft orðaðar með útkomum einstakra þrepa. Algengt er að tengja þær með „og“. Í sokkaskúffudæminu hér á undan gæti ein útkoma til dæmis verið „vinstri sokkurinn er svartur og sá hægri blár“. Eins og þegar samsettir atburðir með „eða“ eiga í hlut má reikna þessar líkur með einföldum reikniaðgerðum.

Dæmi 7.32

Margföldunarreglu líkindareiknings beitt

Þú ert formaður félags með 10 félögum: 4 á fjórða ári, 3 á þriðja ári, 2 á öðru ári og 1 á fyrsta ári. Velja þarf tvo félaga sem fulltrúa í tveimur nefndum háskólans. Sá sem er valinn fyrst fer í verðlaunanefnd félagsins og sá síðari í móttökunefnd nýrra félaga. Sami einstaklingur má ekki sitja í báðum nefndum. Þú ákveður að velja fulltrúana af handahófi.

Hverjar eru líkurnar á að nemendur á fjórða ári verði valdir í báðar stöðurnar?
Hverjar eru líkurnar á að nemandi á þriðja ári verði valinn fyrst og nemandi á öðru ári annar?
Hverjar eru líkurnar á að nemandi á öðru ári verði valinn fyrst og nemandi á fjórða ári annar?

Lausn

Við þurfum líkurnar á að nemandi á fjórða ári sé valinn fyrst og annar nemandi á fjórða ári sé valinn annar. Þetta eru tvö þrep fjölþrepa tilraunar og því beitum við margföldunarreglunni: $P (fjórða árs nemandi valinn fyrst og fjórða árs nemandi valinn annar) = P (fjórða árs nemandi valinn fyrst) \times P (fjórða árs nemandi valinn annar | fjórða árs nemandi valinn fyrst) .$ Þar sem 4 af 10 félögum eru á fjórða ári er $P (fjórða árs nemandi valinn fyrst) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . Að því gefnu að slíkur nemandi hafi verið valinn fyrst eru 3 fjórða árs nemendur meðal þeirra 9 sem eftir eru. Því er $P (fjórða árs nemandi valinn annar | fjórða árs nemandi valinn fyrst) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . Saman gefur þetta $P (fjórða árs nemandi valinn fyrst og fjórða árs nemandi valinn annar) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$ .
Þrír af félögunum tíu eru á þriðja ári og því er $P (þriðja árs nemandi valinn fyrst) = \frac{3}{10}$ . Að því gefnu að slíkur nemandi hafi verið valinn fyrst eru 2 annars árs nemendur meðal þeirra 9 sem eftir eru og því er $P (annars árs nemandi valinn annar | þriðja árs nemandi valinn fyrst) = \frac{2}{9}$ . Með margföldunarreglunni fæst þá $P (þriðja árs nemandi valinn fyrst og annars árs nemandi valinn annar) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$ .
Líkurnar á að annars árs nemandi sé valinn fyrst eru $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ og líkurnar á að fjórða árs nemandi sé valinn annar að því gefnu að annars árs nemandi hafi verið valinn fyrst eru $\frac{4}{9}$ . Með margföldunarreglunni fæst því: $P (annars árs nemandi valinn fyrst og fjórða árs nemandi valinn annar) = \frac{1}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{45}$ .

REIKNAÐU ÞETTA

Afmælisvandinn

Eitt þekktasta viðfangsefni líkindafræðinnar er afmælisvandinn, sem snýst um sameiginlega afmælisdaga í stórum hópi. Til einföldunar sleppum við 29. febrúar og gefum okkur að líkurnar á að einstaklingur fæðist á hverjum tilteknum degi séu $\frac{1}{365}$ . Ef 366 manns eru í herbergi er öruggt að að minnsta kosti tveir þeirra eigi sama afmælisdag. Ímyndaðu þér að fyllt sé í herbergið með því að hleypa fyrst inn einstaklingi fæddum 1. janúar, síðan einum fæddum 2. janúar og svo koll af kolli. Sá 365. væri fæddur 31. desember. Bætist einum við verður afmælisdagur hans að falla saman við afmælisdag einhvers annars.

Skoðum hinn enda rófsins. Ef tveir einstaklingar eru valdir af handahófi, hverjar eru líkurnar á að þeir eigi sama afmælisdag? Eins og oft í líkindareikningi er best að finna fyrst líkurnar á að þeir eigi ekki sama afmælisdag. Afmælisdagur fyrri einstaklingsins má vera hvaða dagur sem er, með líkunum 1, og afmælisdagur hins síðari má vera hver dagur nema afmælisdagur þess fyrri, með líkunum $\frac{364}{365}$ . Líkurnar á ólíkum afmælisdögum eru því $1 \times \frac{364}{365} = \frac{364}{365}$ . Líkurnar á sama afmælisdegi eru þá $1 - \frac{364}{365} = \frac{1}{365}$ .

Hvað ef einstaklingarnir eru þrír? Framlengjum fyrri útreikning til að finna líkurnar á að allir eigi ólíka afmælisdaga. Líkurnar á að tveir eigi ólíka afmælisdaga eru 364/365. Ef þriðji einstaklingurinn $\frac{364}{365}$ bætist við eru líkurnar á að afmælisdagur hans sé ólíkur afmælisdögum hinna tveggja 363/365. Líkurnar á $\frac{363}{365}$ að allir þrír eigi ólíka afmælisdaga eru því 364/365 $\times ⁠$ 363/365≈0,9918 og $\frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.9918$ líkurnar á að einhverjir í hópnum eigi sama afmælisdag eru 1−0,9918≈0,0082. $1 - 0.9918 \approx 0.0082$

Stóra spurningin er þessi: Hve margir þurfa að vera í herberginu svo líkurnar á sameiginlegum afmælisdegi verði meiri en $\frac{1}{2}$ ? Giskaðu fyrst og haltu síðan, ásamt námsfélaga, áfram að bæta ímynduðum einstaklingum í hópinn og reikna líkurnar þar til markinu er náð.

Oft er gagnlegt að beita reglunum sem við höfum séð samhliða aðferðunum við að finna úrtaksrúm. Trjárit eru sérstaklega gagnleg þegar finna á líkur allra mögulegra útkoma í fjölþrepa tilraun. Næsta dæmi sýnir það.

Dæmi 7.33

Trjárit notuð til að finna líkur

Borðspilið Clue notar 21 spils stokk: 6 grunaða, 6 vopn og 9 herbergi. Segjum að draga eigi tvö spil úr stokknum. Mögulegar gerðir útkomu eru sex: 2 grunaðir, 2 vopn, 2 herbergi, 1 grunaður og 1 vopn, 1 grunaður og 1 herbergi eða 1 vopn og 1 herbergi. Hverjar eru líkurnar á hverri útkomu?

Lausn

Skref 1: Byrjum á að teikna trjárit sem sýnir bæði þrep tilraunarinnar. Notum S, W og R fyrir grunaðan, vopn og herbergi, í sömu röð og á frummyndinni (mynd 7.39).

Þriggja þrepa trjárit. Frá hnút í fyrsta þrepi liggja greinar að þremur hnútum merktum S, W og R í öðru þrepi. Annað þrepið táknar fyrra spilið. Í þriðja þrepi, sem táknar síðara spilið, greinist hver hnútanna S, W og R aftur í hnúta merkta S, W og R. Mögulegar útkomur eru SS, SW, SR, WS, WW, WR, RS, RW og RR. S táknar grunaðan, W vopn og R herbergi. — **Mynd 7.39.** Mynd 7.39

Skref 2: Reiknum fyrst líkur fyrsta þrepsins. Líkurnar á að fyrra spilið sé grunaður eru $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ . Líkurnar á að fyrra spilið sé vopn eru einnig $\frac{2}{7}$ . Að lokum eru líkurnar á að fyrra spilið sé herbergi $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ .

Skref 3: Bætum þessum líkum við trjáritið. Við merkjum greinarnar að hnútunum sem tákna útkomur fyrsta þreps með samsvarandi líkum (mynd 7.40).

Þriggja þrepa trjárit. Frá upphafshnút liggja greinar að hnútum merktum S, W og R með líkunum 2/7, 2/7 og 3/7, í sömu röð. Annað þrepið táknar fyrra spilið. Í þriðja þrepi, sem táknar síðara spilið, greinist hver hnútanna S, W og R í hnúta merkta S, W og R. Mögulegar útkomur eru SS, SW, SR, WS, WW, WR, RS, RW og RR. S táknar grunaðan, W vopn og R herbergi. — **Mynd 7.40.** Mynd 7.40

Athugaðu að summa líkanna á greinunum frá upphafshnútnum er 1. Þetta á alltaf að gilda um líkurnar á greinunum frá hverjum hnút.

Skref 4: Skoðum tilvikið þar sem fyrra spilið er grunaður. Þrjár greinar liggja frá þeim hnút, að útkomunum SS, SW og SR. Merkjum þær með viðeigandi skilyrtum líkum að því gefnu að fyrra spilið sé grunaður. Fyrst eru 5 spil með grunuðum meðal þeirra 20 spila sem eftir eru, svo P(síðara er grunaður | fyrra er grunaður)=5/20=1/4. Með sams konar rökum fæst P(síðara er vopn | fyrra er $P (síðara er grunaður | fyrra er grunaður) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ grunaður)=6/20=3/10 og P(síðara er herbergi | fyrra er $P (síðara er vopn | fyrra er grunaður) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ grunaður)=9/20. $P (síðara er herbergi | fyrra er grunaður) = \frac{9}{20}$

Skref 5: Til að yfirfara niðurstöðuna leggjum við saman þrjár líkur og sjáum að summa þeirra er aftur 1. Bætum þeim við trjáritið (mynd 7.41).

Þriggja þrepa trjárit. Frá upphafshnút liggja greinar að hnútum merktum S, W og R með líkunum 2/7, 2/7 og 3/7. Annað þrepið táknar fyrra spilið. Í þriðja þrepi greinist S í S, W og R með líkunum 1/4, 3/10 og 9/20. Hnútarnir W og R greinast hvor um sig í S, W og R án skráðra líka. Mögulegar útkomur eru SS, SW, SR, WS, WW, WR, RS, RW og RR. S táknar grunaðan, W vopn og R herbergi. — **Mynd 7.41.** Mynd 7.41

Skref 6: Höldum áfram að fylla inn skilyrtu líkurnar við hina hnútana og athugum ávallt að summa líkanna á greinunum frá hverjum hnút sé 1 (mynd 7.42).

Þriggja þrepa trjárit. Frá upphafshnút liggja greinar að S, W og R með líkunum 2/7, 2/7 og 3/7. Annað þrepið táknar fyrra spilið. Í þriðja þrepi greinist S í S, W og R með líkunum 1/4, 3/10 og 9/20; W greinist í S, W og R með líkunum 3/10, 1/4 og 9/20; og R greinist í S, W og R með líkunum 3/10, 3/10 og 2/5. Mögulegar útkomur eru SS, SW, SR, WS, WW, WR, RS, RW og RR. S táknar grunaðan, W vopn og R herbergi. — **Mynd 7.42.** Mynd 7.42

Skref 7: Reikna má líkurnar á að enda í hvaða lokahnút sem er með því að margfalda líkurnar eftir leiðinni að honum. Líkurnar á að draga fyrst grunaðan og síðan vopn, það er enda í hnútnum SW, eru til dæmis $\frac{2}{7} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{35}$ , eins og sýnt er á mynd 7.43.

Þriggja þrepa trjárit með sömu greinum og líkum og á mynd 7.42. Mögulegar útkomur eru SS, SW, SR, WS, WW, WR, RS, RW og RR. Leiðin frá upphafshnútnum um S til W er auðkennd. Við útkomuna SW stendur P(SW)=2/7×3/10=3/35. S táknar grunaðan, W vopn og R herbergi. — **Mynd 7.43.** Mynd 7.43

Skref 8: Fyllum inn líkurnar sem eftir eru (mynd 7.44).

Þriggja þrepa trjárit með sömu greinum og líkum og á mynd 7.42. Útkomulíkurnar eru: P(SS)=2/7×1/4=1/14; P(SW)=2/7×3/10=3/35; P(SR)=2/7×9/20=9/70; P(WS)=2/7×3/10=3/35; P(WW)=2/7×1/4=1/14; P(WR)=2/7×9/20=9/70; P(RS)=3/7×3/10=9/70; P(RW)=3/7×3/10=9/70; og P(RR)=3/7×2/5=6/35. S táknar grunaðan, W vopn og R herbergi. — **Mynd 7.44.** Mynd 7.44

Skref 9: Gagnlegur eiginleiki trjárita er að lokaútkomurnar eru alltaf ósamrýmanlegar og því má beita samlagningarreglunni beint. Líkurnar á að draga einn grunaðan og eitt herbergi, óháð röð, eru til $P (S R) + P (R S) = \frac{9}{70} + \frac{9}{70} = \frac{9}{35}$ dæmis P(SR)+P(RS)=9/70+9/70=9/35. Líkur hinna útkomanna má finna á sama hátt, eins og taflan sýnir:

Útkoma	Líkur
2 grunaðir	1 1 4 $\frac{1}{14}$
2 vopn	1 1 4 $\frac{1}{14}$
2 herbergi	6 3 5 $\frac{6}{35}$
1 grunaður og 1 vopn	3 3 5 + 3 3 5 = 6 3 5 $\frac{3}{35}$ + $\frac{3}{35}$ = $\frac{6}{35}$
1 grunaður og 1 herbergi	9 7 0 + 9 7 0 = 9 3 5 $\frac{9}{70}$ + $\frac{9}{70}$ = $\frac{9}{35}$
1 vopn og 1 herbergi	9 7 0 + 9 7 0 = 9 3 5 $\frac{9}{70}$ + $\frac{9}{70}$ = $\frac{9}{35}$

Við lokayfirferð sjáum við að summa þessara sex líka er 1, eins og vænta má.

REIKNAÐU ÞETTA

Monty Hall-vandinn

Í upprunalegu útgáfu sjónvarpsþáttarins Let’s Make a Deal, sem Monty Hall stýrði upphaflega en Wayne Brady síðar, var einn keppandi valinn til að leika um aðalvinning dagsins, oft bíl. Leikurinn fór þannig fram: Á sviðinu voru þrjú svæði á bak við tölusett tjöld. Bíllinn var falinn bak við eitt þeirra en verðlausir vinningar, kallaðir „Zonks“ í þættinum, bak við hin tvö. Keppandinn giskaði á hvaða tjald faldi bílinn. Til að auka spennuna sýndi Monty síðan hvað væri bak við annað hinna tjaldanna og þar var alltaf Zonk. Þar sem Monty vissi hvar bíllinn var hafði hann alltaf að minnsta kosti eitt óvalið Zonk-tjald til að opna. Síðan spurði hann keppandann: „Viltu halda þig við upphaflega valið eða skipta yfir í hitt tjaldið?“ Hvað ætti keppandinn að gera? Skiptir það máli?

Hermdu þennan leik með námsfélaga eða í litlum hópi. Nota má lítið sælgæti, sem táknar vinninginn, falið undir einum af þremur bollum eða þrjú spil, ef ákveðið er fyrir fram hvaða spil táknar aðalvinninginn. Einn leikur þáttastjórnandann og veit hvar vinningurinn er falinn. Annar leikur keppandann og reynir að giska á staðsetningu hans. Eftir giskið opnar þáttastjórnandinn tapmöguleika sem keppandinn valdi ekki. Keppandinn má þá halda sig við upphaflega valið eða skipta yfir í hinn óopnaða möguleikann. Leikið um 20 umferðir, skiptist á hlutverkum og gætið þess að nota báðar aðferðir keppandans, að halda eða skipta, álíka oft. Skráið eftir hverja umferð hvort keppandinn hélt eða skipti og hvort viðkomandi vann eða tapaði. Finnið reynslulíkur á sigri með hvorri aðferð og reynið síðan að staðfesta niðurstöðurnar með trjáriti.

Prófaðu skilning þinn

Í eftirfarandi æfingum er kastað tveimur sex hliða teningum sem hvor um sig hefur 3 appelsínugular hliðar, 2 grænar og 1 bláa.

Hverjar eru líkurnar á að appelsínugul hlið komi upp á báðum teningum?

Hverjar eru líkurnar á að græn hlið komi upp á báðum teningum?

Hverjar eru líkurnar á að appelsínugul hlið komi upp á öðrum teningnum og græn á hinum, óháð röð?

Í eftirfarandi æfingum eru tvö spil dregin af handahófi, án endurvals, úr stokki sem inniheldur aðeins þessi tíu spil:

♡

♠

♣

♢

♠

♣

♡

♠

♡

♠

Hverjar eru líkurnar á tveimur ásum?

Hverjar eru líkurnar á að draga fyrst ás og síðan kóng?

Hverjar eru líkurnar á að draga lauf

\clubsuit

og spaða

\spadesuit

, óháð röð?

Æfingar úr hluta 7.9

Í eftirfarandi æfingum skoðum við sérstakan sex hliða tening sem ber tölu og staf á hverri hlið: 1A, 1B, 2A, 2C, 4A og 4E. Teningnum er kastað tvisvar.

Hverjar eru líkurnar á að talan 1 komi upp í bæði skiptin?

Hverjar eru líkurnar á tveimur sérhljóðum?

Hverjar eru líkurnar á sléttri tölu í fyrra kasti og oddatölu í því síðara?

Hverjar eru líkurnar á einni sléttri tölu og einni oddatölu, óháð röð?

Hverjar eru líkurnar á að samhljóði komi upp í fyrra kasti og talan 1 í því síðara?

Hverjar eru líkurnar á einni tölu minni en 3 og einni tölu stærri en 3, óháð röð?

Í eftirfarandi æfingum dregur þú

Scrabble-flísar

úr poka sem inniheldur stafina A, A, C, E, E, E, L, L, N, O, R, S, S, S, T og X.

Ef ein flís er dregin af handahófi skaltu reikna

$P\left({\text{tile shows A}}\right)$
$P\left(\text{tile shows A}\,|\,\text{tile shows a vowel}\right)$

Ef ein flís er dregin af handahófi skaltu reikna:

$P({\text{tile shows a vowel}})$
$P\left({\text{tile shows a vowel}}\,|\,{\text{tile shows a letter that comes after M alphabetically}}\right)$

Ef tvær flísar eru dregnar með endurvali skaltu reikna

P({\text{both are vowels}})

10.

Ef tvær flísar eru dregnar án endurvals skaltu reikna

P({\text{both are vowels}})

11.

Ef tvær flísar eru dregnar með endurvali skaltu reikna

P({\text{first is a vowel and second is a consonant}})

12.

Ef tvær flísar eru dregnar án endurvals skaltu reikna

P({\text{first is a vowel and second is a consonant}})

13.

Ef tvær flísar eru dregnar með endurvali skaltu reikna

P({\text{one is a vowel and one is a consonant}})

14.

Ef tvær flísar eru dregnar án endurvals skaltu reikna

P({\text{one is a vowel and one is a consonant}})

15.

Ef tvær flísar eru dregnar með endurvali skaltu reikna

P({\text{both are Es}})

16.

Ef tvær flísar eru dregnar án endurvals skaltu reikna

P({\text{both are Es}})

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota töfluna, sem flokkar nemendur í tilteknum háskóla með breitt grunnnám eftir námsári og fræðasviði.

		Námsár
Fræðasvið	Listgreinar	138	121	148	132	539
Hugvísindi	258	301	275	283	1117	539
Félagsvísindi	142	151	130	132	555
Náttúruvísindi/stærðfræði	175	197	203	188	763
	Samtals	713	770	756	735
	Totals	713	770	756	735	2974

17.

Reiknaðu líkurnar á að nemandi sem valinn er af handahófi sé á öðru ári að því gefnu að viðkomandi stundi listgreinar.

18.

Reiknaðu líkurnar á að nemandi sem valinn er af handahófi stundi listgreinar að því gefnu að viðkomandi sé á öðru ári.

19.

Ef tveir fjórða árs nemendur eru valdir af handahófi skaltu reikna líkurnar á að báðir stundi félagsvísindi. Gefðu svarið sem tugabrot, námundað að fimm aukastöfum.

20.

Ef tveir hugvísindanemar eru valdir af handahófi skaltu reikna líkurnar á að sá fyrri sé á fjórða ári og sá síðari á þriðja ári. Gefðu svarið sem tugabrot, námundað að fimm aukastöfum.

21.

Ef tveir nemendur í náttúruvísindum/stærðfræði eru valdir af handahófi skaltu reikna líkurnar á að annar sé á öðru ári og hinn á fjórða ári, óháð röð. Gefðu svarið sem tugabrot, námundað að fimm aukastöfum.

22.

Ef tveir nemendur eru valdir af handahófi skaltu reikna líkurnar á að annar stundi listgreinar og hinn félagsvísindi, óháð röð. Gefðu svarið sem tugabrot, námundað að fimm aukastöfum.

Eftirfarandi æfingar fjalla um leikinn „Punch a Bunch“ í sjónvarpsþættinum The Price Is Right. Keppendur mega slá í gegnum allt að fjóra pappírshringi á spjaldi. Bak við hvern hring er spjald með dollaraupphæð. Hringirnir eru 50 og upphæðirnar koma fram í töflunni:

Dollaraupphæð	Tíðni
$25,000	1
$10,000	2
$5,000	4
$2,500	8
$1,000	10
$500	10
$250	10
$100	5

Keppandanum eru sýndar valdar dollaraupphæðir ein í einu og í þeirri röð sem þær voru valdar. Eftir hverja birtingu má viðkomandi þiggja upphæðina eða hafna henni og fá þá að sjá þá næstu. Sjá má leikinn í myndbandinu Playing “Punch a Bunch.” Jeremy leikur „Punch a Bunch“ og má slá tvisvar.

23.

Hverjar eru líkurnar á að bæði höggin séu minna en 1.000 dollara virði?

24.

Hverjar eru líkurnar á að bæði höggin séu meira en 2.500 dollara virði?

25.

Hverjar eru líkurnar á að síðara höggið sé meira virði en hið fyrra að því gefnu að fyrra höggið hafi verið 250 dollara virði?

26.

Hverjar eru líkurnar á að síðara höggið sé meira virði en hið fyrra að því gefnu að fyrra höggið hafi verið 1.000 dollara virði?

27.

Hverjar eru líkurnar á að síðara höggið sé minna virði en hið fyrra að því gefnu að fyrra höggið hafi verið 250 dollara virði?

28.

Hverjar eru líkurnar á að síðara höggið sé minna virði en hið fyrra að því gefnu að fyrra höggið hafi verið 1.000 dollara virði?

29.

Hverjar eru líkurnar á að bæði höggin séu 100 dollara virði?

30.

Hverjar eru líkurnar á að bæði höggin séu sömu upphæðar?

Í eftirfarandi æfingum skoðum við tvö hafnaboltalið í einvígi þar sem vinna þarf tvo af allt að þremur leikjum. Lið A er örlítið betra en lið B og því gerum við ráð fyrir að lið A vinni hvern leik með 55% líkum.

31.

Hverjar eru líkurnar á að lið A vinni einvígið að því gefnu að lið B vinni fyrsta leikinn?

32.

Hverjar eru líkurnar á að lið B vinni einvígið að því gefnu að lið B vinni fyrsta leikinn?

33.

Hverjar eru líkurnar á að lið B vinni einvígið að því gefnu að lið A vinni fyrsta leikinn?

34.

Hverjar eru líkurnar á að lið A vinni einvígið að því gefnu að lið A vinni fyrsta leikinn?

35.

Teiknaðu trjárit sem sýnir allar mögulegar útkomur einvígisins. Merktu greinarnar með viðeigandi líkum.

36.

Hverjar eru líkurnar á að lið A vinni einvígið?

37.

Ef lið A hefði þess í stað 75% líkur á að vinna hvern leik, hverjar væru þá líkurnar á að lið A ynni einvígið?

38.

Ef lið A hefði þess í stað 90% líkur á að vinna hvern leik, hverjar væru þá líkurnar á að lið A ynni einvígið?