22 Lýsandi tölfræði

2.1 Laufrit, línurit og stöplarit

Eitt einfalt rit, laufrit, kemur úr leitandi gagnagreiningu. Það hentar vel þegar gagnasöfn eru lítil. Til að búa til laufrit er hverri mælingu skipt í stofn og lauf. Stofninn er fremsti tölustafurinn eða fremstu tölustafirnir, en laufið er aftasti marktæki tölustafurinn. Til dæmis hefur 23 stofninn 2 og laufið 3. Talan 432 hefur stofninn 43 og laufið 2. Á sama hátt hefur talan 5.432 stofninn 543 og laufið 2. Tugabrotið 9,3 hefur stofninn 9 og laufið 3. Skrifaðu stofnana í lóðrétta línu frá þeim minnsta til þess stærsta. Dragðu lóðrétta línu hægra megin við stofnana. Skrifaðu síðan laufin í vaxandi röð við hliðina á samsvarandi stofni. Gættu þess að bil sé á milli laufgilda svo auðvelt sé að lesa nákvæm gagnagildi. Tíðni gagnagilda fyrir hvern stofn gefur upplýsingar um lögun dreifingarinnar.

Dæmi 2.1

Í voráfanga Susan Dean í undirbúningi fyrir stærðfræðigreiningu voru einkunnir úr fyrsta prófi þessar (frá lægstu til hæstu): 33, 42, 49, 49, 53, 55, 55, 61, 63, 67, 68, 68, 69, 69, 72, 73, 74, 78, 80, 83, 88, 88, 88, 90, 92, 94, 94, 94, 94, 96, 100

Stofn	Lauf
3	3
4	2 9 9
5	3 5 5
6	1 3 7 8 8 9 9
7	2 3 4 8
8	0 3 8 8 8
9	0 2 4 4 4 4 6
10	0

Laufritið sýnir að flestar einkunnir voru á bilunum 60-69, 70-79, 80-89 og 90-100. Átta af 31 einkunn, eða um það bil 26 prósent $(\frac{8}{31})$ , voru á bilinu 90-100; það er nokkuð mikill fjöldi A-einkunna.

Laufrit er fljótleg leið til að setja gögn fram myndrænt og gefur nákvæma mynd af þeim. Leitaðu að heildarmynstri og hugsanlegum fráviksgildum. Fráviksgildi er mæling í gögnunum sem fellur ekki að hinum gögnunum. Það er stundum kallað öfgagildi. Þegar fráviksgildi er sett á graf virðist það ekki passa við mynstur grafsins. Sum fráviksgildi stafa af mistökum, til dæmis ef 50 er skrifað í stað 500, en önnur geta bent til þess að eitthvað óvenjulegt sé á seyði. Til að útskýra fráviksgildi þarf bakgrunnsupplýsingar og því verður fjallað nánar um þau síðar.

Dæmi 2.2

Gögnin eru fjarlægðir (í kílómetrum) frá heimili að nærliggjandi matvöruverslunum. Búðu til laufrit úr gögnunum. 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7, 3,2, 3,3, 3,3, 3,5, 3,8, 4,0, 4,2, 4,5, 4,5, 4,7, 4,8, 5,5, 5,6, 6,5, 6,7, 12,3

Virðist vera einhver þyrping gilda í gögnunum?

Lausn

Gildið 12,3 gæti verið fráviksgildi. Gildin virðast þyrpast við 3 og 4 kílómetra.

Stofn	Lauf
1	1 5
2	3 5 7
3	2 3 3 5 8
4	0 2 5 5 7 8
5	5 6
6	5 7
7
8
9
10
11
12	3

Dæmi 2.3

Hliðstætt laufrit gerir kleift að bera saman tvö gagnasöfn í tveimur dálkum. Í hliðstæðu laufriti deila tvö laufasöfn sama stofni. Laufin eru vinstra og hægra megin við stofnana. Tafla 2.3 og tafla 2.4 sýna aldur forseta við embættistöku og við andlát. Búðu til hliðstætt laufrit úr þessum gögnum.

Forseti	Aldur	Forseti	Aldur	Forseti	Aldur
Washington	57	Lincoln	52	Hoover	54
J. Adams	61	A. Johnson	56	F. Roosevelt	51
Jefferson	57	Grant	46	Truman	60
Madison	57	Hayes	54	Eisenhower	62
Monroe	58	Garfield	49	Kennedy	43
J. Q. Adams	57	Arthur	51	L. Johnson	55
Jackson	61	Cleveland	47	Nixon	56
Van Buren	54	B. Harrison	55	Ford	61
W. H. Harrison	68	Cleveland	55	Carter	52
Tyler	51	McKinley	54	Reagan	69
Polk	49	T. Roosevelt	42	G.H.W. Bush	64
Taylor	64	Taft	51	Clinton	47
Fillmore	50	Wilson	56	G. W. Bush	54
Pierce	48	Harding	55	Obama	47
Buchanan	65	Coolidge	51

Forseti	Aldur	Forseti	Aldur	Forseti	Aldur
Washington	67	Lincoln	56	Hoover	90
J. Adams	90	A. Johnson	66	F. Roosevelt	63
Jefferson	83	Grant	63	Truman	88
Madison	85	Hayes	70	Eisenhower	78
Monroe	73	Garfield	49	Kennedy	46
J. Q. Adams	80	Arthur	56	L. Johnson	64
Jackson	78	Cleveland	71	Nixon	81
Van Buren	79	B. Harrison	67	Ford	93
W. H. Harrison	68	Cleveland	71	Reagan	93
Tyler	71	McKinley	58
Polk	53	T. Roosevelt	60
Taylor	65	Taft	72
Fillmore	74	Wilson	67
Pierce	64	Harding	57
Buchanan	77	Coolidge	60

Lausn

Aldur við embættistöku		Aldur við andlát
9 9 8 7 7 7 6 3 2	4	6 9
8 7 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 0	5	3 6 6 7 7 8
9 5 4 4 2 1 1 1 0	6	0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8
	7	0 0 1 1 1 4 7 8 8 9
	8	0 1 3 5 8
	9	0 0 3 3

Taktu eftir að laufgildin hækka í röð frá hægri til vinstri fyrir lauf sem eru vinstra megin við stofninn, en hækka í röð frá vinstri til hægri fyrir lauf sem eru hægra megin við stofninn.

Prófaðu þetta 2.3

2.6.

Taflan sýnir fjölda sigra og ósigra hjá íþróttaliði á 42 keppnistímabilum. Búðu til hliðstætt laufrit fyrir sigra og ósigra.

Ósigrar	Sigrar	Ár	Ósigrar	Sigrar	Ár
34	48	1968–1969	41	41	1989–1990
34	48	1969–1970	39	43	1990–1991
46	36	1970–1971	44	38	1991–1992
46	36	1971–1972	39	43	1992–1993
36	46	1972–1973	25	57	1993–1994
47	35	1973–1974	40	42	1994–1995
51	31	1974–1975	36	46	1995–1996
53	29	1975–1976	26	56	1996–1997
51	31	1976–1977	32	50	1997–1998
41	41	1977–1978	19	31	1998–1999
36	46	1978–1979	54	28	1999–2000
32	50	1979–1980	57	25	2000–2001
51	31	1980–1981	49	33	2001–2002
40	42	1981–1982	47	35	2002–2003
39	43	1982–1983	54	28	2003–2004
42	40	1983–1984	69	13	2004–2005
48	34	1984–1985	56	26	2005–2006
32	50	1985–1986	52	30	2006–2007
25	57	1986–1987	45	37	2007–2008
32	50	1987–1988	35	47	2008–2009
30	52	1988–1989	29	53	2009–2010

Önnur tegund grafs sem er gagnleg þegar sýna á tiltekin gagnagildi er línurit. Í línuritinu sem sýnt er í sýnidæmi 2.4 eru gagnagildin á x-ásnum (lárétta ásnum) og tíðnipunktar á y-ásnum (lóðrétta ásnum). Tíðnipunktarnir eru tengdir með línustrikum.

Dæmi 2.4

Í könnun voru 40 mæður spurðar hversu oft í viku þyrfti að minna ungling á að sinna húsverkum sínum. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 2.7 og á mynd 2.2.

Fjöldi skipta sem unglingur er minntur á	Tíðni
0	2
1	5
2	8
3	14
4	7
5	4

Línurit sem sýnir fjölda skipta sem þarf að minna ungling á að sinna húsverkum á x-ás og tíðni á y-ás. — Mynd 2.2

Prófaðu þetta 2.4

2.8.

Í könnun voru 40 manns spurðir hversu oft á ári þeir hefðu farið með bílinn sinn á verkstæði til viðgerðar. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 2.8. Búðu til línurit.

Fjöldi skipta á verkstæði	Tíðni
0	7
1	10
2	14
3	9

Stöplarit eru gerð úr stöplum sem eru aðskildir hver frá öðrum. Stöplarnir geta verið rétthyrningar eða rétthyrndir kassar í þrívíddargrafi og þeir geta verið lóðréttir eða láréttir. Stöplaritið í sýnidæmi 2.5 sýnir aldurshópa á x-ásnum og hlutföll á y-ásnum.

Dæmi 2.5

Í lok árs 2011 hafði samfélagsmiðill meira en 146 milljónir notenda í Bandaríkjunum. Tafla 2.9 sýnir þrjá aldurshópa, fjölda notenda í hverjum aldurshópi og hlutfall (prósentu) notenda í hverjum aldurshópi. Búðu til stöplarit úr þessum gögnum.

Aldurshópar	Fjöldi notenda vefsvæðis	Hlutfall (%) notenda vefsvæðis
13–25	65.082.280	45%
26–44	53.300.200	36%
45–64	27.885.100	19%

Lausn

Stöplarit sem samsvarar gefnu gögnunum. x-ásinn sýnir aldurshópa og y-ásinn sýnir prósentuhlutfall Facebook-notenda. — Mynd 2.3

Prófaðu 2.5

2.10.

Íbúar Park City skiptast í börn, fullorðna á vinnualdri og eftirlaunaþega. Tafla 2.10 sýnir þessa þrjá aldurshópa, fjölda bæjarbúa í hverjum aldurshópi og hlutfall (%) bæjarbúa í hverjum aldurshópi. Búðu til stöplarit sem sýnir hlutföllin.

Aldurshópar	Fjöldi fólks	Hlutfall mannfjölda
Börn	67.059	19%
Fullorðnir á vinnualdri	152.198	43%
Eftirlaunaþegar	131.662	38%

Dæmi 2.6

Dálkarnir í töflu 2.11 sýna kynþátt eða þjóðernisuppruna nemenda í opinberum skólum í Bandaríkjunum fyrir árganginn 2011, prósentuhlutfall AP-próftaka í þeim árgangi og prósentuhlutfall í heildarþýði nemenda. Búðu til stöplarit með kynþætti eða þjóðernisuppruna nemenda (eigindleg gögn) á x-ásnum og prósentuhlutfalli AP-próftaka á y-ásnum.

Kynþáttur/þjóðernisuppruni	Þýði AP-próftaka	Heildarþýði nemenda
1 = Asískur, asísk-amerískur eða frá Kyrrahafseyjum	10,3%	5,7%
2 = Svartur eða afrísk-amerískur	9,0%	14,7%
3 = Rómönsk eða latnesk-amerískur	17,0%	17,6%
4 = Frumbyggi í Bandaríkjunum eða Alaska	0,6%	1,1%
5 = Hvítur	57,1%	59,2%
6 = Ekki tilgreint/annað	6,0%	1,7%

Lausn

Stöplarit sem samsvarar gefnu gögnunum. x-ásinn sýnir kynþátt og þjóðernisuppruna og y-ásinn sýnir prósentuhlutfall AP-próftaka. — Mynd 2.4

Prófaðu 2.6

2.12.

Park City er skipt í sex kosningahverfi. Taflan sýnir hlutfall af heildarfjölda skráðra kjósenda sem búa í hverju hverfi sem og hlutfall af heildarmannfjölda sem býr í hverju hverfi. Búðu til stöplarit sem sýnir fjölda skráðra kjósenda eftir hverfum.

Hverfi	Fjöldi skráðra kjósenda	Heildarmannfjöldi borgarinnar
1	15,5%	19,4%
2	12,2%	15,6%
3	9,8%	9,0%
4	17,4%	18,5%
5	22,8%	20,7%
6	22,3%	16,8%

Dæmi 2.7

Tafla 2.13 er krossatafla sem sýnir tegundir gæludýra í eigu karla og kvenna.

	Hundar	Kettir	Fiskar	Samtals
Karlar	4	2	2	8
Konur	4	6	2	12
Samtals	8	8	4	20

Út frá þessum gögnum, reiknaðu jaðardreifingu gæludýra fyrir fólkið sem tekið var þátt í könnuninni.

Lausn

Hundar = 8/20 = 0,4

Kettir = 8/20 = 0,4

Fiskar = 4/20 = 0,2

Athugið:Summa allra jaðardreifinga verður að vera jöfn einum. Í þessu tilviki er 0,4 + 0,4 + 0,2 = 1; því stenst lausnin.

Dæmi 2.8

Tafla 2.14 er krossatafla sem sýnir tegundir gæludýra í eigu karla og kvenna.

	Hundar	Kettir	Fiskar	Samtals
Karlar	4	2	2	8
Konur	4	6	2	12
Samtals	8	8	4	20

Út frá þessum gögnum, reiknaðu skilyrtu dreifinguna fyrir undirþýði karla sem eiga hverja tegund gæludýrs.

Lausn

Karlar sem eiga hunda = 4/8 = 0,5

Karlar sem eiga ketti = 2/8 = 0,25

Karlar sem eiga fiska = 2/8 = 0,25

Athugið:Summa allra skilyrtra dreifinga verður að vera jöfn einum. Í þessu tilviki er 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1; því stenst lausnin.