Væntigildi strjálsrar slembibreytu X, táknað E(X), er oft kallað langtímameðaltal eða meðaltal, táknað μ. Þetta þýðir að þegar tilraun er endurtekin aftur og aftur til lengri tíma má búast við þessu meðaltali. Til dæmis látum við X vera fjölda króna sem fást þegar þremur óhlutdrægum myntum er kastað. Ef þú endurtekur þessa tilraun mjög oft er væntigildi X sá fjöldi króna sem þú mátt búast við að fá að meðaltali í hverjum þremur köstum.
Dæmi 4.3
Karlalið í knattspyrnu æfir núll, einn eða tvo daga í viku. Líkurnar á því að liðið æfi núll daga eru 0,2, líkurnar á einum degi eru 0,5 og líkurnar á tveimur dögum eru 0,3. Finndu langtímameðaltal, eða væntigildi, fjölda daga á viku sem karlaliðið æfir knattspyrnu.
Til að leysa dæmið látum við slembibreytuna X vera fjölda daga á viku sem karlaliðið æfir knattspyrnu. X tekur gildin 0, 1 og 2. Búðu til líkindafallstöflu og bættu við dálkinum xP(x), margfeldi gildisins x og samsvarandi líkinda P(x). Í þessum dálki margfaldar þú hvert x-gildi með líkum þess.
x
P(x)
xP(x)
0
0,2
(0)(0,2) = 0
1
0,5
(1)(0,5) = 0,5
2
0,3
(2)(0,3) = 0,6
Leggðu saman síðasta dálkinn xP(x) til að fá væntigildi slembibreytunnar X.
Væntigildið er 1,1. Karlaliðið í knattspyrnu mætti því búast við að æfa að meðaltali 1,1 dag í viku. Talan 1,1 er langtímameðaltal, eða væntigildi, ef liðið heldur þessari vikulegu æfingadreifingu yfir langan tíma.
Eins og þú lærðir í kafla 3 eru líkurnar á krónu 0,5 þegar óhlutdrægri mynt er kastað. Þessar líkur eru fræðileg líkindi, það sem við búumst við að gerist. Þær lýsa ekki skammtímaniðurstöðum tilraunar. Ef þú kastar mynt tvisvar segja líkurnar ekki að útkoman verði ein króna og ein skjaldarhlið. Jafnvel þótt þú kastir mynt 10 sinnum eða 100 sinnum segja líkurnar ekki að þú fáir helming kasta sem krónu og helming sem skjaldarhlið. Líkurnar gefa upplýsingar um það sem má búast við til lengri tíma. Karl Pearson kastaði einu sinni óhlutdrægri mynt 24.000 sinnum. Hann skráði niðurstöðu hvers kasts og fékk krónu 12.012 sinnum. Hlutfallstíðni króna er 12.012/24.000 = 0,5005, sem er mjög nálægt fræðilegu líkunum 0,5. Í þessari tilraun sýndi Pearson lögmál stórra talna.
Lögmál stórra talna segir að þegar fjöldi tilrauna í líkindatilraun eykst nálgist munurinn á fræðilegum líkum atburðar og hlutfallstíðni núll. Með öðrum orðum færast fræðilegu líkurnar og hlutfallstíðnin nær hvor annarri. Hlutfallstíðni er einnig kölluð tilraunalíkindi, sem merkir það sem gerist í raun.
Í næsta dæmi sýnum við hvernig finna má væntigildi og staðalfrávik strjálsrar líkindadreifingar með því að nota töflu.
Rétt eins og gagnasöfn hafa líkindadreifingar dreifni og staðalfrávik. Dreifni líkindadreifingar er táknuð með σ2 og staðalfrávikið með σ. Bæði lýsa því hversu dreifð gildin í dreifingunni eru.
Dæmi 4.4
Rannsakandi kannaði hvernig grátur nýbura eftir miðnætti hefur áhrif á svefn móður barnsins. Rannsakandinn valdi af handahófi 50 mæður og spurði hve oft á viku nýburinn vekti þær eftir miðnætti. Tvær mæður vöknuðu núll sinnum, 11 vöknuðu einu sinni, 23 vöknuðu tvisvar, níu vöknuðu þrisvar, fjórar vöknuðu fjórum sinnum og ein vaknaði fimm sinnum. Finndu væntigildi fjölda skipta sem móðir vaknar eftir miðnætti á viku. Reiknaðu einnig staðalfrávik slembibreytunnar.
Til að leysa dæmið látum við slembibreytuna X vera fjölda skipta sem móðir vaknar við grát nýburans eftir miðnætti á viku. X tekur gildin 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Búðu til líkindafallstöflu og bættu við dálkinum xP(x).
x
P(x)
xP(x)
0
P(x = 0) =
(0)() = 0
1
P(x = 1) =
(1)() =
2
P(x = 2) =
(2)() =
3
P(x = 3) =
(3)() =
4
P(x = 4) =
(4)() =
5
P(x = 5) =
(5)() =
Við leggjum síðan saman öll margfeldin í þriðja dálkinum til að fá væntigildi X.
4.2
Því má búast við að nýburi veki móður sína eftir miðnætti 2,1 sinni í viku að meðaltali.
Til að reikna staðalfrávikið σ bætum við við fjórða dálkinum (x − μ)2 og fimmta dálkinum (x − μ)2P(x).
x
P(x)
xP(x)
(x − μ)2
(x − μ)2P(x)
0
P(x = 0) =
(0)() = 0
(0 − 2,1)2 = 4,41
4,41 * = 0,1764
1
P(x = 1) =
(1)() =
(1 − 2,1)2 = 1,21
1,21 * = 0,2662
2
P(x = 2) =
(2)() =
(2 − 2,1)2 = 0,01
0,01 * = 0,0046
3
P(x = 3) =
(3)() =
(3 − 2,1)2 = 0,81
0,81 * = 0,1458
4
P(x = 4) =
(4)() =
(4 − 2,1)2 = 3,61
3,61 * = 0,2888
5
P(x = 5) =
(5)() =
(5 − 2,1)2 = 8,41
8,41 * = 0,1682
Við leggjum síðan saman öll margfeldin í fimmta dálkinum til að fá dreifni X.
4.3
Til að fá staðalfrávikið σ tökum við kvaðratrótina af dreifninni σ2.
4.4
Dæmi 4.5
Gerum ráð fyrir að þú spilir happaleik þar sem fimm tölur eru valdar úr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Tölva velur af handahófi fimm tölur frá núlli til níu með endurvali. Þú borgar $2 fyrir að spila og getur hagnast um $100.000 ef allar fimm tölurnar passa í réttri röð. Þá færðu $2 til baka auk $100.000. Hver er væntanlegur hagnaður þinn af leiknum til lengri tíma?
Til að leysa þetta dæmi skaltu setja upp líkindafallstöflu fyrir upphæð hagnaðarins.
Látum X vera upphæð hagnaðarins. Ef fimm tölurnar þínar passa í réttri röð vinnur þú leikinn og færð $2 til baka auk $100.000. Hagnaðurinn er þá $100.000. Ef fimm tölurnar þínar passa ekki í réttri röð tapar þú leiknum og tapar $2. Hagnaðurinn er þá −$2. Því tekur X gildin $100.000 og −$2. Þetta er annar dálkurinn, x, í líkindafallstöflunni hér fyrir neðan.
Til að vinna þarftu að fá allar fimm tölurnar réttar í réttri röð. Líkurnar á að velja fyrstu töluna rétt eru 1/10. Líkurnar á að velja aðra töluna rétt eru einnig 1/10 og sama gildir um hverja hinna talnanna. Þar sem valið er með endurvali margfaldast líkurnar.
Þess vegna eru líkurnar á að vinna 0,00001 og líkurnar á að tapa eru 1 − 0,00001 = 0,99999. Þannig fáum við þriðja dálkinn í töflunni.
Til að fá fjórða dálkinn xP(x) í töflunni margföldum við einfaldlega gildið x með samsvarandi líkum P(x).
Líkindafallstaflan er eftirfarandi:
x
P(x)
xP(x)
Tap
−2
0,99999
(−2)(0,99999) = −1,99998
Hagnaður
100.000
0,00001
(100.000)(0,00001) = 1
Við leggjum síðan saman öll margfeldin í síðasta dálkinum til að fá væntigildi X.
Þar sem −0,99998 er um það bil −1 máttu búast við að tapa að meðaltali um $1 í hverjum leik. Í hvert skipti sem þú spilar tapar þú þó annaðhvort $2 eða hagnast um $100.000. Einn dollar er meðal- eða væntanlegt tap á hvern leik þegar leikurinn er spilaður aftur og aftur.
Dæmi 4.6
Gerum ráð fyrir að þú spilir leik með skakkri mynt. Þú spilar hvern leik með því að kasta myntinni einu sinni. P(króna) = 2/3 og P(skjaldarhlið) = 1/3. Ef þú færð krónu borgar þú $6. Ef þú færð skjaldarhlið vinnur þú $10. Ef þú spilar þennan leik oft, kemurðu þá út í hagnaði?
a. Skilgreindu slembibreytuna X.
Lausn
a. X = upphæð hagnaðar
b. Fylltu út eftirfarandi töflu fyrir væntigildi.
x
P(x)
xP(x)
Vinna
10
____
Tapa
____
____
−
Lausn
b.
x
P(x)
xP(x)
Vinna
10
Tapa
−6
−
c. Hvert er væntigildið μ? Munt þú hagnast?
Lausn
c. Leggðu saman síðasta dálkinn í töflunni. Væntigildið er E(X) = μ = 10/3 + (−12/3) = −2/3 ≈ −0,67. Þú tapar að meðaltali um 67 sentum í hvert skipti sem þú spilar leikinn, þannig að þú hagnast ekki.
Almennt notum við reiknivél eða tölvu til að reikna μ og σ fyrir líkindadreifingar til að draga úr námundunarskekkjum. Fyrir sumar líkindadreifingar eru styttri formúlur til að reikna μ og σ.
Dæmi 4.7
Kastaðu óhlutdrægum sexhliða teningi tvisvar. Látum X vera fjölda skipta sem slétt tala kemur upp. Búðu til töflu eins og í dæmunum hér að framan og reiknaðu meðaltalið μ og staðalfrávikið σ fyrir X.
Lausn
Að kasta einum óhlutdrægum sexhliða teningi tvisvar hefur sama útkomurúm og að kasta tveimur óhlutdrægum sexhliða teningum einu sinni. Útkomurúmið er:
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
Notaðu útkomurúmið til að fylla út eftirfarandi töflu.
x
P(x)
xP(x)
(x − μ)2P(x)
0
0
(0 − 1)2 * =
1
(1 − 1)2 * = 0
2
(2 − 1)2 * =
Leggðu saman gildin í þriðja dálkinum til að finna væntigildið: μ = 36/36 = 1. Notaðu þetta gildi til að fylla út fjórða dálkinn.
Leggðu saman gildin í fjórða dálkinum og taktu kvaðratrótina af summunni: σ = √(18/36) ≈ 0,7071.
Sumar algengar strjálar líkindadreifingar eru tvíkostadreifing, rúmfræðileg dreifing, happdrættisdreifing og Poisson dreifing. Flest grunnnámskeið fjalla ekki um rúmfræðilega dreifingu, happdrættisdreifingu og Poisson dreifingu. Kennarinn þinn lætur þig vita ef hann vill fjalla um þessar dreifingar.
Líkindafall er mynstur. Þú reynir að fella líkindaverkefni að mynstri eða dreifingu til að framkvæma nauðsynlega útreikninga. Þessar dreifingar eru verkfæri sem auðvelda lausn líkindaverkefna. Hver dreifing hefur sín sérkenni. Þegar þú lærir sérkennin geturðu greint á milli mismunandi dreifinga.