4.3 Tvíkostadreifing (Valfrjálst)
4.3 Tvíkostadreifing (valfrjálst)
Tvíkostatilraun hefur þrjú einkenni:
- Fjöldi tilrauna er fastur. Líttu á tilraunir sem endurtekningar á sömu slembitilraun. Bókstafurinn n táknar fjölda tilrauna.
- Í hverri tilraun eru aðeins tvær mögulegar útkomur, sem kallast jákvæð útkoma og neikvæð útkoma. Útkoman sem við mælum er skilgreind sem jákvæð útkoma, en hin útkoman sem neikvæð útkoma. Bókstafurinn p táknar líkurnar á jákvæðri útkomu í einni tilraun og q táknar líkurnar á neikvæðri útkomu. Þá er p + q = 1.
- Tilraunirnar n eru óháðar og endurteknar við sömu skilyrði. Þar sem tilraunirnar eru óháðar hjálpar útkoma einnar tilraunar ekki við að spá fyrir um útkomu annarrar. Með öðrum orðum eru líkurnar p á jákvæðri útkomu og líkurnar q á neikvæðri útkomu þær sömu í hverri tilraun. Dæmi 1: Óhlutdrægri mynt er kastað einu sinni og útkoman skráð. Þetta er tvíkostatilraun: n = 1, útkomurnar eru króna eða skjaldarhlið, og ef króna er skilgreind sem jákvæð útkoma eru p = q = 0,5. Þetta er einnig Bernoulli tilraun. Dæmi 2: Giskað er af handahófi á eina fjölvalsspurningu með fjórum svarmöguleikum, A, B, C og D. Þá er n = 1, jákvæð útkoma er rétt svar og p = 1/4, q = 3/4; þetta er Bernoulli tilraun. Dæmi 3: Óhlutdrægri mynt er kastað fimm sinnum. Þá er n = 5 og p = q = 0,5; þetta er tvíkostatilraun en ekki Bernoulli tilraun, því n er ekki 1. Dæmi 4: Giskað er á 10 fjölvalsspurningar með fjórum svarmöguleikum. Þá er n = 10, p = 1/4 og q = 3/4; þetta er tvíkostatilraun en ekki Bernoulli tilraun. Næstu tvö dæmi eru ekki tvíkostatilraunir. Dæmi 5: Tvær kúlur eru valdar af handahófi úr krukku með fimm rauðum og fimm bláum kúlum án endurvals. Þá breytast líkurnar í seinni tilrauninni eftir útkomu þeirrar fyrri, svo skilyrðið um óháðar tilraunir er ekki uppfyllt. Dæmi 6: Óhlutdrægri mynt er kastað þar til króna kemur upp. Þá er fjöldi tilrauna ekki fastur, svo þetta er ekki tvíkostatilraun.
Útkomur tvíkostatilraunar fylgja tvíkostadreifingu. Slembibreytan X er fjöldi jákvæðra útkoma í n óháðum tilraunum.
Til eru stuttar formúlur til að reikna meðaltal μ, dreifni σ2 og staðalfrávik σ fyrir tvíkostadreifingu. Formúlurnar eru:
Hér er n fjöldi tilrauna, p líkurnar á jákvæðri útkomu og q líkurnar á neikvæðri útkomu.
Dæmi 4.8
Í ABC framhaldsskólanum er brottfallshlutfall úr inngangsnámskeiði í eðlisfræði 30 prósent á hverri önn. Það þýðir að á hverri önn ljúka 70 prósent nemenda námskeiðinu. Slembibreytan X er fjöldi nemenda sem hætta í slembivöldum inngangshópi í eðlisfræði. Þar sem við mælum fjölda nemenda sem hætta er jákvæð útkoma skilgreind sem nemandi sem hættir.
Dæmi 4.9
Gerum ráð fyrir að þú spilir leik þar sem þú getur aðeins unnið eða tapað. Líkurnar á að vinna hvern leik eru 55 prósent og líkurnar á að tapa eru 45 prósent. Hver leikur er óháður. Ef þú spilar leikinn 20 sinnum skaltu skrifa fallið sem lýsir líkunum á að þú vinnir 15 af 20 skiptum. Ef X er fjöldi vinninga tekur X gildin 0, 1, 2, 3, ..., 20. Þá eru p = 0,55, q = 0,45 og n = 20, og líkindaspurningin er P(x = 15). Ef X er fjöldi tapa er jákvæð útkoma skilgreind sem tap og neikvæð útkoma sem vinningur. Jákvæð útkoma þarf því ekki að vera góð niðurstaða; hún er einfaldlega útkoman sem verið er að mæla. Þá eru p = 0,45 og q = 0,55.
Dæmi 4.10
Óhlutdrægri mynt er kastað 15 sinnum. Hvert kast er óháð. Hverjar eru líkurnar á að fá fleiri en 10 krónur? Látum X vera fjölda króna í 15 köstum með óhlutdrægri mynt. X tekur gildin 0, 1, 2, 3, ..., 15. Þar sem myntin er óhlutdræg eru p = 0,5 og q = 0,5. Fjöldi tilrauna er n = 15. Settu líkindaspurninguna fram stærðfræðilega.
Lausn
P ( x > 10)
Dæmi 4.11
Um það bil 70 prósent nemenda í tölfræði skila heimanámi sínu á réttum tíma svo hægt sé að safna því og gefa fyrir það einkunn. Hver nemandi vinnur heimanámið sjálfstætt. Í tölfræðiáfanga með 50 nemendum, hverjar eru líkurnar á því að að minnsta kosti 40 skili heimanáminu á réttum tíma? Nemendur eru valdir af handahófi.
a. Þetta er tvíkostadæmi vegna þess að aðeins er um jákvæða eða neikvæða útkomu að ræða, fjöldi tilrauna er fastur og líkurnar á jákvæðri útkomu eru 0,70 í hverri tilraun.
Lausn
a. neikvæð útkoma
b. Ef við höfum áhuga á fjölda nemenda sem skila heimanámi á réttum tíma, hvernig skilgreinum við þá X?
Lausn
b. X = fjöldi tölfræðinema sem skila heimavinnu á réttum tíma
c. Hvaða gildi tekur x?
Lausn
c. 0, 1, 2, ..., 50
d. Hvað er ósigur, í orðum?
Lausn
d. Neikvæð útkoma er nemandi sem skilar ekki heimavinnunni á réttum tíma.
Líkurnar á jákvæðri útkomu eru p = 0,70. Fjöldi tilrauna er n = 50.
e. Ef p + q = 1, hvað er þá q?
Lausn
e. q = 0,30
f. Orðin „að minnsta kosti“ samsvara hvaða ójöfnu í líkindaspurningunni P(x ____ 40)?
Lausn
f. Stærra en eða jafnt og (≥). Líkindaspurningin er P(x ≥ 40).
Ritháttur fyrir tvíkostadreifingu: B = líkindafall tvíkostadreifingar
X ~ B ( n , p )
Þetta er lesið þannig að X sé slembibreyta með tvíkostadreifingu. Stikarnir eru n og p: n er fjöldi tilrauna og p eru líkurnar á jákvæðri útkomu í hverri tilraun.
Dæmi 4.12
Því hefur verið haldið fram að um 41 prósent fullorðinna á vinnumarkaði hafi stúdentspróf en stundi ekki frekara nám. Ef 20 fullorðnir á vinnumarkaði eru valdir af handahófi, finndu líkurnar á því að í mesta lagi 12 þeirra hafi stúdentspróf en stundi ekki frekara nám. Hversu marga fullorðna á vinnumarkaði má búast við að hafi stúdentspróf en stundi ekki frekara nám?
Látum X vera fjölda starfsmanna sem hafa stúdentspróf en stunda ekki frekara nám.
X tekur gildin 0, 1, 2, ..., 20 þar sem n = 20, p = 0,41 og q = 1 − 0,41 = 0,59. Þá er X ~ B(20, 0,41).
Finndu P(x ≤ 12). Til er formúla fyrir líkindafall tvíkostadreifingar, P(x), og hana mætti nota til að finna P(x ≤ 12). Útreikningurinn er þó langur og tímafrekur, svo venjulega er notuð grafísk reiknivél, hugbúnaður eða tvíkostatafla. Með grafískri reiknivél fæst P(x ≤ 12) = 0,9738. Leiðbeiningar fyrir TI-83, 83+, 84 og 84+ eru hér að neðan.
Líkurnar á því að í mesta lagi 12 starfsmenn hafi stúdentspróf en stundi ekki frekara nám eru 0,9738.
Grafið fyrir X ~ B(20, 0,41) er eftirfarandi.
Fyrra grafið kallast stuðlarit líkindadreifingar. Það er röð lóðréttra súlna. x-ás hverrar súlu sýnir gildi X, fjölda starfsmanna sem hafa aðeins stúdentspróf, og hæð súlunnar sýnir líkurnar á því að það gildi komi fram.
Væntanlegur fjöldi fullorðinna á vinnumarkaði sem hafa stúdentspróf en stunda ekki frekara nám er meðaltalið μ = np = (20)(0,41) = 8,2.
Formúlan fyrir dreifni er σ2 = npq. Staðalfrávikið er σ = √(npq), svo σ = √((20)(0,41)(0,59)) = 2,20.
Eftirfarandi er túlkun á meðaltalinu μ = 8,2 og staðalfrávikinu σ = 2,20:
Ef þú velur af handahófi 20 fullorðna á vinnumarkaði og endurtekur það aftur og aftur, máttu að meðaltali búast við að um átta af 20 hafi stúdentspróf en stundi ekki frekara nám. Þú mátt líka búast við að fjöldinn breytist að meðaltali um það bil um tvo starfsmenn.
Dæmi 4.13
Verslun gefur út 560 síðna vörulista fyrir listavörur. Átta síðurnar kynna þekkta listamenn. Gerum ráð fyrir að við veljum 100 síður af handahófi. Látum X vera fjölda síðna sem kynna þekkta listamenn.
- Hvaða gildi getur x tekið?
- Hver er líkindadreifingin? Finndu líkurnar á að nákvæmlega tvær síður kynni þekkta listamenn, líkurnar á að í mesta lagi sex síður kynni þekkta listamenn og líkurnar á að fleiri en þrjár síður kynni þekkta listamenn.
- Notaðu formúlurnar til að reikna (i) meðaltal og (ii) staðalfrávik.
Lausn
- x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
- Þetta er tvíkostatilraun þar sem öll þrjú einkennin eru uppfyllt. Hver síða er ein tilraun og n = 100. Fyrir hverja síðu eru tvær mögulegar útkomur: hún kynnir þekkta listamenn eða ekki. Þar sem við mælum fjölda slíkra síðna er síða sem kynnir þekkta listamenn jákvæð útkoma. Líkurnar eru p = 8/560 og q = 1 − p = 552/560, og þær haldast óbreyttar fyrir hverja síðu. Því er X tvíkostadreifð slembibreyta og X ~ B(100, 8/560). Með grafískri reiknivél fæst P(x = 2) = binompdf(100, 8/560, 2) = 0,2466, P(x ≤ 6) = binomcdf(100, 8/560, 6) = 0,9994 og P(x > 3) = 1 − binomcdf(100, 8/560, 3) = 1 − 0,9443 = 0,0557.
- Meðaltal = np = (100)(8/560) = 800/560 ≈ 1,4286. Staðalfrávik = √(npq) = √((100)(8/560)(552/560)) ≈ 1,1867.
Dæmi 4.14
Lífstíðaráhætta á að fá tiltekinn sjúkdóm er um 1 af 78, eða 1,28 prósent. Gerum ráð fyrir að við veljum slembiúrtak 200 einstaklinga. Látum X vera fjölda fólks sem fær sjúkdóminn.
- Hver er líkindadreifing X?
- Notaðu formúlurnar til að reikna (i) meðaltal og (ii) staðalfrávik X.
- Notaðu reiknivél til að finna líkurnar á að í mesta lagi átta einstaklingar fái sjúkdóminn.
- Hvort er líklegra að fimm eða sex einstaklingar fái sjúkdóminn? Rökstyddu svarið tölulega.
Lausn
- Þetta er tvíkostatilraun þar sem öll þrjú einkennin eru uppfyllt. Hver einstaklingur er ein tilraun og n = 200. Fyrir hvern einstakling eru tvær mögulegar útkomur: fær sjúkdóminn eða fær hann ekki. Þar sem við mælum fjölda einstaklinga sem fá sjúkdóminn er það jákvæð útkoma. Áhættan er 1,28 prósent, svo p = 0,0128 og q = 1 − p = 1 − 0,0128 = 0,9872. Bæði p og q haldast óbreytt fyrir hvern einstakling. Því er X tvíkostadreifð slembibreyta og X ~ B(200, 0,0128). Við getum notað grafíska reiknivél til að svara liðum c og d.
- Meðaltal = np = 200(0,0128) = 2,56. Staðalfrávik = √(npq) = √((200)(0,0128)(0,9872)) ≈ 1,5897.
- Með TI-83, 83+ eða 84 reiknivél og leiðbeiningunum í dæmi 4.12 fæst P(x ≤ 8) = binomcdf(200, 0,0128, 8) = 0,9988.
- P(x = 5) = binompdf(200, 0,0128, 5) = 0,0707 og P(x = 6) = binompdf(200, 0,0128, 6) = 0,0298. Þar sem P(x = 5) > P(x = 6) er líklegra að fimm einstaklingar fái sjúkdóminn en sex.
Dæmi 4.15
Eftirfarandi dæmi sýnir verkefni sem er ekki tvíkostadæmi, því það brýtur gegn skilyrðinu um óhæði. Í ABC framhaldsskólanum er ráðgjafarnefnd nemenda skipuð 10 starfsmönnum og sex nemendum. Nefndin vill velja formann og ritara. Hverjar eru líkurnar á að bæði formaðurinn og ritarinn séu nemendur? Nöfn allra nefndarmanna eru sett í kassa og tvö nöfn eru dregin án endurvals. Fyrra nafnið ákvarðar formanninn og það síðara ritarann. Tilraunirnar eru tvær, en þær eru ekki óháðar því útkoma fyrri dráttarins hefur áhrif á útkomu þess síðari. Líkurnar á nemanda í fyrri drætti eru 6/16. Ef nemandi er dreginn fyrst eru líkurnar á nemanda í síðari drætti 5/15, en ef starfsmaður er dreginn fyrst eru líkurnar 6/15. Líkurnar breytast því milli tilrauna og skilyrðið um óhæði er ekki uppfyllt.