44 Strjálar slembibreytur

4.1 Líkindafall (PDF) fyrir strjála slembibreytu

Til eru tvær gerðir slembibreyta: strjálar slembibreytur og samfelldar slembibreytur. Gildi strjálsrar slembibreytu eru teljanleg, sem þýðir að þau fást með talningu. Allar slembibreytur sem við ræddum í fyrri dæmum eru strjálar slembibreytur. Við töldum fjölda rauðra kúlna, fjölda króna eða fjölda stúlkubarna til að fá samsvarandi gildi slembibreytunnar. Gildi samfelldrar slembibreytu eru óteljanleg, sem þýðir að þau fást ekki með talningu. Þess í stað fást þau með mælingu. Til dæmis má láta X vera hitastig á degi í júní sem valinn er af handahófi í tiltekinni borg. Gildi X getur verið 68°, 71,5°, 80,6° eða 90,32°. Þessi gildi fást með mælingu með hitamæli. Annað dæmi um samfellda slembibreytu er hæð menntaskólanema sem valinn er af handahófi. Gildi þeirrar slembibreytu getur verið 5'2", 6'1" eða 5'8". Þessi gildi fást með mælingu með reglustiku.

Líkindafall strjálsrar slembibreytu hefur tvö einkenni:

Sérhvert líkindagildi er á bilinu 0 til 1, að báðum mörkum meðtöldum.
Summa líkindanna er 1.

Dæmi 4.1

Barnasálfræðingur hefur áhuga á því hversu oft grátur nýbura vekur móðurina eftir miðnætti. Fyrir slembiúrtak 50 mæðra fengust eftirfarandi upplýsingar. Látum X vera fjölda skipta á viku sem grátur nýbura vekur móðurina eftir miðnætti. Í þessu dæmi er x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

P(x) = líkurnar á því að X taki gildið x.

x	P(x)
0	P(x = 0) = $\frac{2}{50}$
1	P(x = 1) = $\frac{11}{50}$
2	P(x = 2) = $\frac{23}{50}$
3	P(x = 3) = $\frac{9}{50}$
4	P(x = 4) = $\frac{4}{50}$
5	P(x = 5) = $\frac{1}{50}$

X tekur gildin 0, 1, 2, 3, 4, 5. Þetta er líkindafall strjálsrar slembibreytu vegna þess að hægt er að telja fjölda gilda x og einnig af eftirfarandi tveimur ástæðum:

Sérhvert P(x) er á bilinu 0 til 1, að báðum mörkum meðtöldum.
Summa líkindanna er 1, það er að segja,

\frac{2}{50} + \frac{11}{50} + \frac{23}{50} + \frac{9}{50} + \frac{4}{50} + \frac{1}{50} = 1

Prófaðu 4.1

4,3.

Rannsakandi á sjúkrahúsi hefur áhuga á því hversu oft meðalsjúklingur eftir aðgerð hringir á hjúkrunarfræðing á 12 klukkustunda vakt. Fyrir slembiúrtak 50 sjúklinga fengust eftirfarandi upplýsingar. Látum X vera fjölda skipta sem sjúklingur hringir á hjúkrunarfræðing á 12 klukkustunda vakt. Í þessu dæmi er x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

X	P(x)
0	P(x = 0) = $\frac{4}{50}$
1	P(x = 1) = $\frac{8}{50}$
2	P(x = 2) = $\frac{16}{50}$
3	P(x = 3) = $\frac{14}{50}$
4	P(x = 4) = $\frac{6}{50}$
5	P(x = 5) = $\frac{2}{50}$

Dæmi 4.2

Gerum ráð fyrir að Nancy sé í kennslustundum þrjá daga í viku. Hún mætir í tíma alla þrjá dagana í 80 prósent tilvika, tvo daga í 15 prósent tilvika, einn dag í 4 prósent tilvika og engan dag í 1 prósent tilvika. Gerum ráð fyrir að ein vika sé valin af handahófi.

Lýstu slembibreytunni með orðum. Látum X vera fjölda daga sem Nancy ________.

Lausn

a. Látum X vera fjölda daga í viku sem Nancy mætir í tíma.

b. Hver eru möguleg gildi X í þessu dæmi?

Lausn

b. 0, 1, 2 og 3

c. Gerum ráð fyrir að ein vika sé valin af handahófi. Búðu til líkindafallstöflu (PDF-töflu) eins og töfluna í dæmi 4.1. Taflan ætti að hafa tvo dálka merkta x og P(x).

Lausn

x	P(x)
0	0,01
1	0,04
2	0,15
3	0,80

Summa P(x)-dálksins er 0,01 + 0,04 + 0,15 + 0,80 = 1,00.