77 Líkindafræði

7.2 Umraðanir

Þrír sundmenn keppa á aðskildum brautum. Sundmaðurinn á efstu braut er fyrstur, sá á neðstu braut annar og sá á miðbraut þriðji. — **Mynd 7.7.** Nota má umraðanir til að reikna fjölda mögulegra lokaraða í riðli sundkeppni á Ólympíuleikum. (mynd: „London 2012 Olympics Park Stratford London“ eftir Gary Bembridge/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

notað margföldunarlögmálið til að ákvarða fjölda umraðana.
reiknað stæður með aðfeldum.
reiknað umraðanir.
beitt umröðunum við lausn verkefna.

Sundkeppnir eru meðal vinsælustu greina sumarólympíuleika. Í úrslitum keppa átta sundmenn samtímis og lokaspretturinn getur orðið spennandi. Hve margar ólíkar lokaraðir eru mögulegar? Hér víkkum við margföldunarlögmálið út til slíkra spurninga um umraðanir. Umröðun er röðuð runa hluta sem valdir eru úr tilteknu safni. Lengd rununnar er gefin og enginn hlutur má endurtaka sig.

Beiting margföldunarlögmálsins við umraðanir

Í úrslitum sundkeppninnar væri röð verðlaunahafanna, fyrsta, annað og þriðja sæti, umröðun með þremur stökum. Heildarlokaröðin frá fyrsta til áttunda sætis væri umröðun með átta stökum. Notum margföldunarlögmálið til að finna fjölda umröðunarleiða í hvoru tilviki.

Dæmi 7.4

Fjöldi umröðunarleiða fundinn með margföldunarlögmálinu

Í úrslitariðli ólympískrar sundkeppni eru átta sundmenn eða átta sveitir.

Hve margar ólíkar raðir verðlaunahafa, í fyrsta, öðru og þriðja sæti, eru mögulegar?
Hve margar ólíkar heildarlokaraðir frá fyrsta til áttunda sætis eru mögulegar?

Lausn

Byrjum á fyrsta sæti. Þar sem átta sundmenn keppa eru átta möguleikar. Þegar sigurvegarinn hefur komið í mark keppa sjö sundmenn um annað sætið. Þegar annað sætið er ráðið geta sex sundmenn enn lent í því þriðja. Því eru átta möguleikar á fyrsta sæti, sjö á öðru og sex á þriðja. Margföldunarlögmálið gefur $8 \times 7 \times 6 = 336$ mögulegar raðir verðlaunahafa.
Fyrir heildarlokaröðina heldur mynstrið áfram: fimm möguleikar eru á fjórða sæti, fjórir á fimmta, þrír á sjötta, tveir á sjöunda og einn sundmaður eftir í áttunda sæti. Margföldunarlögmálið gefur $8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40, 320$ mögulegar lokaraðir.

Aðfeldi

Mynstrið í dæmi 7.4 kemur svo oft fyrir að það hefur sérstakt heiti: aðfeldi.
Fyrir jákvæða heila tölu $n$ er aðfeldi $n$ , táknað $n!$ og lesið „ $n$ hrópmerkt“, margfeldi allra jákvæðra heiltalna sem eru minni en eða jafnar $n$ . Jafnframt er 0! skilgreint sem 1. Aðfeldi koma fyrir í ýmsu samhengi og því æfum við útreikninga með þeim.

Dæmi 7.5

Aðfeldi reiknuð

Reiknaðu eftirfarandi:

4! $4!$
8!6! $\frac{8!}{6!}$
9!3!4! $\frac{9!}{3! 4!}$

Lausn

4!=4 $\times ⁠$ 3 $\times ⁠$ 2 $\times ⁠$ 1=24 $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Tvær leiðir eru færar. Fyrst má reikna aðfeldin og deila:
$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{40,320}{720} = 56$

. Auðveldara er þó að stytta sameiginlega þætti, sem alltaf má gera þegar aðfeldum er deilt. Skrifa má teljarann sem

$8! = 8 \times 7 \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 8 \times 7 \times 6!$

. Þá styttist 6! út:

$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$
. Sú leið er mun einfaldari.
Notum styttingaraðferðina. Þegar tvö aðfeldi eru í teljara eða nefnara er byrjað á því stærra: 9 ! 3 ! 4 ! = 9 $\times ⁠$ 8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 6 $\times ⁠$ 5 $\times ⁠$ 𝟒 ! 3 ! 𝟒 ! = 9 $\times ⁠$ 8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 𝟔 $\times ⁠$ 5 𝟑 $\times ⁠$ 𝟐 $\times ⁠$ 𝟏 = 9 $\times ⁠$ 8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 5 = 2 , 5 2 0 9 !/3 ! 4 ! = 9 $\times ⁠$ 8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 6 $\times ⁠$ 5 $\times ⁠$ 4 !/3 ! 4 ! = 9 $\times ⁠$ 8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 6 $\times ⁠$ 5/3 $\times ⁠$ 2 $\times ⁠$ 1 = 9 $\times ⁠$ 8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 5 = 2,520.
$\frac{9!}{3! 4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3! 4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 9 \times 8 \times 7 \times 5 = 2,520$

Umraðanir

Aðfeldi koma fyrir þegar umraðanir eru reiknaðar og formúla sýnir tengslin skýrt. Skilgreinum fyrst rithátt. Úr safni $n$ hluta á að mynda raðaða runu $r$ hluta, þar sem $1 \leq r \leq n$ . Fjöldi slíkra umraðana er táknaður $_{n} P_{r}$ og lesinn „fjöldi umröðunarleiða $n$ hluta þegar $r$ hlutir eru teknir í senn“. Formúlan er hér fyrir neðan.

Skilgreiningin $0! = 1$ tryggir að formúlan virki þegar öllum $n$ hlutunum er raðað, það er þegar reikna á fjölda umröðunarleiða $n$ hluta og allir $n$ hlutirnir eru teknir í senn: $_{n} P_{n} = \frac{n!}{(n - n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$ . Næst æfum við útreikning umraðana.

Dæmi 7.6

Umraðanir reiknaðar

Reiknaðu eftirfarandi fjölda:

Fjöldi umröðunarleiða 12 hluta þegar þrír eru teknir í senn
Fjöldi umröðunarleiða átta hluta þegar fimm eru teknir í senn
Fjöldi umröðunarleiða 32 hluta þegar tveir eru teknir í senn

Lausn

12⁢𝑃3=12!(12−3)!=12!9!=12 $\times ⁠$ 11 $\times ⁠$ 10 $\times ⁠$ 𝟗!𝟗!=12 $\times ⁠$ 11 $\times ⁠$ 10=1,320 $_{12} P_{3} = \frac{12!}{(12 - 3)!} = \frac{12!}{9!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1,320$
8⁢𝑃5=8!(8−5)!=8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 6 $\times ⁠$ 5 $\times ⁠$ 4 $\times ⁠$ 𝟑!𝟑!=8 $\times ⁠$ 7 $\times ⁠$ 6 $\times ⁠$ 5 $\times ⁠$ 4=6,720 $_{8} P_{5} = \frac{8!}{(8 - 5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6,720$
32⁢𝑃2=32!(32−2)!=32 $\times ⁠$ 31 $\times ⁠$ 𝟑𝟎!𝟑𝟎!=32 $\times ⁠$ 31=992 $_{32} P_{2} = \frac{32!}{(32 - 2)!} = \frac{32 \times 31 \times 30!}{30!} = 32 \times 31 = 992$

Dæmi 7.7

Umröðunum beitt

Í 312 nemenda útskriftarárgangi framhaldsskóla er efsti nemandinn valinn dúx og sá næsti semidúx. Hve margar mögulegar skipanir dúx og semidúx eru til?
Í blackjack, eða tuttugu og einum, fær gjafarinn tvö spil; annað snýr upp og hitt niður. Ef spilað er með einum 52 spila stokki, hve margar mögulegar hendur getur gjafarinn fengið?
Talningarfræðifélag háskólans hefur þrjú embætti: formann, varaformann og gjaldkera. Ef félagarnir eru átján, á hve marga vegu má skipa embættin?

Lausn

Þetta er fjöldi umröðunarleiða 312 nemenda þegar tveir eru teknir í senn: $_{312} P_{2} = 97,032$ .
Við finnum fjölda umröðunarleiða 52 spila þegar tvö eru tekin í senn: $_{52} P_{2} = 2,652$ .
Hér finnum við fjölda umröðunarleiða átján félaga þegar þrír eru teknir í senn: $_{18} P_{3} = 4,896$ .

Prófaðu skilning þinn

Reiknaðu 5!.

Reiknaðu

\frac{{10!}}{{7!3!}}

Reiknaðu

_{12}{P_3}

Reiknaðu

_8{P_4}

Venjulega bandaríska útgáfan af borðspilinu Monopoly hefur fimmtán appelsínugul tækifærisspil. Á hve marga vegu geta fyrstu fjögur tækifærisspilin sem dregin eru í leik komið upp?

Æfingar úr hluta 7.2

Í eftirfarandi æfingum skaltu gefa heila tölu sem er jöfn stæðunni.

7!2!2!3!

\frac{{7!}}{{2!2!3!}}

8!5!2!

\frac{{8!}}{{5!2!}}

21!18!2!

\frac{{21!}}{{18!2!}}

28!26!2!

\frac{{28!}}{{26!2!}}

34!30!3!

\frac{{34!}}{{30!3!}}

17!12!5!

\frac{{17!}}{{12!5!}}

4⁢𝑃3

_4{P_3}

10.

7⁢𝑃5

_7{P_5}

11.

12⁢𝑃10

_{12}{P_{10}}

12.

14⁢𝑃10

_{14}{P_{10}}

13.

10⁢𝑃⁢8

_{10}P{_8}

14.

15⁢𝑃11

_{15}{P_{11}}

Eftirfarandi æfingar fjalla um spilaleikinn euchre, sem notar 24 spil úr venjulegum stokki: aðeins gildin 9, 10, J, Q, K og A. Sum afbrigði nota einnig áttur eða sjöur og áttur, en hér er 24 spila útgáfan notuð.

15.

Euchre-hönd hefur fimm spil. Á hve marga vegu má fá fimm spila hönd þegar röð móttöku skiptir máli, þannig að 9

\heartsuit

, J

\heartsuit

{\text{K}}\clubsuit

9\spadesuit

10\spadesuit

er önnur en

9\spadesuit

, J

\heartsuit

, 9

\heartsuit

{\text{K}}\clubsuit

10\spadesuit

16.

Þegar allir fjórir leikmennirnir hafa fengið spilin á hendi eru fjögur spil eftir á grúfu á miðju borðsins. Hve margar raðanir þessara fjögurra spila eru mögulegar?

17.

Euchre er spilað í pörum. Á hve marga vegu geta tveir samherjar fengið fimm spila hendur þegar röð móttöku skiptir máli?

18.

Hve margar ólíkar raðanir alls euchre-stokksins eru mögulegar? Með öðrum orðum, á hve marga vegu má stokka hann?

Eftirfarandi æfingar fjalla um kappreið með þrettán keppendum.

19.

Hve margar heildarlokaraðir eru mögulegar?

20.

Í exacta-veðmáli á að spá rétt fyrir um tvo efstu í réttri röð. Hve mörg ólík exacta-veðmál eru möguleg í þessari keppni?

21.

Í trifecta-veðmáli á að spá rétt fyrir um þrjá efstu í réttri röð. Hve mörg ólík trifecta-veðmál eru möguleg?

22.

Í superfecta-veðmáli á að spá rétt fyrir um fjóra efstu í réttri röð. Hve mörg ólík superfecta-veðmál eru möguleg?