77 Líkindafræði

7.6 Líkur með umröðunum og samantektum

Kassi með númeruðum bingókúlum stendur á borði. — **Mynd 7.32.** Bingó og mörg happdrætti byggjast á því að velja eina eða fleiri tölur af handahófi úr lista, oft með því að draga númeraðar kúlur úr íláti. (mynd: „Redundant Bingo Balls“ eftir Greg Clarke/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

reiknað líkur með umröðunum.
reiknað líkur með samantektum.

Í fyrri umfjöllun um fræðilegar líkur var fyrsta skrefið að skrá úrtaksrúm tilraunarinnar. Sú aðferð er ekki raunhæf fyrir margar tilraunir. Til dæmis gætum við viljað finna líkurnar á tiltekinni pókerhönd með fimm spilum. Í stokknum eru 52 spil og röð þeirra skiptir ekki máli, svo í úrtaksrúminu eru 52C5 = 2.598.960 mögulegar fimm spila $_{52} C_{5} = 2,598,960$ hendur. Jafnvel þótt við hefðum tíma og rými til að skrá þær allar væri jafn seinlegt að leita að þeim útkomum sem tilheyra atburðinum.

Sem betur fer krefst formúla fræðilegra líkinda ekki þess að við þekkjum allar útkomur úrtaksrúmsins; við þurfum aðeins að vita hve margar þær eru. Hér beitum við margföldunarlögmálinu, umröðunum og samantektum til að reikna líkur.

Umraðanir notaðar til að reikna líkur

Með umröðunum má telja á hve marga vegu hægt er að raða tilteknum fjölda hluta úr lista. Þegar útkomur úrtaksrúms mynda raðaða lista má nota umraðanir til að reikna líkur.

Dæmi 7.23

Umraðanir notaðar til að reikna líkur

Í hestakappreiðum felst tvíliðaveðmál (e. exacta) í því að spá fyrir um tvo efstu hestana í réttri röð. Ef níu hestar taka þátt og slíkt veðmál er valið af handahófi, hverjar eru líkurnar á vinningi?
Þú ert í tíu manna félagi og þrír félaganna eru nánir vinir þínir. Stjórnendur félagsins eru valdir af handahófi. Hverjar eru líkurnar á að þú verðir formaður og einn vina þinna verði varaformaður?
Poki inniheldur miða merkta A, A, B, B, B, C, C, D, D, D, D og E. Þrír miðar eru dregnir. Hverjar eru líkurnar á að stafirnir myndi orðið BAD í þessari röð?

Lausn

Röðin skiptir máli og því notum við umraðanir. Með níu hestum og tveimur sætum eru $_{9} P_{2} = 72$ möguleg tvíliðaveðmál. Það er fjöldi útkoma í úrtaksrúminu og fer því í nefnara líkindaformúlunnar. Aðeins ein útkoma gefur vinning og teljarinn er því 1. Líkurnar á að velja rétt tvíliðaveðmál af handahófi eru $\frac{1}{72}$ .
Í félaginu eru tíu manns og tveir eru valdir til að gegna embættum. Röðin skiptir máli og því má skipa í embættin á $_{10} P_{2} = 90$ vegu. Nú finnum við fjölda útkoma atburðarins með margföldunarlögmálinu. Aðeins þú kemur til greina sem formaður í atburðinum og þrír vinir þínir koma til greina sem varaformaður. Útkomurnar eru því $1 \times 3 = 3$ . Líkurnar á að þú verðir formaður og einn vina þinna varaformaður eru $\frac{3}{90} = \frac{1}{30}$ .
Í pokanum eru tólf miðar og þrír eru dregnir. Mögulegar útkomur eru því $_{12} P_{3} = 1320$ . Fyrsti stafurinn þarf að vera B og þrír slíkir miðar eru í pokanum. Næsti stafur þarf að vera A og um tvo miða er að velja. Síðasti stafurinn þarf að vera D og um fjóra miða er að velja. Atburðurinn hefur því $3 \times 2 \times 4 = 24$ útkomur. Líkurnar á orðinu BAD eru $\frac{24}{1320} = \frac{1}{55}$ .

Samantektir notaðar til að reikna líkur

Ef röð útkoma í úrtaksrúmi skiptir ekki máli má nota samantektir til að finna fjölda útkomanna.

Dæmi 7.24

Samantektir notaðar til að reikna líkur

Palmetto Cash 5 er leikur í happdrætti menntamála í Suður-Karólínu. Leikmenn velja fimm heiltölur frá 1 til 38, að báðum endapunktum meðtöldum. Aðalvinningurinn er 100.000 dollarar ef slembibúnaðurinn velur þessar tölur, óháð röð. Ef þú kaupir einn miða, hverjar eru líkurnar á að allar fimm tölurnar séu vinningstölur?
Annar vinningur í Palmetto Cash 5 fæst ef fjórar af fimm tölum leikmanns eru meðal vinningstalnanna fimm. Hverjar eru líkurnar á öðrum vinningi?
Scrabble er orðmyndunarborðspil. Leikmenn draga sjö stafaflísar úr poka án þess að sjá þær og mynda orð úr stöfunum á leikborðinu. Tveir auðir flísar geta táknað hvaða staf sem er. Í upphafi eru 100 flísar í pokanum og 44 þeirra eru eða geta verið sérhljóð: 9 A, 12 E, 9 I, 8 O, 4 U og tveir auðir; Y telst samhljóð. Hverjar eru líkurnar á upphafshendi án sérhljóða?

Lausn

Velja má úr 38 tölum og röð þeirra fimm skiptir ekki máli. Úrtaksrúmið hefur því $_{38} C_{5} = 501, 492$ útkomur. Aðeins ein tilheyrir vinningsatburðinum og líkurnar eru $\frac{1}{501, 492}$ .
Eins og í fyrsta lið eru 501.492 útkomur í úrtaksrúminu. Atburðurinn þarf að innihalda fjórar af fimm vinningstölum og eina tölu sem er ekki vinningstala. Velja má vinningstölurnar á $_{5} C_{4} = 5$ vegu og tölurnar sem eru ekki vinningstölur eru $38 - 5 = 33$ . Með margföldunarlögmálinu hefur atburðurinn $5 \times 33 = 165$ útkomur. Líkurnar á öðrum vinningi eru $\frac{165}{501, 492} = \frac{55}{167, 164}$ , eða um 0,00033.
Mögulegar upphafshendur eru $_{100} C_{7} = 16, 007, 560, 800$ . Í pokanum eru $100 - 44 = 56$ samhljóðsflísar og fjöldi handa með aðeins samhljóð er $_{56} C_{7} = 231, 917, 400$ . Líkurnar á að draga aðeins samhljóð eru því $\frac{231, 917, 40}{16, 007, 560, 800} = \frac{32, 139}{2, 425, 388} \approx 0.0145$ .

Prófaðu skilning þinn

Í eftirfarandi æfingum dregur þú

Scrabble

flísar án endurtekningar úr poka með stöfunum A, C, E, E, I, N, N, S, S og W.

Hverjar eru líkurnar á að draga W-I-N í þeirri röð?

Hverjar eru líkurnar á að draga W-I-S-E í þeirri röð?

Hverjar eru líkurnar á að draga S-E-E-N í þeirri röð?

Hverjar eru líkurnar á að draga W-I-N í hvaða röð sem er?

Hverjar eru líkurnar á að draga W-I-S-E í hvaða röð sem er?

Hverjar eru líkurnar á að draga S-E-E-N í hvaða röð sem er?

Æfingar úr hluta 7.6

Eftirfarandi æfingar fjalla um þá útgáfu af blackjack sem hér er notuð. Leikmenn fá tveggja spila hönd úr venjulegum stokki. Spil gjafarans eru gefin þannig að síðara spilið snýr upp, svo röðin skiptir máli. Öll spil annarra leikmanna snúa niður og röðin skiptir því ekki máli. Markmiðið er að fá hönd sem er sem næst 21 stigi án þess að fara yfir. Gildi töluspils er talan á spilinu; til dæmis

⁢

♣

⁢

♣

gefur átta stig. Gosar, drottningar og kóngar gefa tíu stig hver og ásar gefa annaðhvort 1 eða 11 stig, að vali leikmanns. Leikmaður með hönd undir 21 stigi má fá fleiri spil, eitt í einu, þar til höndin fer yfir 21 stig eða leikmaðurinn ákveður að hætta.

Hverjar eru líkurnar á að annar leikmaður en gjafarinn fái upphafshönd sem gefur 21 stig? Það gerist aðeins með ás og spili sem gefur tíu stig, það er 10, gosa, drottningu eða kóng.

Hverjar eru líkurnar á að gjafarinn fái upphafshönd sem gefur 21 stig og ásinn snúi upp?

Hverjar eru líkurnar á að leikmaður fái tvö spil sem hvort um sig gefur tíu stig?

Hverjar eru líkurnar á að leikmaður fái 8 og 3 í upphafshönd?

Hverjar eru líkurnar á að leikmaður fái tvær áttur í upphafshönd?

Hverjar eru líkurnar á að leikmaður fái tvö hjörtu

\heartsuit

Í sumum útgáfum leiksins vinnur leikmaður sjálfkrafa ef fimm spila hönd fer ekki yfir 21 stig. Það getur meðal annars gerst ef öll fimm spilin eru ásar, tvistar, þristar eða fjarkar. Hverjar eru líkurnar á að draga fimm spil úr þessum hópi?

Í hestakappreiðum felst þríliðaveðmál (e. trifecta) í því að spá fyrir um þrjá efstu hestana í réttri röð. Finndu líkurnar á að velja rétt þríliðaveðmál af handahófi fyrir hvern eftirfarandi fjölda hesta.

6 hestar

8 hestar

10.

10 hestar

Í eftirfarandi æfingum dregur þú

Scrabble

flísar án endurtekningar úr poka með stöfunum A, A, C, E, E, E, L, L, N, O, R, S, S, S, T og X.

11.

Hverjar eru líkurnar á að draga E-A-R í þessari röð?

12.

Hverjar eru líkurnar á að draga E-A-R í hvaða röð sem er?

13.

Hverjar eru líkurnar á að draga S-E-A-L í þessari röð?

14.

Hverjar eru líkurnar á að draga S-E-A-L í hvaða röð sem er?

15.

Hverjar eru líkurnar á að draga L-A-S-S í þessari röð?

16.

Hverjar eru líkurnar á að draga L-A-S-S í hvaða röð sem er?

17.

Hverjar eru líkurnar á að draga þrjá flísa sem allir eru sérhljóð?

18.

Hverjar eru líkurnar á að draga þrjá flísa sem allir eru samhljóð?

19.

Hverjar eru líkurnar á að draga fjóra flísa í röðinni sérhljóð–samhljóð–sérhljóð–samhljóð?

20.

Hverjar eru líkurnar á að draga tvo sérhljóða og tvö samhljóð í hvaða röð sem er?

21.

Hverjar eru líkurnar á að draga að minnsta kosti einn sérhljóða þegar fjórir flísar eru dregnir? Ábending: Notaðu formúluna fyrir fylliatburð.

22.

Hverjar eru líkurnar á að draga að minnsta kosti eitt samhljóð þegar fjórir flísar eru dregnir?

Eftirfarandi æfingar fjalla um borðspilið

Clue

, sem notar 21 spil: sex spil sýna grunaða, sex sýna vopn og níu sýna herbergi. Í upphafi er eitt spil af hverri tegund fjarlægt leynilega; markmiðið er að bera kennsl á þessi þrjú spil. Hinum 18 spilunum er skipt milli leikmanna. Ef leikmenn eru þrír fær hver þeirra sex spil. Finndu líkurnar á að leikmaður fái hendur með eftirfarandi eiginleika.

23.

Öll sex spilin sýna herbergi.

24.

Fimm spil sýna grunaða; sjötta spilið má vera af hvaða tegund sem er.

25.

Ekkert spil sýnir herbergi.

26.

Ekkert spil sýnir grunaðan.

27.

Þrjú spil sýna grunaða og þrjú sýna vopn.

28.

Tvö spil eru af hverri tegund.

29.

Þrjú spil sýna herbergi, tvö sýna grunaða og eitt sýnir vopn.

30.

Fjögur spil sýna herbergi og fimm sýna grunaða.