44 Strjálar slembibreytur

4.5 Hypergeometric Distribution (Optional)

4.5 Happdrættisdreifing (valfrjálst)

Happdrættistilraun hefur fimm einkenni:

Tekin eru úrtök úr tveimur hópum.
Sjónum er beint að ákveðnum hópi, sem er kallaður fyrsti hópurinn.
Úrtaka er án endurvals úr sameinuðum hópum. Til dæmis gætirðu viljað velja mjúkboltalið úr sameinuðum hópi 11 karla og 13 kvenna. Liðið er skipað 10 leikmönnum.
Hvert val er ekki óháð, þar sem úrtakan er án endurvals. Í mjúkboltadæminu eru líkurnar á að kona sé valin fyrst 13/24. Líkurnar á að karl sé valinn næst eru 11/23 ef kona var valin fyrst; þær eru 10/23 ef karl var valinn fyrst. Líkurnar á öðru valinu ráðast af því sem gerðist í fyrsta valinu.
Ekki er um Bernoulli tilraunir að ræða.

Útkomur happdrættistilraunar fylgja happdrættisdreifingu. Slembibreytan X táknar fjölda staka úr hópnum sem sjónum er beint að.

Dæmi 4.21

Í sælgætisskál eru 100 hlaupbaunir og 80 hlaupdropar. Fimmtíu sælgætismolar eru valdir af handahófi. Hverjar eru líkurnar á að 35 af þessum 50 séu hlaupdropar? Hóparnir tveir eru hlaupbaunir og hlaupdropar. Þar sem líkindaspurningin snýst um líkurnar á að velja hlaupdropa er hópurinn sem sjónum er beint að (fyrsti hópurinn) hlaupdropar. Stærð þess hóps er 80. Stærð hins hópsins er 100. Stærð úrtaksins er 50, hvort sem molarnir eru hlaupbaunir eða hlaupdropar. Látum X tákna fjölda hlaupdropa í úrtakinu af 50 molum. X tekur gildin x = 0, 1, 2, ..., 50. Hvernig er líkindasetningin skrifuð stærðfræðilega?

Lausn

Lausn: P(x = 35)

Dæmi 4.22

Gerum ráð fyrir að vitað sé að sending með 100 DVD-spilurum innihaldi 10 gallaða spilara. Eftirlitsmaður velur 12 af handahófi til skoðunar. Hann vill ákvarða líkurnar á að í mesta lagi tveir af þessum 12 séu gallaðir. Hóparnir tveir eru 90 ógallaðir DVD-spilarar og 10 gallaðir DVD-spilarar. Hópurinn sem sjónum er beint að (fyrsti hópurinn) er gallaði hópurinn, vegna þess að líkindaspurningin spyr um líkurnar á í mesta lagi tveimur gölluðum DVD-spilurum. Stærð úrtaksins er 12 DVD-spilarar, sem geta verið ógallaðir eða gallaðir. Látum X tákna fjölda gallaðra DVD-spilara í úrtakinu af 12 spilurum. X tekur gildin 0, 1, 2, ..., 10. X getur ekki tekið gildin 11 eða 12. Stærð úrtaksins er 12, en aðeins 10 DVD-spilarar eru gallaðir. Skrifaðu líkindasetninguna stærðfræðilega.

Lausn

Lausn: P(x ≤ 2)

Dæmi 4.23

Þú ert formaður viðburðafélags á háskólasvæði. Þú þarft sjö manna nefnd til að skipuleggja sérstaka afmælisveislu fyrir forseta skólans. Í félaginu eru 18 konur og 15 karlar. Þú hefur áhuga á fjölda karla í nefndinni. Ef nefndarmenn eru valdir af handahófi, hverjar eru líkurnar á að í nefndinni séu fleiri en fjórir karlar?

Þetta er happdrættisdæmi vegna þess að nefndin er valin úr tveimur hópum, körlum og konum.

a. Er valið með eða án endurvals?

Lausn

Lausn a: Án endurvals.

b. Hver er hópurinn sem sjónum er beint að?

Lausn b: Karlarnir.

c. Hve margir eru í hópnum sem sjónum er beint að?

Lausn c: 15 karlar.

d. Hve margir eru í hinum hópnum?

Lausn d: 18 konur.

e. Látum X = ________ í nefndinni. Hvaða gildi getur X tekið?

Lausn e: Látum X tákna fjölda karla í nefndinni. x = 0, 1, 2, ..., 7.

f. Líkindaspurningin er P(_______).

Lausn f: P(x > 4).

Ritháttur fyrir happdrættisdreifingu: H = líkindafall happdrættisdreifingar

X ~ H(r, b, n)

Lesið þetta sem að X sé slembibreyta með happdrættisdreifingu. Stikarnir eru r, b og n: r = stærð hópsins sem sjónum er beint að (fyrsta hópsins), b = stærð hins hópsins og n = stærð valda úrtaksins.

Dæmi 4.24

Velja á skólanefnd af handahófi úr sex körlum og fimm konum. Ef nefndin er fjögurra manna, hverjar eru líkurnar á að tveir nefndarmenn séu karlar? Hve marga karla má vænta í nefndinni?

Látum X tákna fjölda karla í fjögurra manna nefndinni. Karlarnir eru hópurinn sem sjónum er beint að (fyrsti hópurinn).

X tekur gildin 0, 1, 2, 3, 4, þar sem r = 6, b = 5 og n = 4. X ~ H(6, 5, 4).

Finnið P(x = 2). P(x = 2) = 0,4545 (með reiknivél eða tölvu).

Sem stendur hafa TI-83+ og TI-84 ekki innbyggð líkindaföll fyrir happdrættisdreifingu. Nokkur tölvuforrit, þar á meðal Microsoft Excel, hafa þau.

Líkurnar á að tveir karlar séu í nefndinni eru um 0,45.

Grafið af X ~ H(6, 5, 4) er sýnt á mynd 4.3.

Á y-ásnum eru líkurnar á X, þar sem X táknar fjölda karla í nefndinni.

Búast má við m = 2,18 körlum í nefndinni, eða um tveimur körlum.

Formúlan fyrir meðaltalið er μ = n · r/(r + b) = (4)(6)/(6 + 5) = 2,18.

Súlurit líkindadreifingarinnar X ~ H(6, 5, 4), þar sem X táknar fjölda karla í nefndinni.