22 Lýsandi tölfræði

2.4 Kassarit

Kassarit, einnig kölluð kassarit með skeggjum, sýna á skýran myndrænan hátt hvernig gögnin dreifast. Þau sýna einnig hversu langt ystu gildi liggja frá meginþorra gagnanna. Eins og áður hefur komið fram er kassarit byggt á fimm gildum: lágmarksgildi, fyrsta fjórðungamarki, miðgildi, þriðja fjórðungamarki og hámarksgildi. Þessi gildi eru notuð til að bera önnur gagnagildi saman við þau.

Til að teikna kassarit er notuð lárétt eða lóðrétt talnalína og rétthyrndur kassi. Minnsta og stærsta gagnagildið marka endapunkta ássins. Fyrsta fjórðungamarkið markar annan enda kassans og þriðja fjórðungamarkið hinn endann. Um það bil miðju 50 prósent gagnanna liggja innan kassans. Skeggin ná frá endum kassans að minnsta og stærsta gagnagildinu. Kassarit sýnir á einfaldan hátt spönn gagnasafns, það er mismuninn á stærsta og minnsta gagnagildinu (eða mismuninn á hámarki og lágmarki). Nema miðgildið, fyrsta fjórðungamarkið og þriðja fjórðungamarkið séu sama gildið liggur miðgildið innan kassans, milli fyrsta og þriðja fjórðungamarks. Kassarit gefur góða og fljótlega yfirsýn yfir gögnin.

Skoðum aftur þetta gagnasafn:

1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8, 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5

Fyrsta fjórðungamarkið er tveir, miðgildið er sjö og þriðja fjórðungamarkið er níu. Minnsta gildið er einn og stærsta gildið er 11,5. Eftirfarandi mynd sýnir kassaritið sem var teiknað.

Horizontal boxplot's first whisker extends from the smallest value, 1, to the first quartile, 2, the box begins at the first quartile and extends to the third quartile, 9, a vertical dashed line is drawn at the median, 7, and the second whisker extends from the third quartile to the largest value of 11.5. — Mynd 2.13

Skeggin tvö ná frá fyrsta fjórðungamarki að minnsta gildi og frá þriðja fjórðungamarki að stærsta gildi. Miðgildið er sýnt með strikalínu.

Dæmi 2.24

Eftirfarandi gögn sýna hæð 40 nemenda í tölfræðiáfanga:

149,9, 152,4, 154,9, 157,5, 157,5, 160,0, 160,0, 162,6, 162,6, 162,6, 165,1, 165,1, 165,1, 165,1, 165,1, 165,1, 165,1, 165,1, 165,1, 167,6, 167,6, 170,2, 170,2, 172,7, 172,7, 175,3, 177,8, 177,8, 177,8, 177,8, 177,8, 180,3, 180,3, 182,9, 182,9, 185,4, 188,0, 188,0, 190,5, 195,6.

Teiknaðu kassarit með eftirfarandi eiginleikum. Leiðbeiningar fyrir reiknivél til að finna fimm talna samantekt fylgja á eftir þessu dæmi:

Lágmarksgildi = 149,9 cm
Hámarksgildi = 195,6 cm
Q₁: fyrsta fjórðungamark = 163,8 cm
Q₂: annað fjórðungamark, eða miðgildi = 167,6 cm
Q₃: þriðja fjórðungamark = 177,8 cm

Horizontal boxplot with first whisker extending from smallest value, 149.9 cm, to Q1, 163.8 cm, box beginning from Q1 to Q3, 177.8 cm, median dashed line at Q2, 167.6 cm, and second whisker extending from Q3 to largest value, 195.6 cm.

Hver fjórðungur inniheldur um það bil 25 prósent gagnanna.
Spönn fjórðunganna fjögurra er 163,8 - 149,9 = 13,9 cm (fyrsti fjórðungur), 167,6 - 163,8 = 3,8 cm (annar fjórðungur), 177,8 - 167,6 = 10,2 cm (þriðji fjórðungur) og 195,6 - 177,8 = 17,8 cm (fjórði fjórðungur). Því hefur annar fjórðungur minnstu spönnina og fjórði fjórðungur þá stærstu.
Spönn = hámarksgildi - lágmarksgildi = 195,6 - 149,9 = 45,7 cm.
Fjórðungaspönn: IQR = Q₃ - Q₁ = 177,8 - 163,8 = 14,0 cm.
Bilið 149,9–165,1 cm inniheldur meira en 25 prósent gagnanna og hefur því fleiri gagnagildi en bilið 167,6–177,8 cm, sem inniheldur 25 prósent gagnanna.
Miðju 50 prósent gagnanna, eða miðhelmingurinn, hafa spönnina 14,0 cm.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Til að finna lágmark, hámark og fjórðungamörk:

Sláðu gögnin inn í listaritilinn (ýttu á STAT og 1:EDIT). Ef þú þarft að hreinsa listann skaltu fara upp á heitið L1, ýta á CLEAR og fara síðan niður.

Settu gagnagildin í listann L1.

Ýttu á STAT og færðu þig með örvatakkanum að CALC. Ýttu á 1:1-VarStats. Sláðu inn L1.

Ýttu á ENTER.

Notaðu upp- og niðurörvarnar til að fletta.

Minnsta gildi = 59.

Stærsta gildi = 77.

Q₁: fyrsta fjórðungamark = 64,5.

Q₂: annað fjórðungamark, eða miðgildi = 66.

Q₃: þriðja fjórðungamark = 70.

Til að teikna kassarit:

Ýttu á 4:PlotsOff. Ýttu á ENTER.

Færðu þig niður og notaðu síðan hægri örvatakkann til að fara á fimmtu myndina, sem er kassaritið. Ýttu á ENTER.

Færðu þig niður að Xlist. Ýttu á 2nd og 1 fyrir L1.

Færðu þig niður að Freq. Ýttu á ALPHA og síðan 1.

Ýttu á ZOOM. Ýttu á 9:ZoomStat.

Ýttu á TRACE og notaðu örvatakkana til að skoða kassaritið.

Í sumum gagnasöfnum geta stærsta gildi, minnsta gildi, fyrsta fjórðungamark, miðgildi og þriðja fjórðungamark fallið saman að einhverju leyti. Til dæmis getur miðgildið og þriðja fjórðungamarkið verið sama gildi. Þá væri engin strikalína inni í kassanum til að sýna miðgildið sérstaklega. Hægri hlið kassans myndi sýna bæði þriðja fjórðungamarkið og miðgildið. Ef minnsta gildið og fyrsta fjórðungamarkið væru bæði einn, miðgildið og þriðja fjórðungamarkið væru bæði fimm og stærsta gildið væri sjö, liti kassaritið svona út:

Horizontal boxplot box begins at the smallest value and Q1, 1, until the Q3 and median, 5, no median line is designated, and has its lone whisker extending from the Q3 to the largest value, 7. — Mynd 2.15

Í þessu tilviki eru að minnsta kosti 25 prósent gildanna jöfn einum. Tuttugu og fimm prósent gildanna eru á bilinu frá einum til fimm, að báðum meðtöldum. Að minnsta kosti 25 prósent gildanna eru jöfn fimm. Efstu 25 prósent gildanna liggja á bilinu frá fimm til sjö, að báðum meðtöldum.

Dæmi 2.25

Prófeinkunnir í dagbekk herra Ramirez eru eftirfarandi:

99, 56, 78, 55,5, 32, 90, 80, 81, 56, 59, 45, 77, 84,5, 84, 70, 72, 68, 32, 79, 90.

Prófeinkunnir í kvöldbekk frú Park eru eftirfarandi:

98, 78, 68, 83, 81, 89, 88, 76, 65, 45, 98, 90, 80, 84,5, 85, 79, 78, 98, 90, 79, 81, 25,5.

Finndu minnsta gildið, stærsta gildið, miðgildið og fyrsta og þriðja fjórðungamark fyrir bekk herra Ramirez.
Finndu minnsta gildið, stærsta gildið, miðgildið og fyrsta og þriðja fjórðungamark fyrir bekk frú Park.
Fyrir hvort gagnasafn, hversu stórt hlutfall gagnanna er á milli minnsta gildis og fyrsta fjórðungamarks? Milli fyrsta fjórðungamarks og miðgildis? Milli miðgildis og þriðja fjórðungamarks? Milli þriðja fjórðungamarks og stærsta gildis? Hversu stórt hlutfall gagnanna er á milli fyrsta fjórðungamarks og stærsta gildis?
Búðu til kassarit fyrir hvort gagnasafn. Notaðu eina talnalínu fyrir bæði kassarit.
Hvort kassaritið hefur meiri spönn fyrir miðju 50 prósent gagnanna, það er gögnin milli fyrsta og þriðja fjórðungamarks? Hvað þýðir það fyrir það gagnasafn í samanburði við hitt gagnasafnið?

Lausn

- Lágmark = 32
- Q₁ = 56
- M = 74,5
- Q₃ = 82,5
- Hámark = 99
- Lágmark = 25,5
- Q₁ = 78
- M = 81
- Q₃ = 89
- Hámark = 98
Bekkur herra Ramirez: Sex gagnagildi eru á bilinu 32 til 56, eða 30 prósent. Sex gagnagildi eru á bilinu 56 til 74,5, eða 30 prósent. Fimm gagnagildi eru á bilinu 74,5 til 82,5, eða 25 prósent. Fimm gagnagildi eru á bilinu 82,5 til 99, eða 25 prósent. Sextán gagnagildi eru milli fyrsta fjórðungamarks, 56, og stærsta gildisins, 99, eða 80 prósent. Bekkur frú Park: Sjö gagnagildi eru á bilinu 25,5 til 78, eða 32 prósent. Sjö gagnagildi eru á bilinu 78 til 81, eða 32 prósent. Sjö gagnagildi eru á bilinu 81 til 89, eða 32 prósent. Sex gagnagildi eru á bilinu 89 til 98, eða 27 prósent. Sautján gildi eru milli fyrsta fjórðungamarks, 78, og stærsta gildisins, 98, eða 77 prósent.
Fyrra gagnasafnið hefur meiri spönn fyrir miðju 50 prósent gagnanna. Fjórðungaspönn fyrra gagnasafnsins er meiri en fjórðungaspönn seinna gagnasafnsins. Það þýðir að meiri breytileiki er í miðju 50 prósentum fyrra gagnasafnsins.

Dæmi 2.26

Teiknaðu kassarit með skeggjum fyrir eftirfarandi gagnagildi:

10, 10, 10, 15, 35, 75, 90, 95, 100, 175, 420, 490, 515, 515, 790

Tölurnar fimm sem notaðar eru til að búa til kassarit með skeggjum eru eftirfarandi:

Lágmark: 10
Q₁: 15
Miðgildi: 95
Q₃: 490
Hámark: 790

Eftirfarandi graf sýnir kassaritið með skeggjum.