4.6 Poisson Distribution (Optional)
4.6 Poisson dreifing (valfrjálst)
Poisson-tilraun hefur tvö megineinkenni.
- Poisson dreifing gefur líkur á fjölda atvika á föstu tímabili eða föstu svæði, ef atvikin gerast með þekkta meðaltíðni og óháð tímanum frá síðasta atviki. Til dæmis gæti ritstjóri haft áhuga á fjölda rangt stafsettra orða í tiltekinni bók. Að meðaltali gætu verið fimm rangt stafsett orð á 100 síðum. Bilið er þessar 100 síður.
- Nota má Poisson dreifingu til að nálga tvíkostadreifingu ef líkurnar á jákvæðri útkomu eru litlar, til dæmis 0,01, og fjöldi tilrauna er mikill, til dæmis 1.000. Þú sannreynir þetta samband í heimadæmunum. n er fjöldi tilrauna og p eru líkurnar á jákvæðri útkomu.
Slembibreytan X táknar fjölda atvika á bilinu sem skoðað er.
Dæmi 4.25
Að meðaltali eru 12 brauð sett í hillu í bakaríi á hálftíma. Skoðaður er fjöldi brauða sem sett eru í hilluna á fimm mínútum. Tímabilið sem skoðað er er fimm mínútur. Hverjar eru líkurnar á að þrjú brauð séu sett í hilluna á fimm mínútum?
Látum X tákna fjölda brauða sem sett eru í hilluna á fimm mínútum. Ef meðalfjöldinn á 30 mínútum er 12, þá er meðalfjöldinn á fimm mínútum (5/30)(12) = 2 brauð.
Líkindaspurningin biður um P(x = 3).
Dæmi 4.26
Banki býst við að fá að meðaltali sex innistæðulausar ávísanir á dag. Hverjar eru líkurnar á að bankinn fái færri en fimm innistæðulausar ávísanir á tilteknum degi? Skoðaður er fjöldi ávísana sem bankinn fær á einum degi, þannig að tímabilið sem skoðað er er einn dagur. Látum X tákna fjölda innistæðulausra ávísana sem bankinn fær á einum degi. Ef bankinn býst við sex slíkum ávísunum á dag er meðaltalið sex ávísanir á dag. Skrifaðu líkindaspurninguna stærðfræðilega.
Lausn
Lausn: P(x < 5).
Dæmi 4.27
Þú tekur eftir að fréttamaður segir „uh“ að meðaltali tvisvar í hverri útsendingu. Hverjar eru líkurnar á að fréttamaðurinn segi „uh“ oftar en tvisvar í einni útsendingu?
Þetta er Poisson-dæmi vegna þess að skoðaður er fjöldi skipta sem fréttamaðurinn segir „uh“ í einni útsendingu.
a. Hvaða bil er verið að skoða?
Lausn
Lausn a: Ein útsending.
b. Hver er meðalfjöldi skipta sem fréttamaðurinn segir „uh“ í einni útsendingu?
Lausn b: 2.
c. Látum X = ________. Hvaða gildi getur X tekið?
Lausn c: Látum X tákna fjölda skipta sem fréttamaðurinn segir „uh“ í einni útsendingu. x = 0, 1, 2, 3, ...
d. Líkindaspurningin er P(______).
Lausn d: P(x > 2).
Ritháttur fyrir Poisson dreifingu: P = líkindafall Poisson dreifingar
X ~ P(μ)
Lesið þetta sem að X sé slembibreyta með Poisson dreifingu. Stikinn er μ, eða λ; μ eða λ er meðaltalið á bilinu sem skoðað er.
Dæmi 4.28
Símsvari Leah fær um sex símtöl milli kl. 8 og 10. Hverjar eru líkurnar á að Leah fái fleiri en eitt símtal á næstu 15 mínútum?
Látum X tákna fjölda símtala sem Leah fær á 15 mínútum. Bilið sem skoðað er er 15 mínútur, eða 1/4 klukkustund.
x = 0, 1, 2, 3, ...
Ef Leah fær að meðaltali sex símtöl á tveimur klukkustundum og á tveimur klukkustundum eru átta 15 mínútna bil, þá fær Leah
(1/8)(6) = 0,75 símtöl á 15 mínútum að meðaltali. Því er μ = 0,75 í þessu dæmi.
X ~ P(0,75).
Finnið P(x > 1). P(x > 1) = 0,1734 (með reiknivél eða tölvu).
TI-reiknivélar nota λ (lambda) fyrir meðaltalið.
Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivéla: Sláðu inn 1 − og ýttu síðan á 2nd DISTR. Veldu poissoncdf og ýttu á ENTER. Sláðu inn (0,75; 1). Niðurstaðan er P(x > 1) = 0,1734.
Líkurnar á að Leah fái fleiri en eitt símtal á næstu 15 mínútum eru um 0,1734, eða P(x > 1) = 1 − poissoncdf(0,75; 1).
Grafið af X ~ P(0,75) er sýnt á mynd 4.4.
Á y-ásnum eru líkurnar á x, þar sem X táknar fjölda símtala á 15 mínútum.
Dæmi 4.29
Samkvæmt Baydin, fyrirtæki á sviði tölvupóststjórnunar, fær tölvupóstnotandi að meðaltali 147 tölvupósta á dag. Látum X tákna fjölda tölvupósta sem tölvupóstnotandi fær á dag. Strjála slembibreytan X tekur gildin x = 0, 1, 2, .... Slembibreytan X hefur Poisson dreifingu: X ~ P(147). Meðaltalið er 147 tölvupóstar.
a. Hverjar eru líkurnar á að tölvupóstnotandi fái nákvæmlega 160 tölvupósta á dag?
b. Hverjar eru líkurnar á að tölvupóstnotandi fái í mesta lagi 160 tölvupósta á dag?
c. Hvert er staðalfrávikið?
Lausn
Lausn a: P(x = 160) = poissonpdf(147; 160) ≈ 0,0180.
Lausn b: P(x ≤ 160) = poissoncdf(147; 160) ≈ 0,8666.
Lausn c: Staðalfrávik = σ = √μ = √147 ≈ 12,1244.
Dæmi 4.30
Notendur smáskilaboða fá eða senda að meðaltali 41,5 smáskilaboð á dag.
a. Hve mörg smáskilaboð fær eða sendir notandi að meðaltali á klukkustund?
b. Hverjar eru líkurnar á að notandi fái eða sendi tvö smáskilaboð á klukkustund?
c. Hverjar eru líkurnar á að notandi fái eða sendi fleiri en tvö smáskilaboð á klukkustund?
Lausn
Lausn a: Látum X tákna fjölda smáskilaboða sem notandi sendir eða fær á einni klukkustund. Meðalfjöldinn á klukkustund er 41,5/24 ≈ 1,7292.
Lausn b: X ~ P(1,7292), þannig að P(x = 2) = poissonpdf(1,7292; 2) ≈ 0,2653.
Lausn c: P(x > 2) = 1 − P(x ≤ 2) = 1 − poissoncdf(1,7292; 2) ≈ 1 − 0,7495 = 0,2505.
Dæmi 4.31
Þann 13. maí 2013 kl. 16:30 voru líkurnar á lítilli jarðskjálftavirkni í Alaska næstu 48 klukkustundirnar sagðar vera um 1,02 prósent. Notaðu þessar upplýsingar fyrir næstu 200 daga til að finna líkurnar á að lítil jarðskjálftavirkni verði í 10 af næstu 200 dögum. Notaðu bæði tvíkostadreifingu og Poisson dreifingu til að reikna líkurnar. Eru niðurstöðurnar nálægt hvor annarri?
Látum X tákna fjölda daga með lítilli jarðskjálftavirkni. Finna á líkurnar yfir næstu 200 daga. Líkurnar eru gefnar fyrir 48 klukkustunda tímabil.
n = 200 dagar = 100 tímabil sem eru 48 klukkustundir hvert.
Með tvíkostadreifingu: P(x = 10) = binompdf(100; 0,0102; 10) ≈ 0,0000000076.
Með Poisson dreifingu: μ = np = 100(0,0102) ≈ 1,02 og P(x = 10) = poissonpdf(1,02; 10) ≈ 0,000000121.
Við búumst við að nálgunin sé góð vegna þess að n er stórt, stærra en 20, og p er lítið, minna en 0,05. Niðurstöðurnar eru nálægt hvor annarri; báðar líkurnar eru næstum 0.